专题训练：勾股定理及其验证（解析版）

专题训练：勾股定理及其验证题型1.勾股定理中的面积问题再探究解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题.1．（2021·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（）A．12 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，；图（4）比图（3）多出16个正方形，；图（5）比图（4）多出32个正方形，；照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2．（2021.都江堰起航教育专题）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案．【详解】解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka，∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a，∴S1=（kb）2-b2=（k2-1）b2，S2=b2，S4=a2，在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得：（ka）2+（kb）2=（k2a）2，∴a2+b2=k2a2，∴b2=（k2-1）a2，∴S1=（k2-1）2a2，∴S1•S4=（k2-1）2a2•a2=[（k2-1）a2]2=S22，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键．3．（2021·北京海淀教师进修学校附属实验学校初二期中）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（）A．+= B． C． D．【答案】A分析：设直角三角形各边长为2a、2b、2c，如图所示：【解析】∵三角形是直角三角形，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，化简得：a2+b2=c2，S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2；S1+S2=π（a2+b2）=πc2=S3．故选A．考点：勾股定理．4．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出等边三角形ABE和BCF的面积，根据求出AC的长，再根据勾股定理逆定理判断△是直角三角形，再根据面积公式求结论即可．【详解】解：如图1，在等边三角形中，当边长为2a时，高为，用此结论可得：∵为等边三角形，∴高为∴∵为等边三角形，∴高为∴∴即：解得：在△中，∴△是直角三角形，∴故选：C．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等知识，AC=5是解答此题的关键．5．（2020·浙江省初三学业考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且，则的长为（）图1图2A． B． C． D．【答案】B【分析】设AC＝a，AB＝b，BC＝c根据勾股定理得到c2＝a2＋b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解．【解析】如图2：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c−b，DG＝c−a，则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c−b）（c−a）＝2，∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32−，∴S＝c2−c（a＋b）＋ab＝c2−8c＋32−＝2，解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．6．（2021.广东省八年级期中）如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（）A．36 B．49 C．74 D．81【答案】C【分析】根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，求出∠FEG=∠HGM，证△EFG≌△GMH，推出FG=MH，GM=EF，求出EF2=25，HM2=49，求出B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2，代入求出即可．【详解】解：根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，∴∠FEG=∠HGM，在△EFG和△GMH中，，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG=MH，GM=EF，∵A，C的边长分别为5和7，∴EF2=52，HM2=72，∴B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，故选：C．【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出FG=MH，题目比较典型，难度适中．题型2.赵爽弦图求值解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.1．（2020·涡阳县王元中学初二月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知=21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。【解析】由于大正方形的边长的平方为，又大正方形的面积为13，即，而小正方形的面积表达式为，而小正方形的面积表达式为故本题正确答案为C．【点睛】本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键．2．（2020·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误.【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方=a2+b2，由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，∴大正方形的面积=斜边的平方=a2+b2，即a2+b2=49，故①正确；根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab，4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形=49-4=45，即2ab=45，故③正确；由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④错误，由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键．3．（2021·北京八年级期末）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．【答案】4【分析】根据正方形的面积，可得AD2=10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3，∴AD2=10，∴在中，DH=，∴，∵四个直角三角形全等，∴正方形EFGH的面积=10-=4，故答案是：4．【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键．4．（2021·湖北八年级期末）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．3 C．4﹣2 D．4＋2【答案】C【分析】设直角三角形的斜边为c，短直角边为a，另一边为b，由勾股定理可得，小正方形面积：．【详解】解：设直角三角形的斜边为c，短直角边为a，另一边为b，∵c=2，a=1∴由勾股定理可得，∴小正方形面积：∴阴影部分面积为：故选C．【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．5．（2021·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【详解】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2是解决问题的关键．6．（2021.成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．【答案】16【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=8-x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，则2x2-16x=-16，整体代入可得结论．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为48，∴AB2=48，设AE=x，∵AE+BE=8，∴BE=8-x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，∴x2+（8-x）2=48，∴2x2-16x=-16，∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM，∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形A