典型例题：勾股定理的逆定理（解析版）

典型例题：勾股定理的逆定理知识点1.3勾股定理的逆定理1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。根据勾股定理b2－x2=c2－（a±x）2将a2+b2=c2代入得±2ax=0∴x=0∴点D与点C重合∴AC⊥CB∴△ABC为直角三角形注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形1．（2021·福建福州市·八年级期中）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5【答案】A【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可进行排除选项．【详解】解：A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意；B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，则△ABC是等腰三角形，故不符合题意；C、由2∠C＝∠A＋∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形；故选A．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键．2．（2021·绥德县德群中学八年级期末）某中学、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．（1）求出四边形空地的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．【答案】（1）四边形空地的面积为234平方米；（2）学校共需投入28080元．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，再利用即可得出答案；（2）利用120乘以四边形的面积即可得出结论．【详解】解：（1）连接．在中，∵，，，∴（米）．在中，∵，，，∴．∴是直角三角形，且．∴平方米．∴四边形空地的面积为234平方米．（2）（元）．答：学校共需投入28080元．【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．（2020·成都市初二期中联考）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【分析】这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，不妨把两地价格看为是两点间的距离，则由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一条直线上，利用勾股定理即可解出BD的长，即是B﹣D的机票价格．【解析】把两地价格看为是两点间的距离，则AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一条直线上，∴∠BCD是直角，∴BD=＝＝1500，即B﹣D的机票价格为1500元.故选B.【点睛】本题考查了两点间的距离、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB为直角是解题的关键.4．（2020·河南内乡初二期末）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离.（结果保留整数）【答案】点C到AB的距离约为14cm.【分析】通过勾股定理的逆定理来判断三角形ABC的形状，从而再利用三角形ABC的面积反求点C到AB的距离即可.【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E,则CE的长即点C到AB的距离.在△ABC中，∵，，，∴，，∴，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB=90°∵，∴，即，∴CE=14.4≈14.答：点C到AB的距离约为14cm.【点睛】本题的解题关键是掌握勾股定理的逆定理，能通过三角形面积反求对应的边长.5．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．（1）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．（2）直接写出四边形ABCD的面积（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．【答案】（1）不是直角，证明见解析；（2）14；（3）见解析【分析】（1）利用勾股定理，判断即可．（2）利用分割法求解即可．（3）取格点E，连接BE，DE即可．【详解】解：（1）∠BCD不是直角．理由：∵BC2＝52+22＝29，CD2＝5，BD2＝42+42＝32，∴BC2+CD2≠BD2，∴∠BCD不是直角．（2）S四边形ABCD＝5×5﹣×2×5﹣×1×5﹣×1×2﹣×1×3﹣1＝14．（3）如图，四边形ABED即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理以及逆定理，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（2021·南宁市第八中学八年级月考）如图，在一条东西走向的河流一侧有一工厂C，河边原有两个取水点A和B，且AB＝AC．工业园区规划改造后，原道路AC不再使用，现决定在河边新建一个取水点P，并新修一条路CP，测得CB＝6千米，CP＝4.8千米，PB＝3.6千米．（1）CP是否为从工厂C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【答案】（1）是，计算见解析，（2）5千米【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断CP是否垂直AB即可；（2）根据勾股定理解答即可．【详解】解：（1）是，理由是：在△CPB中，∵CP2+BP2＝(4.8)2+(3.6)2＝36，BC2＝36，∴CP2+BP2＝BC2，∴CP⊥AB，所以CP是从工厂C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACP中，由已知得AC＝x，AP＝x﹣3.6，CP＝4.8，由勾股定理得：AC2＝AP2+CP2∴x2＝(x﹣3.6)2+(4.8)2，解得x＝5，答：原来的路线AC的长为5千米．【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是熟练运用勾股定理的逆定理和定理进行进行解答．7．（2021·湖南八年级期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．【答案】（1）是，理由见解析；（2）或【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分两种情形①当MN为斜边时，依题意MN2＝AM2+NB2；②当BN为斜边时，依题意BN2＝AM2+MN2；分