《数字技术基础》课件-数字技术基础第三章

数字技术基础第三章逻辑代数板块逻辑代数

内容简介第三章逻辑代数

逻辑代数的基本公式逻辑代数逻辑代数的三个法则逻辑代数的标准式公式法化简卡诺图化简约束项约束条件逻辑函数的演算法化简逻辑函数的卡诺图化简具有约束条件的函数化简章节第二章基本逻辑函数第一节逻辑代数第二节逻辑函数的演算法化简第三节逻辑函数的卡诺图化简第四节具有约束条件的函数化简第三章逻辑代数

第一节逻辑代数常量0、1和变量关系的公式逻辑代数的基本公式A+0＝AA·1＝AA+1＝1A·0＝0A+A＝1A·A＝0公式的左面一列和右面一列存在着一定的对偶关系，即将左面公式中0替换为1、1替换为0、·替换为+、+替换为·，就可以得到右面的公式，这就是逻辑函数中的对偶性。上述公式反映了常量0、1和变量A运算时所遵循的规律。A·B＝B·A第一节逻辑代数交换律交换律、结合律和分配律A+B=B+A（A·B）·C＝A·（B·C）结合律（A+B）+C＝A+（B+C）A+BC=（A+B）·（A+C）第一节逻辑代数分配律的第一个公式形式和普通代数分配律公式相仿，而另一个公式形式在普通代数中则没有，但只要记住第一个公式的形式，用对偶性质很容易推导出另一个。

分配律交换律、结合律和分配律A·（B+C）＝AB+ACA·A＝A第一节逻辑代数

重叠律重叠律、反演律和非非律A+A＝A第一节逻辑代数

反演律重叠律、反演律和非非律反演律又称德·摩根定律，根据它可以由原函数求得其反函数。非非律逻辑代数的三个法则代入法则

第一节逻辑代数若A＝BC，则A+D可以写成BC+D，即A+D=BC+D。反演法则第一节逻辑代数从原函数来求反函数的过程叫反演，德·摩根定律是进行反演的重要方法。其法则为：将原函数中的运算符号“·”变为“+”、“+”变为“·”；常数“1”变为“0”、“0”变为“1”；原变量变为反变量、反变量变为原变量，得到新的函数即为反函数。求其反函数。例题例3-1已知解：反函数第一节逻辑代数对偶法则第一节逻辑代数如前所述，逻辑函数具有对偶性，对偶法则正是这种对偶性的反映。将原函数中的运算符号“+”替换为“·”，“·”替换为“+”；常数“1”替换为“0”、“0”替换为“1”；但所有的逻辑变量不变，得到新的函数F′即为原函数的对偶式。求其对偶式。例题例3-2已知解：反函数第一节逻辑代数第一节逻辑代数逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有不同的形式。但标准表达式是唯一的，它有两种形式：最小项表达式和最大项表达式。逻辑函数的标准式最小项表达式第一节逻辑代数

逻辑函数表达式中所有变量的与运算即为最小项。在一个最小项中每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。把所有的最小项再进行逻辑或，这种表达式称为最小项表达式（标准“与或”表达式）。如果原函数不是一个简单的与或表达式，可以先将其变换成与或式，再补全每个与运算中的缺省变量，即可把原函数化为最小项表达式。例3-3已知

，求它的最小项表达式。例题解：①反复运用德·摩根定理去掉函数中的长非号，直到转变为只在单变量上有非号的表达式为止。去掉最外层的非，得

再去掉长非，得反复运用分配律去括号，直到成为与或表达式为止，得第一节逻辑代数③补全每个与运算中的缺省变量，使其成为最小项。上式中第一项AB中缺省变量C，则用（C+）和该项相与；第二项AC中缺省变量B，则用（B+）和该项相与，应用公式直到将其转化成为最小项表达式为止。第一节逻辑代数由此，我们得到一个最小项表达式。为了方便，可将最小项表达式中的各最小项用编号mi来表示，下标i是与最小项二进制编码相应的十进制数，这个表达式称为数字型表达式，写成F=∑(m0，m1，…)。最小项的二进制编码即给每个变量一个二进制权值，且将原变量表示为1，反变量表示为0。一个三变量的最小项编号如表3-1所示。第一节逻辑代数表3-1三变量逻辑函数的最小项及其相应的编号变量ABC对应的最小项最小项的编号000m0=0001m1=1010m2=2011m3=3100m4=4101m5=5110m6=6111m7=7第一节逻辑代数例3-4将例3-3中得到的最小项表达式写成数字型

表达式。例题解：从表3-1中可以得知例3-3中的三个最小项的编号分别为4、6、7，故它的数字型表达式为F(A,B,C)=∑m(4,6,7)每个最小项给出F=1时各变量取值的一种组合，如例3-3得出的最小项表达式中的第三项ABC表示当A=1、B＝C＝0时，F＝1。如果把最小项和真值表联系起来看，每个最小项同真值表中F=1的那行具有一一对应关系，真值表中函数F=1的行数有多少，F表达式中的最小项就有多少。第一节逻辑代数例3-5将表3-2真值表所表示的逻辑函数写成最小

项表达式。例题解：从表3-2中可以看到F＝1的行数有四行，其编号分别为1、3、5、7，故它的最小项表达式为第一节逻辑代数表3-2真值表ABCF00000011010001111000101111001111第一节逻辑代数最大项表达式第一节逻辑代数

逻辑函数表达式中所有变量的或运算即为最大项。在一个最大项中每个变量必须以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。把所有的最大项再进行逻辑与，这种表达式称为最大项表达式（标准“或与”表达式）。任意逻辑函数都可以通过以下步骤化成最大项表达式：①反复运用德·摩根定理去掉函数中的长非号，一直到只在单变量上有非号的表达式为止。②运用分配律，得到“或与”表达式。③补全每个或运算中的缺省变量，使其成为最大项。例3-5已知

求其最大项表达式。例题解：运用分配律A+BC=（A+B）·（A+C），得到“或与”表达式为第一节逻辑代数补全每个或运算中的缺省变量，使其成为最大项。如上式中第一项（A+B）中缺省变量C，则在此项中加入（CC）；第二项中加入（BB）；第三项中加入（AA），再用分配律整理，直到将其转化成为最大项表达式为止。第一节逻辑代数同样，最大项也可用编号表示，写成F=∏（M0，M1，…），方法与最小项基本类似。一个三变量的最大项编号如表3-3所示。注意：变量取值为0时，在最大项中以原变量形式出现；变量取值为1时，在最大项中以反变量形式出现，这点和最小项恰好相反。第一节逻辑代数表3-3三变量逻辑函数的最大项及其相应的编号变量ABC对应的最大项最大项的编号000M0=0001M1=1010M2=2011M3=3100M4=4101M5=5110M6=6111M7=7第一节逻辑代数例3-7将例3-6得到的最大项表达式写成数字型表

达式。例题解：从表3-3中可以得知例3-6中四个最大项的编号分别为0、1、2、4，故它的数字型表达式为F=∏（0，1，2，4）第一节逻辑代数第二节逻辑函数的演算法化简

第二节逻辑函数的演算法化简由于逻辑函数有不同的表达式，故要实现它所用的逻辑电路也不同。以函数F＝AB+AC为例，它可以有以下三种表示形式：为什么要化简相应地，实现它所用的电路也不同，分别如图3-1（a）、（b）、（c）所示。图3-1实现F=AB+AC的逻辑电路图第二节逻辑函数的演算法化简在图3-1（a）、（b）中同样采用了与门和或门，但图3-1（b）电路比较简单，图3-1（c）中则全部用与非门。可见，由于表达式的繁简程度不一，电路也有简单与复杂之分。一般地说，如果表达式比较简单，其电路也较简单；而电路简单，所用的元器件亦最节省，这不仅可以降低电路的成本，又可提高电路的可靠性。所以，逻辑

函数的化简是具有一定现实意义的。第二节逻辑函数的演算法化简化简标准根据成本低、速度快、可靠性高的原则，对一个电路的要求有：第一、逻辑电路所用的门数要少；第二、每门的输入端要少，即门的扇入要少；第三、逻辑电路所用的级数要少；第四、逻辑电路能可靠地工作。第二节逻辑函数的演算法化简公式法化简用逻辑代数中的公式和法则可以对逻辑函数进行化简。在化简过程中必须熟记一些相关的公式、规律及法则，并配以一定的技巧。以下介绍几种常用的公式化简方法。合并项法利用公式AB+AB＝A，消去一个变量。第二节逻辑函数的演算法化简例3-8化简例题解：第二节逻辑函数的演算法化简利用公式A+A＝1，将任意一项配以因子（A+A），然后把一项拆成两项，再与其他项合并化简。利用公式A+AB＝A+B，消去多余因子。利用公式A+AB＝A，去掉多余项。吸收法消去法配项法第二节逻辑函数的演算法化简例3-9化简例题解：第二节逻辑函数的演算法化简例3-10化简例题解：第二节逻辑函数的演算法化简例3-11化简例题解：第二节逻辑函数的演算法化简第三节逻辑函数的卡诺图化简

第三节逻辑函数的卡诺图化简用逻辑代数对逻辑函数化简时，除了要熟悉大量的公式外，还必须掌握一定的化简技巧，尽管如此，在化简过程中仍有可能出现不能使逻辑函数化至最简的情况。而用卡诺图对逻辑函数进行化简便能克服上述缺点。其化简步骤如下（为了节省篇幅，本书仅讨论四变量以下的卡诺图化简）。化简步骤一、用卡诺图表示逻辑函数二、在卡诺图中合并相邻项三、写出化简后的逻辑函数第三节逻辑函数的卡诺图化简表示一个逻辑函数，除了用真值表、波形图、表达式和电路图外，还可以用卡诺图。实际上卡诺图就是图化了的真值表。用卡诺图表示逻辑函数卡诺图的制作二变量卡诺图的制作：变量数n＝2，故有2n＝22＝4个方块，每个方块都有其固定的编号（见每个方块的左上角阴影部分），其编号由变量的取值决定（见所有方块左面和上面的二进制数字），并约定卡诺图中的行变量为高位组，列变量为低位组（当然也可以采用相反约定）。例如编号为1号的方块A、B的取值分别为0和1，如图3-2所示。第三节逻辑函数的卡诺图化简图3-2二变量的卡诺图第三节逻辑函数的卡诺图化简三变量卡诺图的制作：变量数n＝3，故有2n＝23＝8个方块。其变量取值顺序按照格雷码的规定，这样安排不论从垂直和水平方向来看，相邻方格间只有一个变量取值不同。如两个变量的取值顺序为00、01、11、10。例如编号为6号的方块A、B、C的取值分别为1、1、0，如图3-3所示。第三节逻辑函数的卡诺图化简图3-3三变量的卡诺图第三节逻辑函数的卡诺图化简四变量卡诺图的制作：变量数n＝4，故有2n＝24＝16个方块。同三变量卡诺图一样，行、列变量的取值顺序按照格雷码的规定。例如13号方块A、B、C、D的取值分别为1、1、0、1，如图3-4所示。第三节逻辑函数的卡诺图化简图3-4四变量的卡诺图第三节逻辑函数的卡诺图化简将函数值填入卡诺图在画好卡诺图后，再将对应的函数值填入方块中，便得到一个用卡诺图表示的逻辑函数。若原函数是真值表，只需将每种变量组合的对应函数值填入相应的方块中。若原函数是最小项表示的标准式，由于最小项的编号同卡诺图方块的编号相同，故可直接在卡诺图方块中填入函数值；否则将原函数转换成最小项表示的标准式后再填入函数值。第三节逻辑函数的卡诺图化简表3-4真值表ABCF00000010010001101000101111001111第三节逻辑函数的卡诺图化简例3-12将表3-4所示真值表的逻辑函数用卡诺图

表示。例题解：先画出三变量的卡诺图。再将逻辑值填入方块，如图3-5所示。图3-5卡诺图第三节逻辑函数的卡诺图化简例3-13试用卡诺图表示函数

F(A,B,C,D)=∑m(1,2,4,7,12,15)例题解：先画出四变量的卡诺图。由于原函数是最小项标准式，故可以直接填入逻辑值，如图3-6所示。图3-6卡诺图第三节逻辑函数的卡诺图化简例3-14试用卡诺图表示函数例题解：先将函数化成最小项标准式得图3-7卡诺图画出卡诺图表示的逻辑函数如图3-7所示。第三节逻辑函数的卡诺图化简合并相邻项是把卡诺图方块中的“1”用卡诺圈把它们圈起来，在圈“1”的过程中必须满足以下四个条件：用卡诺图表示逻辑函数卡诺圈中的“1”必须全部相邻。卡诺图中水平或垂直紧靠着的“1”是相邻的：如图3-8所示，编号13和15是相邻的；对角（如编号3和6）或不紧靠着（如编号0和3）的“1”是不相邻的。图3-8卡诺图第三节逻辑函数的卡诺图化简卡诺图中上、下、左、右的方块是相邻的：如图3-9所示编号0和8、8和10均相邻。由于方块0和8相邻、方块8和10又相邻，而方块2和10也相邻，所以图3-9中四个角上的方块0、2、8、10亦相邻。图3-9卡诺图第三节逻辑函数的卡诺图化简卡诺圈中“1”的个数必须是2n（n为自然数），且卡诺圈越大越好。因为卡诺圈越大，能消去的变量越多。卡诺图中的“1”可以重复被圈，但卡诺圈中的“1”必须有一个（或一个以上）未被圈过。卡诺图中所有的“1”必须全部圈到，即便是单个的“1”也不例外。

顺便指出，卡诺圈的形式不是唯一的，原则是只要能写出最简逻辑函数表达式即可。另外，卡诺图也可以对0进行画圈，但经化简后得到的是原函数的非，即F。第三节逻辑函数的卡诺图化简例3-15对图3-10中的卡诺图画圈。例题解：按照圈“1”的原则，可以将编号8、9、10、11圈起，将编号0、2、8、10圈起，将编号2、6圈起，将编号5单独圈起。图3-10卡诺图第三节逻辑函数的卡诺图化简例3-16对图3-11中的卡诺图画圈。例题解：按照圈“1”的原则，可以将编号4、5圈起，将编号1、3圈起。编号5、1不能再圈，因为圈内的两个1都被其他卡诺圈圈过。图3-11卡诺图第三节逻辑函数的卡诺图化简图3-14卡诺图按照圈“1”的原则，可以将编号5、7、13、15圈起，编号3、2圈起，编号2、10圈起，如图3-14所示。按照圈“1”的原则，可以将编号5、7、13、15圈起，编号3、7圈起，编号2、10圈起，如图3-13所示。例3-17对图3-12中的卡诺图画圈。例题解：图3-13卡诺图此图有两种圈法：第三节逻辑函数的卡诺图化简写出化简后的逻辑函数在画好卡诺图和卡诺圈后，便可写出最简逻辑函数的表达式，具体步骤如下。首先，写出表示卡诺圈的变量找出卡诺圈所涉及的全部变量。变量取值为“1”时，用原变量表示；变量取值为“0”时，用原变量的非表示。例如图3-13编号5、7、13、15所示的卡诺圈中的全部变量为：A、A、B、C、C、D。把变量中有“0”、“1”变化的全部去掉，剩下的进行逻辑与。例如在图3-13中，编号5、7、13、15所示的卡诺圈的变量为BD。第三节逻辑函数的卡诺图化简例3-18写出图3-10中编号0、2、8、10构成的卡

诺圈的变量。例题解：该卡诺圈涉及的全部变量为A、A、B、C、C、D。去掉A、A、C、C，故表示该卡诺圈的变量为BD。其次，把每个表示卡诺圈的变量全部进行逻辑或，即构成最简逻辑函数表达式。第三节逻辑函数的卡诺图化简例3-19写出图3-10所示逻辑函数的最简式。例题解：图中编号0、2、8、10构成的卡诺圈的变量为编号8、9、10、11构成的卡诺圈的变量为

编号5构成的卡诺圈的变量为编号2、6构成的卡诺圈的变量为由此写出的最简式为第三节逻辑函数的卡诺图化简例3-20写出图3-12所示逻辑函数的最简式。例题解：通过例3-17可知，它有两种不同的圈法，故写出的最简式亦有两种形式，分别为

（对应图3-13）或（对应图3-14）第三节逻辑函数的卡诺图化简

在前面所讨论的逻辑函数中，逻辑变量的取值是独立的。某个逻辑变量的取值可以为1和0，而且也不影响其他逻辑变量的取值。但在有的逻辑函数中，各个变量之间存在一定的制约关系，如在BCD码中，用四位二进制码ABCD表示的一位十进制数X，并按照8421规律编码时有X＝8A+4B+2C+D，它只用二进制0000~1001这十组编码来表示十进制数的0~9，而其余的六组取值1010~1111未用，这六组编码也是不允许出现的。一般称这种不会出现的变量取值组合所对应的最小项为约束项（或任意项、无关项），由所有约束项加起来构成的表达式叫做约束条件。第四节具有约束条件的函数化简

第四节具有约束条件的函数化简约束项和约束条件由于约束项恒