《小学数学教学论》课件-第九章

一、统计与概率教学的意义1．适应社会发展需要在以信息和技术为基础的现代社会，人们面临更多的机会和选择，常常需要在不确定的情境中，根据大量无组织的数据，做出合理的决策。概率统计的问题涉及到社会生活的方方面面。第一节统计与概率教学的意义、内容和要求2．提高解决实际问题的能力统计与概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用的思维方式。统计与概率的思想方法，将随着社会的不断发展越来越重要。在义务教育阶段，让学生经历统计与概率活动的全过程，使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，帮助学生在面对大量数据和不确定情境中，制定较为合理的决策，有利于发展学生综合运用所学知识解决问题的能力。3、使学生获得积极的情感体验统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的。动手收集与呈现数据是一个活动性很强并且充满挑战和乐趣的过程，做概率游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程。这有助于培养学生对数学的积极情感体验。二、统计与概率教学的内容1.统计与概率历史（1）概率的历史概率论起源于博奕问题。15—16世纪意大利数学家帕乔塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金问题，并用组合方法给出正确解答。他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，后者在1657年发表的《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。一般认为，概率论作为一门独立数学分支，其真正的奠基人是雅各布·伯努利，他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理。伯努利定理刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。

伯努利之后，棣莫弗、蒲丰、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性贡献。原苏联数学家科尔莫戈罗夫也从1920年代中期起开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，其结果是1933年以德文出版的经典性著作《概率论基础》。科尔莫戈罗夫提出了6条公理，整个概率论大厦可以从这6条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理系逐渐获得了数学家们的普遍承认。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。（2）统计的历史简单的统计古来就有．在18、19世纪出现了统计推断思想的萌芽，并有一定发展，但以概率论为基础、以统计推断为主要内容的现代意义的数理统计学，则到20世纪才告成熟。现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家费希尔。费希尔毕业于剑桥大学，做过中学教员，曾长期在农业试验站工作，在将统计学应用于农业与遗传学方面有丰富的积累。在1920和1930年代，费希尔提出了许多重要的统计方法，开辟了一系列统计学的分支领域。1946年，瑞典数学家克拉默发表了《统计学的数学方法》，用测度论系统总结了数理统计的发展，标志着现代数理统计学的成熟。2.统计与概率的教学内容第一学段（1）能根据给定的标准或者自己选定的标准，对事物或数据进行分类，感受分类与分类标准的关系。（2）经历简单的数据收集和整理过程，了解调查、测量等收集数据的简单方法，并运用自己的方式（文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果。（3）通过对数据的简单分析，体会运用数据进行表达与交流的作用，感受数据蕴涵信息。2.统计与概率的教学内容第二学段（一）简单数据统计过程（1）经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）。（2）会根据实际问题设计简单的调查表，选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据。（3）认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图；能根据分析问题的需要，选择适当的统计图。（4）体会平均数的意义，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。（5）能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息，并能读懂简单的统计图表。（6）能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。2.统计与概率的教学内容（二）随机现象发生的可能性（1）结合具体情境，了解简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。（2）通过实验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并和同学交流。三、“统计与概率”的教学要求1.关注“统计与概率”知识的形成过程统计和概率是一个需要经历的过程，就像描述一件事情要有“起因、经过、结果”一样，为什么要进行统计，统计要做哪些事情，统计的结果是什么，这个结果有什么意义，只有经历了统计的全部过程，才能真正体会到统计的意义和价值，感受统计与生活的密切联系，才能真正学会一种解决问题的技能，也才能感悟到学习数学的价值。2.关注“统计与概率”的实际背景小学生有“统计与概率”的生活经验，在学生已有的生活经验的基础上，利用现实的情境或材料进行教学设计，有利于让学生感觉到随机思想，体会到随机数学在处理问题上与确定性数学的不同。在随机环境中学习随机思想，树立随机意识。3．重视学生的活动体验“观念”的建立需要学生亲身的经历，需要他们真正投入到统计活动中，在活动的过程中去体验和理解知识的内在意义。因此，在教学组织过程中，不要将一些概率统计知识简单地当作就是对那些表示概念的词汇的识记，或者将它简单地当作一种程序性的技能来反复操练，而要尽可能地用一些活动来组织，以增加学生在学习过程中的体验。对“统计过程的体验”和“对可能性与不确定性的直观感受”不应由教师强加于学生，而必须是学生通过自主活动，从调查、操作等活动中摸索，探究而来。四、小学统计与概率思维方式在统计与概率中涉及两种不同的思维方式：或然性思维与决策性思维。其中决策性思维旨在发现数据的规律，对变异做出解释或分类，在这个过程中，背景知识是相当重要的；而或然性思维的焦点则是事件发生的稳定程度，并试图从少量的样本去推测总体，在这个过程中，最重要的是构造模型。统计学在本质上研究的问题是随机的，是非确定性的，通过较多的数据进行推断，也就是通过许多的个别来推断一般。可以认为是一种归纳。也就是说，统计与概率的教学不仅可以使学生对数学有一个更全面的认识，而且在思维方式上也是一种互补。四、小学统计与概率思维方式（一）小学统计思维发展过程1.观念是伴随着操作活动逐步形成的儿童的统计思想是在现实的操作活动中逐步形成的。2.数据的分析与利用能力的形成是渐进的例如，有一个小朋友一天里吃了1块水果糖，吃了5块巧克力糖。3.对数据理解是逐步发展的在儿童的经验中，往往是通过对一组单一数据的比较，来做出简单的且具有惟一性的判断。当他们在最初接触到一组复杂数据的时候，往往就会采用经验中的方法来做出判断或无法做出判断。4．对统计样本的理解缺乏经验的支持统计往往需要选择样本，选择什么样的样本?选择多大的样本才合理?这些可能对一个低年段的儿童来说，都是比较困难的。5.对数据特征的认识集中在外部的明显特征上一般说来，儿童主要是从“大、小”开始认识数的，因而，对低年段的儿童来说，他们往往对数据的“最大”或“最小”比较敏感，当他们对一组数据进行排序的时候，最关注的是“谁大”或“谁小”这样的数据特征，而还不能将这一组数据作为一个描述现象的一个整体来看待。例如，通过调查A，B，C，D，E，F，G七位同学在一年内上电影院看电影的情况后，得知分别为：7次、5次、7次、9次、2次、7次和11次。（二）小学概率思维发展过程Piage等对概率概念的理解进行过最早、最全面的研究。他们指出，儿童对概率的认识发展要经历三个主要阶段。第一阶段，即前运算阶段(8岁之前)的儿童会区分因果事件和随机事件。处于这一阶段的孩子总是试图在无序中发现有序，因为他们相信一定存在隐藏着的序。此阶段的孩子总是想象自己能够预测结果，无论是单独一次试验的结果，还是在已知先前结果基础上的下一次试验结果。他们相信没有发生过的结果比已经发生过的更有可能发生，因为所有结果应该轮流出现。第二阶段即具体运算阶段的儿童，年龄从8岁到12岁左右，能区分确定与不确定。此阶段的儿童开始知道如何量化概率，但在计算复杂情境的概率时拥有一套不完整的对策。对于不放回的试验，他们常常意识不到整体构成的改变，“因而他只考虑初始构成，而想不到比例是可变的”，他们拒绝在一次试验的情况下预测结果，认为试验结果可以是任意的，但他们认为若干次试验的结果应该表现出一定的分布规律。最后是形式运算阶段的孩子，大约从12岁开始，他们已经能够将演绎逻辑与随机概念统合起来了。处于这一阶段的孩子能认识到从1600次试验获得的分布信息比从16次获得的分布信息更具代表性。第二节统计与概率概念与技能教学一、简单数据统计过程统计学，按照《大不列颠百科全书》的定义：“是关于收集和分析数据的科学和艺术。”因此，统计是围绕数据分析而建立的。其中包括运用统计的方法来分析数据，组织和显示数据(表格和图形)，并在数据的基础上形成推论和预测。从具体应用的角度来分，统计学包括三个部分：描述统计、推断统计和实验设计。其中，在小学数学课程中，主要涉及的是描述统计。描述统计是指对所搜集的大量数字资料进行整理、概括，寻找数据的分布特征，用以反映研究对象的内容和实质的统计方法。描述统计可使无序而庞杂的数字资料成为有序而清晰的信息资料。小学阶段统计内容的设置都以统计的全过程为主线。在第一学段，通过具体操作活动，使学生对数据处理的过程有所体验，在活动中学习一些简单的收集、整理和描述数据的知识和方法。第二学段，通过日常生活和周围环境中熟悉的素材，使学生经历简单的数据处理过程。在此过程中，进一步学习收集、整理和描述数据的知识和方法，根据数据作出简单的判断和预测。从事收集、整理、描述和分析数据的活动是统计学习的首要目标。1.分类统计最基础的知识是比较、排列和分类。进行分类时，首先要对客观事物进行分析、综合。通过比较，发现事物之间的联系与区别，并抽象、概括出事物的一般特点与本质属性。分类也是将零散的、个别的知识系统化和条理化，从而形成有关概念的过程。因此，分类能力的发展对于将来理解、接受和掌握系统化的知识，形成科学、严谨的思维方式也有很大益处。在教学中要注意：（1）对学生熟悉的物体进行比较、排列和分类。超市货架上的商品是怎样分类摆放的？（2）鼓励学生在感知的基础上进行分类。2．统计表统计表的制作不只是一个简单的技术问题，而是在制作过程中体验和理解统计表意义的问题。即不是一个简单的数据堆砌的过程，而是一个对数据理解的过程。当向学生呈现“调查一下自己班同学最喜欢的体育运动项目的情况”这样一个问题时，对儿童来说，就不是一个简单的数据获得的问题，更重要的是如何处理这些数据的问题。设计简单的统计表是更加规范地收集数据的一种方法。学生在设计一个统计表时，首先，要明确调查的目的，为什么要去调查；其次，要考虑调查这个问题所涉及到的内容。这些问题在开始设计时，需要有一个全面的思考，这样，一旦设计调查表时，就容易获得成功。其中，每一项具体内容都应围绕调查的主题。3、统计图《标准》中所说的统计图实际上包含条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。当然，就统计过程中变量的多少而言又包含单式统计图与复式统计图。

（1）条形统计图对于条形统计图，在第一学段只要求1格表示1个单位，而在第二学段则要求1格表示多个单位。在认识了条形统计图后，学生将要学习折线统计图与扇形统计图。认识这三种统计图不是最终的教学目标，教学的目标应当是，学生能够根据不同的需要选择合适的统计图来表达数据，形成解决问题的能力。首先，条形统计图包括一格表示一个单位的，一格表示多个单位的。其中一格表示一个单位的条形统计图，是象形统计图的发展，在认识象形统计图时，可以结合象形统计图逐步过渡到条形统计图。其次，随着统计数据的增大，有些数据用简单的条形统计图就难以表示出来，需要学生体会到一个格可以表示多个单位，进一步认识条形统计图。第三，对于复式条形统计图可以让学生根据给定的复式统计表中的数据，分别绘制2个条形统计图，让学生说一说根据两个条形统计图能够发现哪些信息，如果要在一个统计图中描述这些信息怎么办？启发学生想：在学习复式统计表时是怎么把两个单式统计表合并的？（2）折线统计图折线统计图常称为线形图，一般要表示两个变量之间的函数关系，或描述某种现象在时间上的发展趋势，或一种现象随另一种现象变化的情形，用折线图表示是较好的方法。（3）扇形统计图扇形统计图是利用圆与扇形之间的关系来表示整体与部分之间的关系的一种图。它是在学习了百分数之后来介绍的。扇形统计图只要求学生认识，不要求学生绘制，这是和条形统计图、折线统计图的要求有所区别的。总之，在统计图这部分内容的教学中要注意：首先，经历数据统计的全过程。即“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程”。其次，要让学生初步了解不同形式的条形统计图的使用条件。不同的统计图都有其使用条件，要根据具体情况选用合适的统计图。第三，指导学生根据统计图表的数据提出并回答问题。4．统计量平均数是统计中的一个重要概念。小学数学里所讲的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。在统计中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中程度的一个统计量。在教学中要注意：（1）《标准》中明确指出，应“避免单纯的统计量的计算，对有关术语不要求进行严格表述”。（2）平均数、中位数、众数都是代表一组数据典型水平或集中趋势的量，它能反映数据分布的基本情况。中位数是位于依一定顺序排列的一组数据中央位置的数值。将一组原始数据依大小顺序排列后，如数据个数为奇数，则以位于中央的数据作为中位数；如数据个数为偶数，则以最中间的两个数据的平均数为中位数。众数是一组数据中出现次数最多的那个数值。平均数、中位数、众数这三个统计量反映数据的特征有所不同。平均数反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠稳定。但它的缺点是需要计算一组数据的每一个数据才能求得，较容易受一组数据的极端数值的影响。中位数的特征是意义简单明了，容易计算，很少受一组数据的极端数值的影响。它的缺点是比平均数易受一组数据偏差的影响，不适合代数计算等。众数的特点是非常简单明显，比较轻易地就能了解一组数据的大致情况。它的缺点是当一组数据的组距变动很大时，就难以判定它的准确值，所以，它只能大略地估计一组数据的集中趋势。二、随机现象发生的可能性在自然界和社会上发生的现象是多种多样的，有一类现象，在一定条件下必然发生，例如向上抛一石子必然落下，此类现象称为确定性现象，在自然界和社会上还存在另一类现象，例如向上抛一枚硬币，你不知道结果是正面朝上还是反面朝上，此类现象称为不确定现象，即随机现象。概率是研究和揭示随机现象统计规律性的数学学科。1．随机现象随机现象，是指在一定条件下，重复同样的实验或观察，所得的结果是不确定的，以至于在实验前无法预测实验结果，而在大量重复试验中，其结果又具有统计规律性。（1）不确定性小学阶段的学生也常常会明确地谈到与自己有关的事情的确定性和可能性。因此，向儿童介绍不确定的知识就成为小学概率教学的任务之一了。让学生初步体验有些事件发生的结果，有确定的与不确定的两种情况。这两种情况不是教师传授给学生的，也不是背诵教材的结论获得的，而是学生在活动的过程中逐步体验的。在活动过程中，让学生逐渐明晰作为随机现象一般要具有两个特点：首先，其结果至少有两个，其次，至于哪一个出现，人们事先并不知道。（2）规律性虽然随机现象具有不确定性，但是它也具有规律，也正是由于它的这一属性，才使得它与数学发生了联系。例如：抛掷一枚硬币。即任何一个随机事件的发生都有其偶然性，但是也包含着一定的必然性，这种必然性表现在大量重复的实验或观察中呈现出固有的规律，这就是随机现象的统计规律。2．可能性最初是要积累有关“可能性”的经验，了解事件出现的可能性，继而是认识事件出现的随机性，这是儿童关于概率概念的最初萌发的认知基础。以后有了事件发生可能性大小的观念，认识可能性大小的具体数量，进而用分数或百分数表示可能性的大小。因此，我们认识到事件出现的“可能性”是学生掌握概率概念的必要基础。第三节统计与概率解决问题教学一、统计解决问题教学（一）解决分类问题的教学分类是根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。以不同事物之间共有的某一种属性作为标准，把它们划归为一类，就是单一标准的分类。如果这些事物之间有几个相同的属性，我们可以分别以这些属性为标准进行不同的分类，就是不同标准的分类，由于标准的不同，分类的结果也不同。（二）解决复式统计表问题的教学在教学“复式统计表”时，一般的教学流程是“复习单式统计表填写方法→介绍复式统计表填写方法→练习填写并分析复式统计表”。采取这样的教学步骤，虽然学生也能够认识、填写复式统计表，并能根据表中信息回答一些简单的问题，但它忽视了学生的自主建构，使他们对单式统计表、复式统计表结构特征的认识并不深刻，对统计表概念的建构也并未达到应有的高度。

古邳小学四年级人数

四（1）班男生26人女生19人

四（2）班男生25人女生26人

四（3）班男生28人女生31人

四（4）班男生22人女生25人古邳小学四（1）班学生人数统计表

2010年10月

人数女生男生合计性别古邳小学四（2）班学生人数统计表

2010年10月

人数女生男生合计性别古邳小学四（3）班学生人数统计表

2010年10月

人数女生男生合计性别古邳小学四（4）班学生人数统计表

2010年10月

人数女生男生合计性别古邳小学四（1）班学生人数统计表

2010年10月

1926人数女生男生合计性别古邳小学四（2）班学生人数统计表

2010年10月

2625人数女生男生合计性别古邳小学四（3）班学生人数统计表

2010年10月

3128人数女生男生合计性别古邳小学四（4）班学生人数统计表

2010年10月

2522人数女生男生合计性别45594751四年级一共有

人，男生有__

人，女生有

人。

班的男生最多，

班的女生最少192645人数女生男生合计性别262551人数女生男生合计性别312859人数女生男生合计性别252247人数女生男生合计性别性别合计男生女生人数452619人数512526人数592831人数472225学生想到将单式统计表“拼接”起来。这时，再引导学生对“拼接”后的表格进行比较、分析，发现表中“重复”与“欠缺”之处，然后引导学生边修改边比较，不断完善，逐步“创造”出复式统计表。性别合计男生女生人数452619人数512526人数592831人数472225四（1）班四（2）班四（3）班四（4）班性别合计男生女生人数452619人数512526人数592831人数472225总计202101101古邳小学四年级学生人数统计表2010年10月合计男生女生四(1)班452619四(2)班512526四(3)班592831四(4)班472225性别人数班级合计男生女生四(1)班452619四(2)班512526四(3)班592831四(4)班472225总计202101101合计男生女生总计202101101四(1)班452619四(2)班512526四(3)班592831四(4)班472225性别人数班级性别人数班级古邳小学四年级学生人数统计表2010年10月总计四（1）四（2）四（3）四（4）合计20245515947男生10126252822女生10119263125古邳小学四年级学生人数统计表2010年10月班级人数性别总计四（1）四（2）四（3）四（4）合计202455947男生101262522女生19263125古邳小学四年级学生人数统计表2010年10月班级人数性别51101288614358347461018213920101016221654162212502816155932171463927757226201010第30届（三）解决统计图问题的教学看表制图的问题是统计知识的综合与延伸，通过这类题型的练习，学生会更加明晰各类统计图的特征，了解统计图表的制作方法。（四）解决统计量问题的教学为了使学生认识到“平均数”是一个统计量，撇开具有应用题意味的相关题材，而是选择从学生的平均身高、平均体重、家庭的平均收入等内容入手，进而在如何计算平均数、如何根据求出的平均数预测数据，如何分析平均数所给的信息等问题上让学生体验。若教学有充裕时间，还可再进一步让学生体验中位数、众数，然后提出“数据的代表”这样的问题让学生思考。在体验时，可先让同学们体验平均数的一些基本点，例如统计意义、平均值与具体值、总数与份数等。还可引入一些更深入的情景体验，体会“平均”其实并非那么简单：首先，平均能提供的信息可能很有限，其次，平均数受少数极端值的影响很大，为去除极值的影响，在实践中有剪裁平均数的应用方式。在平均数的教学中，应注意以下的一些基本问题：1．平均数的统计意义对平均数意义的理解是学生学习的一个重点，在教学时，教师可通过一些实例，让学生体会“平均”的意义，让学生体会“平均数”的统计意义，求平均数的实质是移多补少。2、平均数不是某项具体值平均数是移多补少后的一个平均数值，它只能代表总量与份数的比例，而不能代表其中某一项的具体值。吴正宪-平均数视频3．总数、份数平均数虽然简单，就是总数除以份数，但总数、份数有时较复杂，需里要细心指导学生仔细理解总数和份数，然后求平均数。4．平均数的信息可能很有限平均有时候能提供的信息可能很有限。如果数据的“贫富差异”很大，此时，平均所给的信息需仔细分析，应考虑再参考中位数、众数。在这类情景中，可以进一步问平均数作为“数据的代表”合适吗？中位数、众数是不是更合适呢？使学生体验不同的应用应选不同的统计量。例如：有一家新开的减重中心，学员只有五人。一个月之后，其中一位“超级大户”学员，从219公斤降到200公斤，减了19公斤；另外四位不仅没减，还各增重1公斤。结果减重中心开始大打广告，“全体学员平均一个月减重3公斤”。广告说的完全是实话，却掩盖了“大部分学员的体重不减反增”的事实。5．平均数受极端值影响“平均”最普遍的一种算法，就是总数除以份数；这种算法的缺点是，少数的极端值，就可以对结果有很大的影响。平均数受少数极端值的影响很大，为去除极值的影响，在实践中有剪裁平均数的应用方式。二、概率解决问题教学（一）解决随机事件（不确定现象）问题的教学在自然界和社会上存在一类现象，例如向上抛一枚硬币，你不知道结果是正面朝上还是背面朝上，此类现象称为不确定现象，即随机现象，其结果又具有统计规律性。为了使学生认识“随机事件”，应选择一些学生日常接触到的内容入手，理解确定性与随机性，进一步，再讲解随机事件的规律性，而在如何计算、如何分析等问题上让学生体验。1．随机现象具有不确定性在游戏活动中初步感受事件发生的确定性和不确定性，此时要求学生正确判断生活中的一些事情是确定性事件还是随机事件，对他们来讲，还是有一定难度的。2．随机现象具有规律性在教学中，可引入一些游戏活动，使学生初步感受事件不仅有不确定性，还有规律性。例如，摸球、抛硬币，通过这样的游戏，并引入实际的统计，使学生在体会到不确定性的同时，也体会到规律性，当然是一种统计规律。（二）解决可能性问题的教学等可能事件是概率论中研究得最早，在社会生活中又广泛存在的一种随机现象，它满足两个条件：（1）试验的全部可能结果只有有限个；（2）每个试验结果发生的可能性是相等的，这类随机现象的数学模型成为古典概型，也叫等可能概型。等可能事件与游戏规则的公平性是紧密相联的，因为一个公平的游戏规则本质上就是参与游戏的各方获胜的可能性相等。在古典概型中强调基本事件必须是等可能发生，忽略了这一点，往往会产生一些看似正确但实际上错误的解法。例：掷两枚骰子，求所得点数和为奇数的可能性有多大（概率）。错解：掷两枚骰子，和为奇数的有3，5，7，9，11这5个基本事件，和为偶数的有2，4，6，8，10，12这6个基本事件。故“和为奇数”的概率p(A)=5/11剖析：错在哪儿呢?关键就在于上述几个事件不是等可能发生的。如点数之和为3，就有(1，2)与(2，l)两种情况，而点数之和为2只有(1，1)一种情况.由于事件非等可能发生，导致结果错误。正解：掷两枚骰子共有6×6=36个事件，且36个基本事件是等可能发生的，这36个基本事件是（1，1），（1，2）……（1，6），（2，1），（2，2）……（2，6）……（6，6），二数之和为奇数的有(1，2)，(2，1)，(1，4)，（2，3)，(4，1)，…，(5，6)，(6，5)共18个基本事件，故事件A“和为奇数”的概率P(A)=1/2第四节统计与概率思想方法教学统计与概率是数学科学的一个颇有特色的分支。它不仅仅是一种技术，更是一种认识现实世界与处理日常生活的一种思想与方法。在统计与概率教学中，教者应注意在传授知识的同时，使学生领悟数学思想和方法，这对学生理解、巩固并掌握新知识具有一定的指导意义。一、随机思想概率论以自然界中大量存在的随机现象作为研究对象。其最重要的思想是如何