安徽省合肥市示范中学2025届高三下学期5月教学质量检测 数学试题（含解析）

安徽省合肥市示范中学2025届高三下学期5月教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知数列是等比数列，若，，则（

）A．4 B． C． D．4．已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．有4位同学到书店购买课外书，每人购买一本，根据需求，书店有5种书适合4位同学购买，那么4位同学恰好购买了3种书的购买方法有（

）A．240种 B．360种 C．480种 D．500种6．设双曲线：的左右焦点分别为、，过点且斜率为的直线在第一象限交于点，若，则的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．7．已知，其中，若，，，则的范围为（

）A． B． C． D．8．已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，现去除其中的两个数据，去除的两个数据记为和，则下列一定正确的是（

）A．若，则极差不变 B．若，则第75百分位数不变C．若，则平均数不变 D．若，则中位数不变10．已知实数,满足,,，则下列正确的是（

）A． B． C． D．11．已知，，且当时，则下列正确的是（

）A． B．当时，C． D．三、填空题12．已知向量，，若，则.13．已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为.14．已知，若，则的范围为.四、解答题15．在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角；（2）已知面积为，为7，求边上中线长.16．如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.17．某城市推广垃圾分类，设置智能回收箱（方式）和传统垃圾桶（方式）．统计显示，60%的居民选择方式，选择方式，若垃圾被正确分类，则垃圾被回收，不用填埋．智能回收箱的正确分类率为，错误分类后需人工处理，人工处理可将错误分类垃圾的40%重新正确分类，其余直接填埋；传统垃圾桶的正确分类率为75%，错误分类后直接填埋．（1）求垃圾最终被填埋的概率；（2）若某吨垃圾被填埋，求其最初通过传统垃圾桶投放的概率；（3）现有一吨垃圾要整体处理，设为其处理成本（单位：元），正确分类无需成本，人工处理成本为200元，填埋成本为500元.求的分布列及数学期望．18．已知抛物线：，过抛物线焦点且斜率为的直线与交于，两点（点在第一象限），已知线段中点纵坐标为.（1）求抛物线方程；（2）点在抛物线上移动，位于，两点之间且与，两点不重合.若直线交准线于点，直线交准线于点，其中点在点的上方.（i）是否存在点，使？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；（ii）求线段长度最小值.19．已知函数（1）证明不等式：；（2）记，证明：；（3）已知，证明：.

参考答案1．【答案】A【详解】由题得，，或，则，故选A．2．【答案】D【详解】，则，故选D．3．【答案】C【详解】因为数列是等比数列，设公比为，且，，则，又因为，所以.故选C.4．【答案】B【详解】如图所示：在正方体中，令直线，，下底面为平面，显然“直线，与平面所成的角相等”，但是“”不成立；由线面角的定义可知：若“”，则“直线，与平面所成的角相等”成立；即“直线，与平面所成的角相等”是“”的必要不充分条件，故选B5．【答案】B【详解】首先选出3种书，有种选法，再将4位同学分成的三组，有种选法，最后将种书分配给三组同学，有种分配的方法，按照分步乘法计数原理可知有种购买方法.故选B6．【答案】C【详解】设椭圆的焦距为，则，又，所以，由直线的斜率为，所以，结合得，，在中，由余弦定理得，整理得，，解得或（不合题意舍去），故选C．7．【答案】D【详解】定义域为，因，根据的函数图象以及图象变换可画出的函数图象，则在上单调递增，在上单调递减，不妨设又，则，，则，即，则，因，则，得，则，故的范围为.故选D8．【答案】C【详解】点是的重心，，过作交于，并延长交于，过作，过作，如图四边形为截面，∵点是的重心，，∴，∴，，，，四边形为等腰梯形，故面积为.故选C.9．【答案】ACD【详解】样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，现去除其中的两个数据，去除的两个数据记为和，当，则或，所以极差为不变，A选项正确；若，则，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，，第75百分位数是第8个数，数据1，3，4，5，6，7，8，10，，则第75百分位数是第6个数和第7个数的平均数，所以第75百分位数改变了，B选项错误；原数据的平均数为，当，新数据的平均数为，则平均数不变，C选项正确；原数据的中位数为，当，设，，新数据的中位数为，则中位数不变，D选项正确；故选ACD.10．【答案】AD【详解】对不等式进行变形化简得：，设.求导得：.所以函数在上单调递增.由，且函数单调递增，可得，即.对于选项A：因为，所以平方可得即.A正确.对于选项B：取反例，当时，，满足题意.而，所以B错误.对于选项C：取反例，当时，计算选项C的左边为，右边，此时，C错误.对于选项D：令，求导得，可以看出该导数在上小于0.所以在上单调递减，所以.因为，所以，所以.由前面可知，所以，所以选项D正确.故选AD.11．【答案】BCD【详解】∵，∴，即，两式相乘，∵，∴，即，∴，所以函数周期为6，故A错误；当时，，又，故B正确；∵，∴除以6余数为5，故，故C正确，由题知，，代入可求，∴，故D正确，故选BCD.12．【答案】【详解】∵，，∴，解得.13．【答案】【详解】椭圆的两个焦点为，，长半轴，圆的标准方程为，所以圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，又，，所以.14．【答案】【详解】由题可得：则注意到，则注意到，则，.注意到，则.则或，则或，则，当时，；当时，；时，.综上可得：的范围是.15．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得利用三角形内角和定理可得即因为所以，即因为，所以.（2）由得①由得②由①②得由，得.16．【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）连接，因为，是中点，所以，因为平面平面，平面平面，且面，，所以面，又因为面，所以，由，又，，得；（2）由（1）知，，，两两垂直，建立如图坐标系，则，，，，所以，，，设，分别是面和面的法向量，二面角记为，由，令，得，得是面的一个法向量，由，令，得，得是面的一个法向量，所以，所以，故二面角的正弦值为.17．【答案】（1）0.154（2）（3）分布列见解析，95【详解】（1）记为事件“垃圾按照方式分类”，为事件“垃圾最终被填埋”，则．（2）由题意得，．（3）由题意，的可能取值为0，200，500，700，且，，，，故分布列如下：02005007000.810.0360.10.054．18．【答案】（1）（2）（i）存在点；（ii）4【详解】（1）解：由题意，可得方程为，设，，联立方程，整理得，所以，所以，抛物线方程为.（2）解：因为点在第一象限，所以由（1）可得，.设，因为点在点的上方，所以，直线,令，可得，同理.（i）延长交准线于，可