湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考 数学试题【含答案】

创新高级中学2025年上学期创高杯考试高二数学试题时量：120分钟总分：150分第Ⅰ卷单选题：每小题5分，共40分1．已知集合，，则（

）A．B． C． D．2．设，则（

）A．B． C． D．3．下列命题正确的是（

）A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量4．角的终边过点，则的值为（

）A． B． C． D．5．“”是“不等式在上恒成立”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．关于函数，下列说法不正确的是（

）A．周期为 B．在上不单调C．是它的一条对称轴 D．有一个对称中心7.已知实数，且满足，则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．8．定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（

）A． B． C． D．二、多选题：每小题5分，共20分9．已知一组样本数据，则（

）A．该样本数据的平均数为1 B．该样本数据的众数与中位数相同C．该样本数据的方差大于极差 D．该样本数据的标准差小于众数10．已知椭圆，则（

）A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为4+11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（

）A．存在点，使得平面B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球表面积为12．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．当时，有极大值 B．当时，C．，恒成立 D．当有且仅有两个零点时，第Ⅱ卷三、填空题：每小题5分，共20分13．已知数列满足，则.14．已知是分别经过的两条平行直线，当与之间的距离最大时，直线的方程是.15．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是．16．设A，是两个随机事件，且则. 解答题：6个小题，共70分17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求的值；(2)已知，求的面积.18．已知数列满足，（），记．(1)求数列的通项；(2)设，求数列的前n项和为.19．如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，.(1)求证平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.20．近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一.2025年初，中国动画电影《哪吒2》火爆上映，引发观影热潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是，开出敖丙手办的概率是.(1)若张三到该店购买3个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为，求的分布列和期望；(2)若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出2个哪吒手办时，可获赠1个齐天大圣手办.已知手办盲盒单价为9元，那么平均花多少钱能获得1个齐天大圣手办?21．双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，求证：点到直线的距离为定值．22．已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在R上单调递增，求实数的值；(3)已知数列满足，，证明：．创新高级中学2025年上学期创高杯考试高二数学参考答案选择题123456789101112BDCBADCCABDACDACDABD二、填空题13、0或914、x+2y-3=015、0.21616、三、解答题17、（1），，，，即，，，.————（4分）（2）由正弦定理得，即，，又，所以，所以，所以.————（10分）18、（1），，又，所以，又，，数列中任意一项不为0，，数列是首项为2，公比为2的等比数列，.

则.————（5分）（2）由第（1）问知，，则，设数列的前项和为，所以①，②，所以①-②可得：，所以.

————（12分）19.（1）取的中点，连接，则且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；————（5分）（2）取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为为直径，所以，所以，，，在等腰梯形中，，，所以，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设平面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为. ————（12分）20、（1）可取0，1，2，3，由题可知.则，，0123P分布列：；————（6分）（2）设通过活动购买第X个盲盒时，恰好连续开出2个哪吒手办，设其期望为E，则.解得.平均需花费元. ————（12分）21.（1）由题意，得双曲线的渐近线方程为，右顶点为．又，且，所以，故．又，解得，所以双曲线的方程为．————（5分）（2）设，当直线和轴线平行时，，解得，所以点到直线的距离为．当直线和轴线不平行时，设直线的方程为，由得所以．又，所以解得．又点到直线的距离为，则，故，即点到直线的距离为．综上所述，点到直线的距离为定值．————（12分）22.（1）当时，，，所以，，所以曲线在点处的切线方程：；即；————（3分）（2）在上单调递增，等价于恒成立，令，易知