2026年高考物理大一轮复习讲义 第八章 第40课时 实验九：用单摆测量重力加速度

第40课时实验九：用单摆测量重力加速度目标要求1.知道利用单摆测量重力加速度的原理，掌握利用单摆测量重力加速度的方法。2.会对测量数据进行处理并进行误差分析。考点一实验技能储备1.实验原理当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πlg，由此得到g＝4π2lT2，因此，只要测出摆长l2.实验器材铁架台、单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。3.实验过程(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l'＋r。(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30~50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。(6)改变摆长，重做几次实验。4.数据处理(1)公式法：利用T＝tN求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝4π2lT2求重力加速度。

(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝g4π2T2，图像应是一条过原点的直线5.误差分析系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。6.减小误差的方法(1)一般选用一米左右的细线。(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。(4)单摆必须在同一平面内摆动，且摆角小于5°。(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。例1(2023·新课标卷·23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为mm，则摆球的直径为mm。

(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角5°(填“大于”或“小于”)。

(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为s，该小组测得的重力加速度大小为m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)

答案(1)0.006(0.005、0.007也可)20.035(20.034、20.036均可)20.029(20.027、20.028、20.030均可)(2)大于(3)82.51.829.83解析(1)题图(a)读数为0＋0.6×0.01mm＝0.006mm(0.005mm、0.007mm也可)；题图(b)读数为20mm＋3.5×0.01mm＝20.035mm(20.034mm、20.036mm均可)；则摆球的直径为20.035mm－0.006mm＝20.029mm(20.027mm、20.028mm、20.030mm均可)(2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。(3)摆长＝摆线长度＋半径，代入数据计算可得摆长为82.5cm；小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，则T＝54.6030s＝1.82根据单摆周期公式T＝2πLg可得g＝4π2LT2例2利用单摆可以测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小球，制成单摆。(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为cm。

(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的是(填标号)。

A.摆线要选择较细、伸缩性小些的，并且线尽可能短一些B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，摆线相对平衡位置的偏角越大越好D.用刻度尺测量摆线的长度，就是单摆的摆长(3)悬挂后，用米尺测量摆长L1，将小球拉离平衡位置一个小角度(小于5°)，由静止释放小球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，经过50个全振动时停止计时，测量结果如图丙所示，则通过测量和计算可得出单摆周期T＝s。

(4)实验中改变摆长L获得多组实验数据，正确操作后作出的T2－L图像为图丁中②图线。某同学误将悬点到小球下端的距离记为摆长L，其他实验步骤均正确，作出的图线应当是图丁中的(填“①”“③”或“④”)，利用该图线求得的重力加速度(填“大于”“等于”或“小于”)利用图线②求得的重力加速度。

答案(1)1.86(2)B(3)2.6(4)③等于解析(1)钢球直径读数为18mm＋0.1mm×6＝18.6mm＝1.86cm。(2)为减小实验误差，摆线要选择较细、伸缩性小些的，并且线尽可能长一些，A错误；为减小空气阻力，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，B正确；若摆线相对平衡位置的偏角超过5°，摆球的运动将不是简谐运动，C错误；摆长为摆线长加上摆球半径，D错误。(3)秒表读数为t＝2min＋10.0s＝130.0s。单摆周期为T＝130.050s＝2.6s(4)单摆周期公式为T＝2πlg，得T2＝4π2gl，若误将悬点到小球下端的距离记为摆长，则T2＝4π2g(L－r)，作出的图线应当是图丁中的③。考点二探索创新实验例3(2024·湖北卷·12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下：①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2πMk，其中k为弹簧的劲度系数，M(1)由步骤④，可知振动周期T＝。

(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝。

(3)由实验数据作出的l－T2图线如图(b)所示，可得g＝m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。

(4)本实验的误差来源包括(填标号)。

A.空气阻力B.弹簧质量不为零C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置答案(1)t30(2)l0＋gT(4)AC解析(1)30次全振动所用时间t，则振动周期T＝t(2)弹簧振子的振动周期T＝2πM可得振子的质量M＝k振子平衡时，根据平衡条件Mg＝kΔl可得Δl＝g则l与g、l0、T的关系式为l＝l0＋Δl＝l0＋g(3)根据l＝l0＋gTl＝l0＋g4π2则l－T2图像斜率k＝g4π2解得g≈9.59m/s2(4)空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A正确；弹簧质量不为零导致振子在平衡位置时弹簧的长度变化，不影响其他操作，根据(3)解析可知对实验结果没有影响，故B错误；根据实验步骤可知光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置会影响振子周期的测量，是实验的误差来源之一，故C正确。课时精练(分值：50分)1.(9分)(1)(2分)在用单摆测定当地重力加速度的实验中，下列器材和操作最合理的是。

(2)(3分)某同学课后想利用身边的器材再做一遍“单摆测量重力加速度”的实验。家里没有合适的摆球，于是他找到了一块外形不规则的小金属块代替小球进行实验。①如图甲所示，实验过程中他先将金属块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。②利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出金属块做简谐运动的周期T。③在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2-l图像如图乙所示。④根据作出的图像可得重力加速度的测量值为m/s2(π取3.14，计算结果保留三位有效数字)。

(3)(4分)相比于实验室作出的T2-l图像，该同学在家做实验的T2-l图有明显的截距。出现这种情况主要原因是，该操作导致重力加速度的测量值(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。

答案(1)D(2)9.86(3)摆长应取悬挂点到金属块的重心之间的距离不变解析(1)根据单摆理想模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁球，为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定。故选D。(2)设M点到小金属块重心的距离为r，根据周期公式T=2πL可得T2=4π2g(L故该图像的斜率为k=4π2g=4.099.0-(-1.0)×102s2/m=4解得由此得出重力加速度的测量值为g≈9.86m/s2(3)由(2)分析可知，出现截距是由于刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，应该取悬挂点到金属块的重心之间的距离。此操作并不会影响图线的斜率，所以对重力加速度的测量值没有影响。2.(6分)一同学利用图甲所示装置来测定当地的重力加速度。已知光滑圆弧凹槽ABC的半径为R，弧长为l(R远大于l)，B为圆弧轨道最低点，A、C关于B点所在的竖直线对称。小钢球的半径为r(r远小于l)，当小钢球经过圆弧轨道最低点B时，光传感器发出的光所在直线，恰好能过小钢球的球心。现将小钢球从A点由静止释放，沿凹槽ABC自由往复运动，光传感器接收端接收到一段时间内的光信号强度变化情况如图乙所示(只有ΔT已知)。(1)(3分)该同学在分析光信号强度变化情况时，发现Δt与ΔT相比，非常小，可以忽略不计。由此可得出，小钢球往复运动的周期为。

(2)(3分)小钢球在圆弧轨道上的运动与单摆运动相似，根据“用单摆测量重力加速度”实验原理，可得当地的重力加速度的表达式为g＝。

答案(1)2ΔT(2)π解析(1)根据题图乙可知ΔT＝T由于Δt与ΔT相比，非常小，可以忽略不计，解得小钢球往复运动的周期为T0＝2ΔT(2)单摆的摆长L＝R－r根据T0＝2πL结合上述解得g＝π23.(11分)(2023·重庆卷·11)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。(1)(2分)用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为mm。

(2)(3分)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00s，由此算得重力加速度g为m/s2(保留3位有效数字)。

(3)(6分)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋d2作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丙所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是，原因是。答案(1)19.20(2)9.86(3)逐渐减小随着摆线长度l的增加，则l＋d2越接近于l，此时计算得到的Δg解析(1)摆球直径d＝19mm＋0.02×10mm＝19.20mm；(2)单摆的摆长为L＝990.1mm＋12×19.20mm＝999.7mm，根据T＝2πLg，可得g＝4π2LT2，代入数据得g＝4×3.14(3)由题图丙可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋d2越接近于l，此时计算得到的Δg4.(12分)(2024·山东烟台市、菏泽市期末联考)某同学用如图甲所示的实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。细线的一端固定在一力传感器触点上，力传感器与电脑屏幕相连，能直观显示细线的拉力大小随时间的变化情况，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数及时间。(1)(2分)用游标卡尺测量摆球直径d，结果如图乙所示，则摆球直径d＝cm；

(2)(4分)将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，由静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球某次通过光电门时从1开始计数计时，当摆球第n次(n为大于3的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝(用t、n表示)。此过程中计算机屏幕上得到如图丙所示的F－t图像，可知图像中两相邻峰值之间的时间间隔为。

(3)(6分)若在某次实验时该同学未测量摆球直径d，在测得多组细线长度l和对应的周期T后，画出l－T2图像。在图线上选取M、N两个点，找到两点相应的横、纵坐标。如图丁所示，利用该两点的坐标可得重力加速度表达式g＝，理论上图线在纵轴截距的绝对值等于。

答案(1)1.240(2)2tn(3)4π2l2-l1T解析(1)摆球直径为d＝12mm＋8×0.05mm＝12.40mm＝1.240cm(2)小球每个周期经过光电门2次，摆球通过光电门时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次(为大于3的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期为T＝tF－t图像的峰值对应小球经过最低点，每个周期小球两次经过该位置，可知F－t图像中两相邻峰值之间的时间间隔为tn(3)根据单摆周期公式T＝2πl可得l＝g4π2T可知，l－T2图像的斜率k＝g由题图丁可知k＝l可得重力加速度表达式为g＝4π2l根据前面式子可知理论上图线在纵轴截距的绝对值等于摆球半径d25.(12分)(2023·湖南卷·11)某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图(a)所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：(1)测出钩码和小磁铁的总质量m；(2)在弹簧下端挂