中学高二12月月考数学试卷

中学高二12月月考数学试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、填空题(共12题，共60分)

1、已知函数/(“)=”-皿+了g(x)=-lnx,而斗月表示。办中的最小值，若函数

A(x)=nnn{/(x),.?(x)}(x>0)恰有三个零点，则实数加的取值范围是__________.

【考点】

空

【答案】34)

£

【解析】'-'f(x)=x3-mx+4,

.'.f"(x)=3x2-m,

£

若m20,则&(x)20恒成立，函数f(x)=x3+mx+Z至多有一个零点,

此时h(x)不可能有3个零点，故mVO,

令千'(x)=0,贝ljx=±

Vg(1)=0,

m

.,.若h(x)有3个零点，则<1,f(1)>0,f(、3)<o,

-3<m<0

{—+m>0

4

2m!-m1_

—J——+-<0

即3134

35

解得：m€<4>

故答案为：(4'4)

2、三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内解三角形.已知/为椭圆(«>1)的上顶

点,若以/为直角顶点的等腰直角三角形&岱C有且只有三解，则椭圆的离心率的取值范围是_1化为:

a2(k2-k)=k3-1,

当k=1时是其中一个根.

I

当k中1时，a2=k=k+£+1>3,

3、若函数/(x)=/T+x_2(8为自然对数的底数)，g(x)=aj}-ax:-a-2^若存在实数玉，

使得〃5)=雇幻=°,且则实数。的取值范围是__________

【考点】

一一54+123舞空

【答案】235

【解析】函数f(X)=ex-1+X-2的导数为f'(x)=ex-1+1>0,

f(x)在R上递增，由千(1)=0,可得f(x1)=0,解得x1=1,

存在实数x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0,且|x1-x2|W1,

即为g(x2)=0且|1-x2|W1,

即x2-ax-a+3=0在有解，

o

-=x3-x-l=^(x)*(x)=3f-l=0=x=±遮

a在0WxW2有解,

函数的值域为

「f-2后.1』-9-26.1-54+12万或说.

23

4、已知等差数列值｝中，有1。-30,则在此等比数列作｝中，利用类比

推理有类似的结论：.

【考点】

【答案】…％=挈也…%

【解析】等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，

等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：帆儿二4=^应用…%.

故答案为：

a

5、已知函数/(x)=d+62+阮-47。在x=i处取得极小值10,则g的值为.

【考点】

【答案】-2

【解析】,.*f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,

.'.fz(x)=3x2+2ax+b,

又f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极小值10,

.•・f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,

.'.a2+8a+12=0,

**.a=-2,b=1或a=-6,b=9.

当a=-2,b=1时，千'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),

1

当3<xV1时，fz(x)<0,当x>1时，产(x)>0,

1.f(x)在x=1处取得极小值，与题意符合；

当a=-6,b=9时，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)

当xV1时，V(x)>0,当1VxV3时，V(x)<0,

Af(x)在x=1处取得极大值，与题意不符；

b--2,

故答案为：-2.

115

13++_<-1117

1H----<-31+齐+正+不＜4

6、观察下列式子：232…，根据以上式子可以猜想

111

1+A+乒+…+丽、

【考点】

4029

【答案】2015

+万兀+予耘+万V]

【解析】试题分析：由已知中的式子12-V52,l+22R3<-31+02-+3-4-4,…

1112n-l1114029

芯+力+…+广+...+

1+\Vn——1+k+,<?nie

2223n2所以223Z201522015

7、设出。C是等腰三角形，乙43c=120°,则以/、3为焦点且过点C的双曲线的离心率为.

【考点】

1+由

【答案】2

【解析】由题意2c=|AB|,所以照底由双曲线的定义，有

2a=\AC\-\BC\=2j3c-2e^a=(yl3-^c

.二—二1二百+1

一°一厂2

1+百

故答案为：2.

8、用反证法证明命题”三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设为__________.

【考点】

【答案】三角形的内角至少有两个钝角

【解析】反证法证明时，需要假设反面成立，即原条件的否定。故应假设为：三角形的内角至少有两个钝

角。

故答案为：三角形的内角至少有两个钝角。

史+其=1

9、在平面直角坐标系工⑦中，已知椭圆95上一点尸到其左焦点的距离为4,则点尸到右准线的

距离为.

【考点】

【答案】3

史十月=1

【解析】根据题意，设椭圆95的右焦点为口，点P到右准线的距离为d,

椭圆95中a=3,b=

则c=2,

2

则其离心率e=3,

若P在椭圆上，且P到左焦点F的距离为4,则|PF，|=2a・2=2,

2

又由椭圆的离心率e=3,

M2

则有e=d=3,解可得d=3,

即点P到右准线的距离为3；

故答案为：3.

力一直=1

10、双曲线24"的渐近线方程为.

【考点】

*近

V=±----X

【答案厂2

J?好hJ2

-—一=1±—X2cL2AV=±——X

【解析】双曲线24,渐近线方程为：y=a,a=1工b=4,故得到方程为：2

*近

y=±---x

故答案为：2。

11、曲线》=弱、在x=°处的切线方程是__________.

【考点】

【答案】2X->+2=0

【解析】"二方=乂’=%”=工当自变量等于。时，函数值为2,故得到切线方程为：2x-j+2=°。

故答案为：2x-j+2=0。

12、命题“若3=1,则X=l”的否命题为.

【考点】

【答案】若一,1,则X/1

【解析】根据逆否命题的写法：将条件和结论互换，既否条件又否结论，原命题的逆否命题为若3*1,

则工”

故答案为：若则xfl.

二、解答题（共6题，共30分）

2

/(x)=lnxx+1

13、已知a为常数).

（1）当4=2时，求函数/㈤的单调性；

（2）当〃＞2时，求证：,卜"）＜。；

（3）试讨论函数/（X）零点的个数.

【考点】

【答案】（1）/（X）在（°」）上单调递增，在（LE）上单调递减（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，求导研究导函数的正负即可；（2）记

/(•")=€(4)=々+当夕＞2时，gS）＜°,对函数求导研究单调性求最值即可;

,由题意即证,

（3）直接对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的变化趋势，结合图像讨论函数的零点个数。

解析：

⑴解当以=2时，/（x）=lnx-x+l所以'（X）-x（x＞0）,

当x€（OJ）时/'（x）＞0；当x€（L+8）时/'（x）＜0；

故〃X）在（。」）上单调递增，在（L+00）上单调递减.

/（。"）=晨々）=々_"+1

（2）证明：记'/''a,

由题意即证，当a＞2时，

下（4=42（以-1）「

又W/（"2）,

记=时则〃（1-/）＜0,

所以1⑷＜°在⑵珂上恒成立，则雇以）在⑵句上单调递减,

晨水晨2）=3-/VO,即证

（3）由题意，,㈤=

(x>0).

①若GVO,则/'GA。，牧〃x）在（°/8）上单调递增,

/尸卜”-尸<0/⑴=i-2〉o

由零点存在性定理知，〃x）在（°，+8）上有且只有一个零点.

②若G〉0,当则/（X）在卜巧）上单调递增;

当巴/«）<。,则〃x）在G'力上单调递减,

”-万是/㈤在（°/8）上的极大值点,也是最大值点，""皿’团1az

所以,

⑴SO<2<1,即0VG<2,〃x）<°恒成立，则/（X）在但板）上无零点;

（ii）当万一）即〃=2,，（x）g=°,则〃％）在（9m）上有一个零点,

->1〜/（x）=ln->0

（iii）当2,即4>2,/no2

而当a>2时，有2,理由如下：令2（々>2），则''2,

所以“㈤在⑵网上单调递增，〃㈤即广..

/（«g）=（1-«）--s~a<0/彳「呜>。

'）a，由（2）知JY尸"，而12）2,

由〃x）在（9对上的单调性及零点存在性定理可知，/卜）分别在I①和15'1上各有一个零

点、,即〃x）在9”）上有两个零点.

综上所述，当夕<。或〃=2时，在（°收）上有一个零点;

当”2时，〃x）在⑥板）上有两个零点；

当0<々<2时，〃x）在但枚）上没有零点..

二+片=11

M、在平面直角坐标系X,中，椭圆C：«2b1（a>2z>0）的离心率为2,连接椭圆C的四个顶

点所形成的四边形面积为4,5.

（1）求桶圆C的标准方程；

（2）若椭圆C上点N到定点”（也°）（0<w<2）的距离的最小值为1,求m的值及点N的坐标;

（3）如图，过椭圆C的下顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M,N,设直线W的

2

v=-*-----1-x▲

斜率为上，直线九k分别与直线皿，AN交于点、P,Q.记"MV,AXPQ的面积分别为

3=竺

七邑，是否存在直线人使得％65?若存在，求出所有直线/的方程；若不存在，说明理由.

【考点】

之十/=1=—x=--x

【答案】G）43-（2）加的值为2,点"的坐标为（2°）（3）y~3X,y~3

1

C~ar（々=Z

【解析】试题分析：（1）根据题意列出式子2ab=4®解得〃=也从而得到椭圆方程；（2）根

=—J?-2mx+m2+3

据点点距公式得到4,研究这个函数的最值即可；（3）联立直线和椭圆得到二

品-APAQ孙卜国

次方程，2,将面积比转化为坐标之比代入即可。

解析：

{a2,（a=M

（1）由题意得：Z力=4瓦解得b=屈

7一炉-1

c---'----1

所以椭圆c的标准方程为43

（2）设"（'J）,由定点”（也°）,考虑距离的平方:

MN2=(x-w)a+>>2={x-m^+3I"*')

=7X2-2ro+m2+3

则4

二次函数的图象对称轴为％=4用,

由椭圆方程知-24x42,

由题设知o<4m<8,

GV1

①当。<4加42,即m2时，在工=4加时有肪L?=一3/»'+3=1,

解得34,不符合题意，舍去;

1Vm<2

②当4加,2,即5时，由单调性知：在x=2时有明「=m'_m+4=l

解得加=1或加=3（舍）.

综上可得：用的值为2,点"的坐标为（2°）.

（3）由（D知，"（°'一"），则直线的方程为）=丘一百，

y=AX-G,

/、「_8四

联立43-消去J并整理得O+解得“"一强而;

XR显

直线/"的方程为kX,同理可得4f32'+4.

y=kx-M,

<Jt2-1指

y=------x>_1^9XQ=-------

联立k解得与二心上,同理可得k,

1~川）।2显8版

.AM.AN:跖卜•二64^竺

邑-APAQ网⑷.岳.更（3+叱）（3必+4）65

所以2k,

i2=l

即靠‘一10必+3=0,解得V=3或3,

P-12-J2一

所以无一3或亍，

2百2昌

V=---xV=----X

故存在直线,：3,3满足题意.

=9一4

15、已知数列｛4｝满足4=1,14-%（"为正整数）.

（1）求丐，巧，4并猜想出数列｛&｝的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）的结论.

【考点】

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）写出数列中的几项，通过观察找出规律，归纳出通项；（2）根据数序归纳法的

步骤，①当"=1时，猜想成立，②假设当"=*（无wN*）时，猜想成立；证明即可。

解析：

同理可求｛I⑵设/㈤的导函数是/'（"）,在⑴的条件下，若加，力€【-”1,求〃m）+/'S）

的最小值.

【考点】

【答案】（1）a=2（2）-11

/'（1）=tan—=1

【解析】试题分析：G）根据导数的几何意义，得到4，，-3+3=1,即a=2；（2）

根据题意写出/（E）和/‘（力）的表达式，分别求两者的最值即可。

解析：

x-3xJ+2/1tan1

（1）/1（）=«据题意，/（）-4-.-3+2a=l即《=2.

（2）由⑴知〃%）=—-TM（x）=Tx'+4x

.对于小）最小值为〃°）=T

=2

・•,/'（"）=-*'+4%的对称轴为“一§,且开口向下，

.xe[-Ll]时，最小值为了,（T）与/1（1）中较小的

/'（T）=-7,.•・当辿-Ll]时，/'（X）的最小值为-7.

.・.当问-L1]时,尸㈤的最小值为-7,

.+r⑸的最小值为_]]

17、试用适当的方法求证下列命题：

（1）求证：46-2后＞有-疗；

11

（2）求证：1,&,、后不可能是同一个等差数列中的三项.

【考点】

【答案】（1）见解析（2）见解析

1

【解析】试题分析：（1）分析法人手，从要证的结果入手，两边移项平方即可；（2）反证法假设1,&,

1

括是同一个等差数列♦=m+q（p*o）中的/、由、"三项，最后推出矛盾即可。

解析：

(1)要证明再-2后〉有一疗，

只要证、，*+近>五+2亚，

只要证⑼"八回2&)：

只要证13+27