湖南省沅澧共同体2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省沅澧共同体2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数为实数，则实数a等于（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】，又为实数，所以，解得.故选：C2.设集合，，则集合中元素的个数为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】因为集合，，所以集合中元素为，共4个.故选：C3.已知幂函数在上单调递增，则m的值为（）A.1 B.-3 C.-4 D.1或-3【答案】A【解析】由题意可得.故选：A4.已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，圆心，半径，因为直角三角形，则点到直线的距离，得.故选：C5.已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为d，则由题，即或（舍去），所以.故选：B6.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆台的上底圆直径为3，上底圆直径为4.6，高为0.6，过点作，垂足分别，故，故，故该圆台部分的侧面积为.故选：B7.已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】由题知，函数的最小正周期满足，解得，所以，则，由图象与轴的交点为得，则，因为，所以，即，则，所以图象与轴的交点为，则，，因为，所以，解得（负舍），所以，所以，所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则，所以.故选：D8.已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知是定义在上的奇函数，则.当时，，那么，所以.当时，，则，所以.因此.分情况讨论：因为恒成立，所以.由可得，即，解得.又因为，所以不等式在上的解集为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数B.数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差C.在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱D.已知随机变量X服从正态分布且，则【答案】ABD【解析】对于A：数据1，2，3，5，8，9的中位数为，平均数为，因为，所以中位数小于平均数，故A正确；对于B：因为数据的平均数为，则方差为，则标准差，即标准差大于方差，故B正确；对于C：样本相关系数r的绝对值越小，线性相关程度越弱，故C错误；对于D：因为且，所以，故D正确；故选：ABD.10.中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】A：，且，则，若为锐角，则且，此时，即；若为钝角，则且，此时，即；综上，为直角三角形或钝角三角形，故A不满足题意；B：，由正弦定理得，即，得，由，解得，又，所以，即为直角三角形，故B符合题意；C：由，得，整理得，所以或，即为等腰三角形或直角三角形，故C不符合题意；D：，，即，由，得，即，，得，所以或，解得或，即为直角三角形，故D符合题意.故选：BD11.已知，是椭圆左、右焦点，是椭圆上一点，则（）A.时，满足的点有2个 B.时，满足的点有4个C.的周长等于 D.的最大值为a2【答案】ABD【解析】对和，又又当时，，两个短轴端点恰能使，正确；当时，，点位于短轴端点时，为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使，正确；对，，的周长为，错误；对，，，正确.故选：.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若非零向量满足，，则__________．【答案】【解析】因为，所以，又，所以，即，即，解得（负值舍去）；故答案为：13.已知点在抛物线上，的焦点为，则________．【答案】2【解析】由题意，抛物线的焦点，准线为，所以点到准线的距离，则.故答案为：2.14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】因为，所以，依题意，函数在上有两个变号零点，由，得，令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点，而，由，得，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，又，在同一坐标系内作出直线与函数图象，观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点，所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色总计女生10男生5总计50已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6．（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关；（2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值．附：，.0100.050.012.7063.8416.635解：（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6，所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人，不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人，列联表补充如下，喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色总计女生101525男生20525总计302050零假设为：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；（2）由题意，按分层随机抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为，表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布列为123数学期望.16.已知的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求周长的最大值．解：（1）由正弦定理及，得，，，．（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9．17.如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点．（1）证明：平面平面；（2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值．（1）证明：，，为的中点，，，平面，平面，平面．又平面，平面平面．（2）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系．取中点，连接，，．由（1）可知平面，平面，，又平面，平面，故平面．，，为的中点，．又，为的中点，．则，，，，，，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以．设平面的一个法向量，则，令，则，所以.设平面与平面的夹角为，则，所以.所以，平面与平面的夹角的正弦值是．18.已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2.（1）求双曲线的方程；（2）为坐标原点，过点且斜率不为0的直线交双曲线于两点（点在第一象限，点在第二象限），直线交双曲线于点，证明：.（1）解：由题意可得解得，所以双曲线的方程为.（2）证明：设直线，点，则.联立，得，.，则，，，所以.19.已知函数，．（1）求函数在处的切线方程；（2）求证：当时，；（3）求证：.（1）解：因为，所以，，所以切线斜率为，所以函数的在处的切线方程为，即；（2）证明：要证，只需要证明，其中，设，，设，