吉林省长春市2025届高三下学期质量监测（四）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省长春市2025届高三下学期质量监测（四）数学试题一、单选题1．复数z=12-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】复数z=1故选：A2．已知随机变量X~B3,13，则PA．727 B．827 C．1227【答案】D【解析】由题意得P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=故选：D.3．已知向量a和b满足a=b=3,a与b的夹角为60∘A．3 B．2 C．23 D．【答案】D【解析】由题意，2a故选：D.4．若α∈0,π2，且sin2α+πA．-3 B．3 C．-33【答案】B【解析】由sin2α+π6则tan2α=-又α∈0,π2⇒所以2α=2π3，所以α=故选：B5．圆x2+y2-4=0A．22 B．23 C．14 D【答案】A【解析】圆C1：x2+y2-4=0

圆C2：x2+y2-4x+4y-12=0

因为r2-r1<C因此公共弦所在直线的方程为①-②：x-y+2=0，圆C1的圆心到公共弦的距离为d=即公共弦长为l=2R故选：A6．在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（

）A．13 B．33 C．23【答案】C【解析】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图，易得CN//ME，所以四边形CNEM为平行四边形，则NE∥则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角，即∠ANE为直线AN与CM所成角（或补角），设正方体的棱长为2，则AE=DE=2,DN=2，AN=NE=在△ANE中，由余弦定理可得，cos∠ANE=因此直线AN与CM所成角的余弦值为23故选：C.7．已知直线y=x+1与曲线mx2+ny2=0(m>0,n<0)交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为A．52 B．102 C．53【答案】D【解析】设Ax1,则mx1mx2因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为32由y=x+1y=32x得：A,B中点坐标为且kAB①-②可得mx则-me=故选：D8．结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点Px0,y0,z0且一个法向量为n=a,b,c的平面α的方程为ax-x0+bA．3,1,-2 B．3,1,2 C．-2,1,-3 D．2,1,3【答案】A【解析】由阅读材料可知：平面x-3y+7=0的法向量可取a=(1,-3,0)平面4y+2z+3=0的法向量可取b=(0,4,2)设直线l的方向向量m=(x,y,z)则m⋅a=x-3y=0m⋅故选：A.二、多选题9．已知函数f(x)=2sin-2x-πA．x=2π3B．fx与函数y=2C．fx在区间0,D．fx在区间0,π【答案】AD【解析】f(x)=2sin令2x+π6=kπ+当k=1时，x=2π3为fy=2cos2x-π令t=2x+π6，当x∈0,显然y=-2sint在π6当x∈0,π2时，t∈π6,7π6故选：AD10．已知函数f(x)=x2-2xx<a，若函数FA．-1 B．1 C．2 D．3【答案】BCD【解析】Fx则Fx在R上共有3即Fx=0在R上有3个根，x1=-1，又因为函数Fx=fx-x在故选：BCD.11．数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线C:x12+yA．周长大于25B．共有4条对称轴C．围成的封闭图形面积小于14D．围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1【答案】ABC【解析】对A：由题意，在第一象限曲线C的方程为x+即y=x-4x当0<x<4,0<y<4时，曲线C在圆(x-4)2因为x+y=2，可设x则x-42+y-42而cos4θ===2cos4θsin4θ+1≥1（只有当cos所以x-42+y-42≥16（只有x=0y=4和x=4故0<x<4,0<y<4时，曲线C在圆(x-4)2+即第一象限曲线C的长度大于圆(x-4)2+(y-4)即曲线C的周长大于圆(x-4)2+(y-4)2=16的周长8对B：由曲线C的方程为x1因为x,-y，-x,y，y,x，-y,-x代入方程，方程都不变，所以曲线C关于x轴，y轴，直线y=x和y=-x对称，共有4条对称轴，则选项B正确；对C：由A选项的推证可知：曲线C围成的封闭图形的面积S<8×8-π则选项C正确；对D：第一象限曲线C的方程为x+所以x+y≥x+y22=2，x2+所以曲线上距离原点的最短距离为2，因此围成的封闭图形内最大能放入半径为2的圆，则选项D错误.故选：ABC三、填空题12．已知a=b=a【答案】2【解析】因为a=b=a+所以a-故答案为：2313．已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且a1，a2，a【答案】4【解析】设等差数列an的公差为d，由a1，a2，a即a1+d2S6故答案为：4.14．已知函数fx=x+ax0<a≤3在-2,-1【答案】1【解析】∵f-x所以fx=x+ax0<a≤3为奇函数，且所以fx在1,2上的最大值比最小值大1由对勾函数的性质可得fx在0,a上单调减，在a当a≤1时，即0<a≤1时，fx在1,2则fx解得a=1.当1<a≤43时，即1<a≤3时，fxf(x)因为f2-f1所以fx解得a=1（舍去）或9（舍去）.综上a=1，故答案为：1四、解答题15．为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：性别身高合计低于170不低于170女m20男50n合计200（1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的m，n的值；（2）依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于170 cm”（3）将样本频率视为概率，在全市不低于170 cm的学生中随机抽取6人，其中不低于175 cm的人数记为X，求X附：χ2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）由图，低于170cm的学生有200×5×0.005+0.015+0.030+0.060=110人，则不低于170cm的学生有从而m=110-50=60，n=90-20=70；（2）零假设为H0计算可得χ根据α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于170cm（3）样本中抽中不低于175cm的频数为0.032+0.008×5×200=40样本中抽中不低于175cm的频率为40将样本频率视为概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取6人，其中不低于175cm的人数记为X，则X∼BEX16．已知函数f(x)=xsin（1）当a=1时，求fx在x=（2）当x∈0,π2时，fx≥-1解：（1）当a=1时，f(x)=xsinx+f又因为fπ所以，切线方程为y-π2+1=（2）当x∈0,π2①当x=0时，因为f0=-1≥-1恒成立，所以②当x∈0,π2时，由令m(x)=-sinx再令n(x)=-xcosn所以n(x)在0,π所以nx>n0所以mx在0,π2所以a≥mπ即a的取值范围为：-17．已知数列an中，a（1）若a1,a（2）若a1=43，证明数列an-1（1）解：a又a1,a即22a1（2）证明：因为an+1且a1-13=1，所以a可得an-1Sn18．如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点M，N位于底面两侧，底面ABCD是边长为6的正方形.

（1）证明：平面AMCN⊥平面BMDN；（2）若AM⊥AN且AM=2AN，点P满足NP=16AD（1）证明：由题意，连接AC，BD，MN交于点O，则MN⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴MN⊥AC，∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BD⊂平面BMDN，MN⊂平面BMDN，BD∩MN=O，∴AC⊥平面BMDN，∵AC⊂平面AMCN，∴平面AMCN⊥平面BMDN.（2）解：由AM⊥AN且AM=2在△AMN中，易得OM=2ON=6.NPNPNPOPOP以O为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，

则A3,-3,0，M0,0,6，B3,3,0，N0,0,-3，所以AM=(-3,3,6)，BN=(-3,-3,-3)，求出平面BPN的一个法向量n=设直线AM与面BPN所成角为α，则sinα=|所以直线AM与平面BPN所成角的正弦值为21619．已知点P为圆C:x+22+y2=12上任意一点，点A2,0，线段PA的垂直平分线交直线PC（1）求曲线H的方程；（2）若过点B的直线l与曲线H相切，且与直线y=±33x（i）证明：点B为线段MN的中点；（ii）求2OM+3解：（1）B为PA的垂直平分线上一点，则BP=∴BA∴点B的轨迹为以A,C为焦点的双曲线，且2a=2故点B的轨迹方程为H:x（2）（i）设Bx双曲线的渐近线方程为y1=33当直线l的斜率存在