云南省临沧地区中学2025届高三下学期适应性月考卷（二） 数学试题（含解析）

临沧地区中学2025届高三适应性月考卷（二）数学注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关于复数z=2−1+i(i为虚数单位)的说法错误的是A.z的共轭复数为1+i B.z2=2i

C.z的虚部为−1 2.已知集合M={x|2x−1≤2}，N={x|log2x≤1}，则M∩N=A.(−∞,32] B.(0,32]3.已知i,j∈N∗，记Sn为等比数列an的前n项和.设命题p:a2i+1<0；命题q:SA.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知|a|=5，|b|=3，且向量a在向量b上的投影的数量为A.22 B.33 C.25.几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与腰之比为黄金分割比(5−12≈0.618)的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36∘的等腰三角形.例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形ABCDE的边长为a，正五边形A1B1CA.5−14 B.3+526.设函数f(x)满足：∀x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)⋅f(y)，且f(2)=2.记an=f(n)，则数列{log2anA.55 B.45 C.552 D.7.已知函数f(x)=x2−ax+1,x⩽0(a−1)x+lnx+1,x>0图象与xA.[−2,+∞) B.(−1,0)

C.(−∞,−2]∪[0,+∞) D.(−1,+∞)∪{−2}8.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N为线段BD1上的两个三等分点，动点GA.23π3 B.3π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.数据22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位数为22

B.数据xi,yi(i=1,2,3,⋯,10)组成一个样本，其回归直线方程为y=x−3，其中x=8.2，去除一个异常点(1,7)后，得到新的回归直线必过点(9,5)

C.若随机变量ζ∼N1,σ2，则函数f(x)=P(x≤ζ≤x+2)为偶函数

D.10.对于函数f(x)=2sin2x−πA.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)在0,π6上单调递减

C.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=π6

D.函数g(x)=f(x)−1在11.已知双曲线E:x24−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交A.在直线F1A上取不同于A的点C，若BA⋅BC=BA2，则▵AF1F2的面积为1

B.若直线l的斜率存在，则斜率范围为−12,12

C.当直线l的斜率为−1时，▵ABF1的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知单调递减的等比数列an满足a2+a3+a4=28，且a3+13.在△ABC中，BC=2，AC=2AB，M是△ABC所在平面内一点，且AM=λAB+(1−λ)AC，若存在点M0，使|AM14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍(cℎú méng)，其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，EF//AB，侧面▵ADE和▵BCF为等边三角形，且与底面所成角相等，则该几何体中异面直线共有

对；若AB=AD=4，E到底面ABCD的距离为11，则该刍甍的体积为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且a−bc(1)求tan(2)若△ABC的面积为 ①E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值; ②求内角A的角平分线AD长的最大值．16.(本小题15分)如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1(1)证明：BC⊥AC；(2)若AA1=2，AB=5，直线A1B与平面BCC1B17.(本小题15分)某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A,B,C,D,E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为n(2⩽n⩽6,n∈N∗)，然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第n−1次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.(1)求程序运行2次小明获奖的概率：(2)若n=4，求小明获奖的概率；(3)若n=6，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望．18.(本小题17分)已知动圆E经过定点D0,14，且与直线y=−14相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.已知点B1与点A11,1关于y轴对称，过点B1作斜率为1的直线交C于点A2，点B2与点A2关于(1)求曲线C的方程；(2)证明xn为等差数列，并求出x(3)记，求数列an的前n项和Sn．19.(本小题17分)若函数f(x)与g(x)在区间I上满足：存在实数k，使得对任意x∈I，都有f(x)≥kx,g(x)≤kx,则称k为f(x)和g(x)在I上的同步斜率．已知f(x)=ex−1，(1)验证1是否为f(x)和g(x)在[0,+∞)上的同步斜率；(2)若1是ℎ(x)和g(x)在区间(0,1)上的同步斜率，求实数a的取值范围；(3)证明：当n≥2且n∈N ​∗时，i=1n答案1.【答案】A

解：z=2−1+i=z2=−1−iz的虚部为−1，故C正确；z=−1故选：A．2.【答案】B

解：由题意知M={x|2x−1≤2}=xx⩽32，

N={x|log2x≤1}=x0<x⩽23.【答案】A

设an的公比为mm≠0，则若a2i+1<0，则必有当m=1时，当n≥2时，an=a当m≠1时，S2j+1若m>1，则1−m2j+1<0,1−m<0若0<m<1，则1−m2j+1>0,1−m>0若m<0，1−m2j+1>0,1−m>0综上，充分性成立，若S2j+1<0，当m=1时，S2j+1当m≠1时，S2j+1由于m>1或0<m<1或m<0时，1−m2j+1,1−m所以a1<0，则综上，必要性成立，所以命题p是命题q的充要条件．故选：A．4.【答案】A

由题意得|a|cos〈a所以．故选：A5.【答案】B

因为AC1=DB1,CDAD=5−12,D1C1AC1=5−12,C1D1=b,CD=a，6.【答案】C

由题意，函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)，

则f(x2+x2)=[f(x2)]2=f(x)，

所以f(x)≥0，

令x=y=1，得f(2)=[f(1)]2，

又f(2)=2，f(1)≥0，

所以f(1)=2，

令x=n，y=1，得f(n+1)=f(n)f(1)=2f(n)，n∈N∗

又an=f(n)，所以an+1=2an，

又a1=f(1)=7.【答案】C

当x≤0时，若x2−ax+1=0，显然x≠0，否则若x=0，就有1=0，矛盾，

所以a=x+1x，(x<0)，而函数y=x+1x，(x<0)的值域为(−∞,−2]，

所以若方程a=x+1x，(x<0)有解，则a的范围为(−∞,−2]；

当x>0时，若(a−1)x+lnx+1=0，则a=1−lnx+1x，(x>0)，

设g(x)=1−lnx+1x，(x>0)，则g′(x)=−1−(lnx+1)x2=lnxx2，

当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，

所以当0<x<1时，g(x)单调递减，当x>1时，g(x)单调递增，

当x趋于0时，g(x)趋于+∞，当x趋于+∞时，g(x)趋于8.【答案】B

如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C因为M、N为线段BD所以BN=易知B1C⊥BC1,C1所以B1C⊥平面BC1D1，

又因为同理可证AC⊥BD1，

因为B1C⊥BD1，AC⊥BD1，B则BD1⊥设点B到平面B1AC的距离为ℎ，则三棱锥BB则13所以N在平面▵AB则GN⊥MN，所以S△GMN所以平面内点G的轨迹是以N为圆心，3如图，在正三角形B1AC中，N为中心，圆N的半径为3NT=1所以在直角三角形ENT中NE=NF=则∠ENT=π所以三个虚线弧圆心角弧度数为π2则三个实线弧圆心角弧度数为2π−3π所以G点的轨迹长度为π2故选：B．9.【答案】BCD

【解析】解：对于A，数据按照从小到大的顺序排列为18,19,22,23,23,24,24,25,26,30，因为10×35％=3.5，所以数据第35百分位数是从小到大的第4个数对于B，数据xi,yi(i=1,2,3,⋯,10)组成一个样本，其回归直线方程为y=x−3，其中x=8.2，则y=8.2−3=5.2.去除一个异常点(1,7)后，其中对于C，因为随机变量ζ∼N1,σ2，所以对称轴为μ=1，

对于D，在2×2列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则3n(9ad−9bc)234(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=3n故选：BCD．10.【答案】BCD

【解析】解：对于A选项，易知函数f(x)=2sin2x−因为f=2sin2x−所以，函数f(x)的最小正周期为T=2π4对于B选项，当0<x<π6此时，f(x)=2因为函数y=sin2x−π3在0,π6上单调递增，故函数对于C选项，因为f=−2所以，函数f(x)的一条对称轴为直线x=π6，故对于D选项，由g(x)=f(x)−1=2sin2x−当−π4<x<π解得x∈π12,π4,7π故选：BCD．11.【答案】BD

【解析】解：对于A，因为BA⋅BC=

即BA⋅AC=0，所以▵又因为AF1−解得▵F1AF2对于B，因为F25,0，直线的斜率存在且不为0，设联立方程x=my+5,因为直线l交E的右支于A，B两点，故解得：m∈所以斜率k的范围为k<−12或k>对于C，因为直线l的斜率为−1，故直线的方程为x=−y+设Ax1,由B可知，联立方程得：3y故y1+yS=5对于D，设∠HPD=α，PH=m，则tan因为PH=m令t=m2+1设Px0,因为对称轴为x故PDmin2所以t∈115,+∞，故PH⋅PK的最小值在

故选BD．12.【答案】(12)设等比数列{an}的公比为q又a2+a3+∴a∴a1q+又{a∴a1=32∴an=32×(13.【答案】43【解析】解：因为AM=λAB+(1−λ)AC，λ+1−λ=1，

所以由平面向量基本定理可知M，B，C三点共线，

若存在点M0，使|AM|≥|AM0|，

则|AM0|表示A到直线BC的距离，

以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立坐标系，

则B(0,0)，C(2,0)，A(x,y)，

因为AC=2AB，

所以A点的轨迹方程为(x+23)2+14.【答案】12

；20【解析】解：由异面直线的判定定理易知：AD与EF,BF,CF成异面直线，BC与EF,AE,DE成异面直线，AB与CF,DE成异面直线，CD与AE,BF成异面直线，AE,CF成异面直线，BF,DE成异面直线，共12对；在刍甍ABCD−EF中，过F作底面ABCD的垂线，垂足为H，则FH=11，取BC的中点K．

因为ΔBCF为等边三角形，且BC=AB=4，则HK=FK分别取AB，DC的中点M，N，则刍甍ABCD−EF被分为四棱锥E−AMND和三棱柱EMN−FBC．又因为VE−AMNDV三棱柱又因为V所以V三棱柱所以该刍甍的体积为83故答案为：12；20315.【答案】解：(1)由正弦定理，得a−bc=c−ba+b，

即c2+b2−a2=bc，

故cosA=c2+b2−a22bc=bc2bc=12，所以A=π3．

所以tanA=3；

(2) ①由(1)知sinA=32，

因为△ABC的面积为3，所以12bcsinA=3，解得bc=4，

由于AE=12(AB+AC)，

所以AE2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)

=116.【答案】解：(1)作A1H⊥CC因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面所以A1H⊥平面又因为BC⊂平面BCC1B1，所以连接HB1，HB，取BB因为A1所以A1Q⊥BB1，A1Q∩A所以BB1⊥平面A1QH，HQ⊂又A1C1=A1C，A1H⊥C又A1H∩CC1=H，A所以BC⊥平面A1C1CA，AC在平面(2)由(1)可得A1B与平面BCC故sin∠A1BH=A以CA所在直线为x轴．CB所在直线为y轴，过C作CM垂直于A1C1于点M，亦得CM⊥平面ABC，则以CM

A3,0,0，B0,4,0，A173,0,A1B=(−73,4,−4设平面A1BC的法向量为则m则m=(4设平面B1AC的法向量为则n⋅B1设平面A1BC与平面B1则cos θ=|故平面A1BC与平面B117.【答案】解：(1)程序运行2次小明获奖的情况有A−B−A,A−E−A这两种，其概率P1=(2)当n=4时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖，程序运行4次，小明获奖的情况有A−B−C−B−A,A−B−D−B−A,A−E−D−E−A,A−B−D−E−A,A−E−D−B−A这五种，其概率P2故当n=4时，小明获奖的概率P=P1(3)当n=6时，X的所有可能取值为2,4,5,6

，由(1)可知P(X=2)=512，由(2)可知当X=5时，包含A−B−C−D−E−A,A−E−D−C−B−A,A−B−C−D−B−A，A−B−D−C−B−A这四种情况，其概率P(X=5)=2×1P(X=6)=1−P(X=2)−P(X=4)−P(X=5)=1−5故X的分布列为：X2456P531585故E(X)=2×518.【答案】解：(1)因为动圆E经过定点D0,14即动圆圆心E到点D0,14又点D0,14不在直线y=−14上，

由抛物线的定义可知动圆圆心E所以动圆圆心E的轨迹为x2=y