云南省临沧地区中学2025届高三下学期适应性月考卷（三） 数学试题（含解析）

临沧地区中学2025届高三适应性月考卷（三）数学注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x≥2}，集合B={y|y=2x−1,x∈A}A.[0,+∞) B.[3,+∞) C.[2,+∞)2.已知i为虚数单位，复数z满足z(3+i)=2−i，则下列说法正确的是(

)A.复数z在复平面内对应的点在第二象限 B.复数z的共轭复数为−12+12i

C.复数z的模为3.已知Sn为等比数列{an}前n项和，若a4A.5 B.3 C.−3 D.−54.已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期是π，将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)=A.有一个对称中心π12,0 B.有一条对称轴x=π6

C.在区间−π125.若随机变量X~N(3,σ2),且P(X≤a)=P(X​​​​​​​≥b),则a2+b2的最小值为（

A.18 B.182 C.24 6.已知不共线向量a，b，若向量a+b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是(

)A.a·b=0 B.(a+b7.函数f(x)的定义域为R，且对任意的实数x，都有f(x)=f(x−1)−f(2−x)，且f(1)=1，则i=134[f(i)A.−7 B.−8 C.−9 D.−108.已知椭圆C:x216+y212=1和圆A:x2−2x+y2=0，P，QA.6 B.5 C.9 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在40,50内，则(

)

A.图中的a=0.005

B.m=200

C.同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2

D.该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议10.已知F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线A.2+1 B.2+2 C.11.已知函数f(x)=ln x，g(x)=x3−A.k=e2+1e

B.函数g(x)在(e,g(e))处的切线与直线x−ey=0平行

C.函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，BC=22，点D为△PAB内(包含边界)一点，且BD⊥CD，则点D的轨迹的长度为

．13.若x−12xn的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为

.(用数字作答14.在圆内接四边形ABCD中，∠DBA=π6，2BD=3AB，则∠ADB=

，若AC=46四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在一次传球训练中，甲、乙、丙、丁四人按照逆时针依次站在一个正方形的四个顶点处．每次传球时，传球者将球传给其他三人中的一个．已知第1次由甲将球传出，且每次传球者沿着正方形的边传给队友的概率为25，沿着正方形的对角线传给队友的概率为1

(1)求第3次传球者为乙的概率；

(2)记前3次传球中丙的传球次数为X，求X的概率分布列及方差；

(3)求第n次传球者为丁的概率．16.(本小题15分)已知函数f(x)=e(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若对任意x1∈(0,+∞)和任意x2∈(0,+∞)，都有x17.(本小题15分)

如图，在四棱锥S−ABCD中，ABCD为矩形，且AB=2BC=2，SB=3，∠SCB=∠SCD =60(1)求证：BC⊥平面SAB;(2)若NS//BC(N在S的左侧)，设三棱锥N−SAB体积为V1，四棱锥S−ABCD体积为V2，且(Ⅰ)求点A到平面SNC的距离;(Ⅱ)求平面SNC与平面ABN所成夹角的正弦值．18.(本小题17分)若b2<ac，则称b是a(1)若2是a和c的减比中项，求a2(2)已知数列{an}满足a1=1,a2=1,数列{bₙ}满足b1=2,b2=2,存在正数m>1(i)证明：an+2bn+1是(ii)记数列bn−anbn+1−19.(本小题17分)O为坐标原点，P为坐标平面上与O不重合的点，d表示点P到x轴的距离，|OP|表示点O到点P的距离，若满足|OP|=λ+μd2(λ,μ均为常数)，则称点P的轨迹为(λ,μ)曲线.已知曲线Ω是(4,−3)曲线，直线l与曲线Ω交于A，B两点((1)求曲线Ω的方程;(2)若点Q(2,0)在曲线Ω上，直线QA斜率为k1，直线QB斜率为k2，且k1⋅(3)若直线l经过点M(4,0)，点B与点D关于x轴对称，直线AD与x轴交于点N，求△ABN面积的最大值．

参考答案1.【答案】C

【解析】解：由题意得集合A={x|x≥2}=[2,+∞)，

集合B={y|y=2x−1,x∈A}={y|y≥22−1=2.【答案】C

由条件得，z=2−i3+i=(2−i)(3−i)(3+i)(3−i)=5−5i10=12−12i．

对于A，复数z在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限，故A错误；

对于B，z的共轭复数为12+12i，故3.【答案】A

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

由a4=4a3−4a2，可得a2q2=4a2q−44.【答案】B

解：由题意，函数f(x)的最小正周期是π，即2πω=π，

∴ω=2，

∴f(x)=sin(2x+φ)，

f(x)的图象向左平移π6个单位，即得到y=sin(2x+π3+φ)，

∵此时函数图象过P(0,1)，

∴1=sin(2×0+π3+φ)

∴π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，

∵0<φ<π，

∴φ=π6，

∴f(x)=sin(2x+π6)，

令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，

可得：−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，即f(x)在−π3+kπ,π6+kπ，k∈Z，上单调递增，

∴D选项错误，

令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，

可得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ，5.【答案】A

【解析】解：已知随机变量X~N(3,σ​2),其图像关于x=3对称，

由P(X≤a)=P(X≥b),根据对称性可得a+b2=3,即a+b=6，

a2+b2=a2+(6−a)2=a2+36-12a+a2=2a2-12a​​​​​​​+36=2(a2-6a+9)+18=2(a−3)2+18，

当a​​​​​​​=3时,b=3,a26.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了向量模长，向量的数量积及向量的运算，属中档题．

根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得|a|=|b|作向量OA=a，OB=b，在▱OACB中，OC=a+b，BA=a−b，

由向量a+b平分a与b的夹角，得▱OACB是菱形，即|a|=|b|，

对于A，a与b不一定垂直，所以a·b

不一定为0，A错误;

对于B，(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=0，即(a+b)⊥(7.【答案】C

【解析】解：因为f(x)=f(x−1)−f(2−x)，所以f(1+x)+f(1−x)=f(x)，

令x=0，得f(0)=2f(1)=2;令x=1，得f(2)+f(0)=f(1)，

所以f(2)=f(1)−f(0)=1−2=−1;

用−x替换x，可得f(1−x)+f(1+x)=f(−x)，

所以f(x)=f(−x)，所以函数f(x)为偶函数．

令x=2，得f(3)+f(−1)=f(2)，所以f(3)=f(2)−f(−1)=f(2)−f(1)=−1−1=−2;

用x+1替换x，可得f(2+x)+f(−x)=f(x+1)，

所以f(2+x)+f(x)=f(x+1)，所以f(x)=f(x+1)−f(x+2)，

所以f(x)=f(x+1)−f(x+2)=f(x+2)−f(x+3)−f(x+2)=−f(x+3)，即f(x+3)=−f(x)．

所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，故f(x)是以6为周期的周期函数，

又f(4)=−f(1)=−1，f(5)=−f(2)=1，f(6)=−f(3)=2，

所以i=134[f(i)]38.【答案】A

【解析】解：圆A的方程x2−2x+y2=0可变形为(x−1)2+y2=1，

所以圆A的圆心为A(1,0)，半径r=1，

对于椭圆C:x216+y212=1，a=4，b=23,c=16−12=2

设椭圆C的右焦点为F2(2,0)，

根据椭圆的定义，|PF|+|PF2|=2a=8，所以|PF|=8−|PF2|，

则|PQ|+|PF|=|PQ|+8−|P9.【答案】BCD

由频率分布直方图可知：0.004+a+0.018+0.022+0.028+0.022×10=1，

解得a=0.006，A错误；评分落在40,50内的有8人，所以m=80.004×10=200评分的平均数为45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2，C正确；0.04+0.06+0.22=0.32>0.25，所以第25百分位数在60,70组，设其为x，则0.04+0.06+x−60×0.022=0.25，所以甲会被邀请，D正确．故答案为：BCD．10.【答案】AC

【解析】解：由双曲线的定义知|MF1|>|MF2|，

又△MF1F2是等腰三角形，

所以|MF2|=|F1F2|或|MF1|=|F1F2|，

①若|MF2|=|F1F2|，由抛物线的定义知|MF2②若|MF1|=|F1F2|，

由于抛物线E的焦点与双曲线C的右焦点重合，则有c=p2，

根据抛物线定义，|MF2|=xM+p2=xM+c，

根据双曲线定义，|MF1|=|MF2|+2a=xM+c+2a，

所以xM=c−2a，

过M作抛物线准线的垂线，设垂足为N，

则在直角三角形MNF1中，有|MF1|11.【答案】AD

【解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，属于难题．

根据导数的几何意义、导数中的零点问题、利用导数研究闭区间上函数的最值分别判断即可．【解答】

解：因为函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，

即方程lnx=x3−2ex2+kx(x>0)有唯一实数根，

即方程k=lnxx−x2+2ex(x>0)有唯一实数根，

令ℎ(x)=lnxx−x2+2ex(x>0)，

则ℎ′(x)=1−lnxx2−2x+2e，

当x>e时，ℎ′(x)<0，当0<x<e时，ℎ′(x)>0，

所以函数ℎ(x)在0,e上单调递增，在e, +∞上单调递减，

所以x=e是极大值点，极大值为ℎe=e2+1e，

当x→0时，ℎ(x)→−∞，

x→+∞时，ℎ(x)→−∞，

所以k=e2+1e，故A正确；

因为g12.【答案】π2【解析】解：由题可知，AC⊥平面PAB，所以CD在平面PAB内的投影为AD，

又因为BD⊥CD，所以BD垂直AD，

所以点D的运动轨迹为以AB为直径的圆，此圆在△PAB内部的部分为四分之一圆周，所以轨迹长度为π2．

故答案为：π2．13.【答案】358【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．

由题意可得n=8，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式中常数项的值．【解答】

解：x−12xn的展开式中只有第5项的二项式系数最大，

则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n=8，

(x−12x)8展开式的通项为Tr+1=C8rx8−r⋅(−114.【答案】π2【解析】解：因为∠DBA=π6，2BD=3AB，所以BDAB=sin∠BADsin∠ADB=32，

设∠ADB=β，则∠BAD=5π6−β，

所以sin (5π6−β)sin β=32，化简得cosβ=0，

因为0<β<5π6，所以β=π2，即∠ADB=π2；

设∠BAC=θ，θ∈(0,π3)，

在Rt△ABC中，AC=46，所以BC=46tanθ,AB=46cosθ，

在Rt△ABD中，BD=ABsin60°=15.【答案】解：(1)甲→丙→乙的概率为：15×25=225，

甲→丁→乙的概率为：25×15=225，

记事件A:“第3次传球者为乙”，则P(A)=225+2x01P1213D(X)=1325×(1−1325)=156625．

(3)设第n次传球者为甲的概率为an，第n次传球者为丁的概率为bn，

则b1=0，因为乙和丁相对于甲，地位是相等的，所以第n次传球者为乙的概率也为bn，

第n次传球者为丙的概率也为(1−an−2bn)，

因为bn+1=an×【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】解：(I)f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

f′(x)=eax−1(ax2−2x)x4，

1∘若a=0，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，

所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减;

2∘若a>0，当x<0或x>2a时，f′(x)>0，当0<x<2a时，f′(x)<0，

所以f(x)在(−∞,0)和(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减;

3∘若a<0，当x<2a或x>0时，f′(x)<0，当2a<x<0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(−∞,2a)和(0,+∞)上单调递减，在(2a,0)上单调递增．

综上可知，当a=0时，f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减;

当a>0时，f(x)在(−∞,0)和(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减;

当a<0时，f(x)在(−∞,2a)和(0,+∞)上单调递减，在(2a,0)上单调递增．

(Ⅱ)令g(x)=ln(ax)x，易知a>0，由题意知f(x)【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】解：(1)证明：在△SBC中，SB=3，BC=1，∠SCB=60∘，

由余弦定理得SB2=SC2+BC2−2SC·BCcos∠SCB，

解得SC=2，

因为SB2+BC2=SC2，

所以SB⊥BC，

在矩形ABCD中，BC⊥AB，

因为AB∩SB=B，且AB，SB⊂平面SAB，

所以BC⊥平面SAB；

(2)由(1)知，BC⊥平面SAB，AD/​/BC，

所以AD⊥平面SAB，

因为SA⊂平面SAB，所以AD⊥SA，

又SC=CD=2，∠SCD =60∘，故SD=2，

在直角三角形SAD中，求得SA=3=SB，

又12V2=12VS−ABCD=VS−ABC=VC−SAB，

又12V2=V1=VN−SAB，

所以VC−SAB=VN−SAB，

又NS//BC，所以NS=BC=1；

(Ⅰ)取AB中点为O，

过O点作BC的平行线，交CD于点E，

因为BC⊥平面SAB，所以OE⊥平面SAB，

又SO，OB⊂平面SAB，

所以SO⊥OE，OB⊥OE，

又SA=3=SB，AB中点为O，

所以SO⊥OB，

所以SO，OB，OE两两垂直，

故以O为坐标原点，OB，OE，OS所在直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(−1,1,0)，S(0,0,2)，N(0,−1,2)，

所以SN=(0,−1,0)，SC=(1,1,−2)，

设平面SNC的法向量n=(x,y,z)，

则n⋅SC=0n⋅SN=0，所以x+y−2z=0−y=0，

取z=1，得x=2，y=0，【解析】详细解答和解析过程见【答案】18.【答案】解：(1)若2是a和c的减比中项，则ac>4，

故a2+c2≥2ac>8，当且仅当a=c时取等号，

故a2+c2