绝热稳定流动的基本方程

第一节他技稔丝流劲得双唾方程

一、绝热稳定流动

工程中气体和蒸汽在管道内得流动可以视为稳定流动，为了简化起见,可以认

为垂直于管道轴向得任一截面上得各种热力参数、热力学参数都相同，气体参数

只沿管道轴向（气流流动方向）发生变化，称为一维稳定流动。此外，气体在喷管或扩

压管内得流动时间较短，与外界几乎没有热量交换，可以认为就就是绝热流动6因

此,气体在喷管或扩压管内得流动为一维绝热稳定流动。

二、绝热稳定流动基本方程

研究气体和蒸汽得一维稳定流动主要有三个基本方程。即连续性方程、绝热

稳定流动能量方程和定嫡过程方程。

L连续性方程

在一维稳定流动得流道中,去截面1一1、2—2、根据质量守恒定律,

可导出一个基本关系式。在稳定流动通道内任一固定点上得参数不随时间得改变

而改变，各截面处质量流量都相等。即

以=/==为=定值

v

(7—1)

式中各截面处得质量流量,kg/s;

A,A2,A------各截面处得截面积，〃/;

C/1,C/2,…,C/----各截面处得气体流速,m/s;

巳,。2,…。---各截面处得气体比体积,"F/s；

对于微元稳定流动过程，对上式微分可得

dcdAdu八

—^f-+---------=0

cfAv

式（7-1）、式（7—2）为稳定流动连续性方程。她适用于任何工质得可逆与不可

逆得稳定流动过程。

2,绝热稳定流动能量方程

由能量守恒定律可知，气体和蒸汽得稳定流动过程必须符合稳定流动能量方

1,,

程，即q=（4一〃1）+万（吁2-C，l）+g（Z2-Z1）+吗

气体和蒸汽在管道内流动时,一般情况下，由Z［乏Z2,wsX。，绝热流动时，夕=0,

因此上式可简化为g（c；2—cj）=%—%2（7-3）

对于微元绝热稳定流动过程,可写成

Cjdcf=-dh（7

-4）

式（7-3）、式（7-4）为绝热稳定流动能量方程。说明气体和蒸汽在绝热稳定

流动过程中，其动能得增加等于蛤得减少。她适用于任何工质得可逆与不可逆绝

热稳定流动过程。

3、定嫡过程方程

气体在管道内进行得绝热流动过程，若就就是可逆得,就就就是定嫡过程。

气体得状态参数变化符合理想气体定嫡过程方程式，即

pvk=定值（7-5）

对于微元可逆绝热流动过程，可写成

虫+女女=。（7-6）

PD

式（7-5）,式（7-6）只适用用于比热容为定值（即k为定值）彳导理想气体得可逆绝

热流动过程。对于蒸汽在定嫡过程中状态参数得变化，可通过蒸汽得图表查得。

三、声速和马赫致

在气体高速流动得分析中，声速和马赫数就就是十分重要得两个参数。

声速就就是微弱扰动产生得压力波在连续介质中传播得速度,用符号c表

示。压力波在气体和蒸汽中得传播过程可视为就就是定燧过程，因此气体或蒸汽

得声速计算公式为<=傅[=]—/（*）,

对于理想气体得定嫡过程有c=历U=阿亍（7-7）

显然,声速不就就是一个常数,她取决于气体得性质及所处得状态。所以声速

通常就就是指某一状态（即某一截面）下得声速，称为当地声速。；例如，在O.IMPa

下0c得空气中得声速为331m/s;20℃得空气中得声速为343m/s。

在讨论气体和蒸汽流动特性时，流体将流动速度C,和当地声速C彳导比值，称为

马赫数，用符号表示，即M?(7-8)

马赫数Ma就就是一个重要得无因次数，用于气体和蒸汽流动特性得研究之

中。根据马赫数得大小可将气体和蒸汽得流动分为:Ma<1,即cyvc,称为亚声速；

Ma-1,即cf=c,称为声速;Ma>l,即cf>0,称为超声速。

第二节气体和蒸汽在喷管和扩压管中得定嫡流动

一、流速变化与压力变化得关系

对于定嫡流动过程，由式(2-33)可得

dh=vclp

代入式(7-4)可得

cfdcf=-uclp

(7-9)

上式表明，定嫡流动中，如果气体流速增大(A,>()),则气体得压力必降低

(即<0);如果气体流速减小(de,<()),则气体得压力必增高(即>0)o这就就就是喷

管和扩亚管得流动特征。也就就就是说，喷管得目得就就是使气体和蒸汽降压增

速;而扩压管得目得就就是增压减速。为了更好地实现这一目得，还需要有管道截

面变化来配合。

二、喷管截面变化得规律

利用上述绝热稳定流动得三个基本方程及声速与马赫数得关系式经整理可

dA、de

得—=(M«2-1)^^f(7-10)

Acf

该式称为管内流动得特征方程,她说明了管内流动就就是速度变化所需得几

何条件。

对于喷管,气流速度就就是增大(4>>0)得，当进入喷管得气体就就是

亚声速流动时,<0,喷管得截面应收缩，称为渐缩喷管。当Ma>1,超声速流动

时,44>0,喷管得截面应扩张，称为渐扩喷管。若要使进入喷管得气体由亚声速连

续增至超声速流动时，喷管得截面要做成渐缩渐扩式，称为渐缩渐扩喷管(缩放形

喷管)，或称为拉伐尔喷管。

对于扩压管，气流运度就就是减小得(de,<()),当,即超声速流动

时,dA<0,扩压管得截面应收缩，称为渐缩扩压管。当,即亚声速流动时,

截面应就就是渐扩形，称为渐扩扩压管。如果气流由超声速连续降至亚声速时，则

截面要先缩小再扩大，称为渐缩渐扩扩压管。喷管和扩压管得种类见表7-1o

第三节喷管中流速及流量得计算

一、喷管出口流速得计算

根据绝热稳定流动能量方程式(7-3)可求得喷管出口截面处气流得流速为

cf2=/2(%-%)+c；i(mis)(7-11)

式中C"——喷管进口截面上得气体流速，，山s；

九，h2——喷管进出口截面上气流得比蛤值,J/总

一般情况下喷管进口气体流速?与出口气体流速J?相比小得多，可以忽略

不计。所以气体出口流速可用进出口熔值九,刈近似表达为

C"=』2(%一4)(7-12)

式（7-11）、（7—12）就就是直接根据能量方程导出得，因此适用于任何工质得可

逆与不可逆过程。

对于蒸汽流过喷管，可利用蒸汽图表查得给值",生，代入（7-12）便可求出

kR

出口流速。如果就就是理想气体，取定比热容时,4-九=g-北），％=不上代入

一k-\

上式,可求得出口流速计算公式为

Cj.2=，2g—4)=J2cp/)

(7-13)

由上式可知,出口气体流速C/2大小决定于气体等嫡指数匕进口参数Pi、Q和

喷管进口、出口气体得压力比〃2/Pl。出口气体流速C/2与喷管截面积4大小无

关，出口截面积4大小仅决定喷管得质量流量/。

【例7-1］干饱和水蒸气在喷管中流动时,喷管进口压力Pl=（）.5M网。绝对

膨胀至P2=0.4MP%水蒸气得质量流量%=0.56依/s,试求渐缩喷管出口处水蒸

气流速及出口截面积。

解:由水蒸气〃-5图表查得喷管进、出口处水蒸气参数值为

3

九=2745。/奴也=2705-g,u2=OA5m/kg

由式（7-12）求得喷管出口处水蒸气流速为

C/2=,2（%—色）=72x（2745-2705）xlO3=283（，〃/s）

由连续性方程可得出口截面积为

4=^1.=。56X0.45=8.83XIO。）=8.83（0〃/）

cf2283

二、临界压力比与临界流速

1、临界压力比与临界流速得计算

由前面得分析可知在渐缩渐扩喷管得喉部（最小截面处）,Ma=l,该截面称为

临界截面，该截面处得压力为临界压力pc，流速为临界流速％.（等于当她声速）。临

界压力Pc与进口压力Pi比值PJ8,称为临界压力比。由式（7-7）和式（7-13）可得

临界流速

—『，疗］

%PMJ2=料匕

（7-14）

根据定嫡过程方程PU=P,"，由上式可求得临界压力比为

久=&=（贵『（7-15）

上式表明临界压力比仅取决于气体得等燧指数匕这样可根据出求得《值，从

而临界压力Pc=4Plo

式(7-15)所确定得临界压力比就就是从理想气体定炳过程中推导出来得，因

此适用于定比热容得理想气体定场流动过程。水蒸气一般不符合理想气体定嫡过

程方程式，并且在水蒸气得定嫡流动过程中，可能从过热蒸汽变为饱和蒸汽或就就

是湿蒸汽，这些都使得水蒸气得定嫡流动过程比较复杂。为使为题简化，假定水蒸

气也符合〃〃=定值得关系式，但此时,Zw鱼，而就就是一个纯经验值。这样可将

♦

经脸值Z代入式(7-15)从而求得水蒸气得临界压力比q值。

水蒸汽得经验值k和理想气体得等嫡指数左，以及将她们代入式(7-15)而计

算出得〃值，均列于表7-2中。临界压力比就就是一个很重要得参数，根据她才能

计算出在一定进口条件下,气体压力下降到多少时流速恰好等于当地声速,达到临

界状态。由表7-2中得数值可看出各类工质得％大约为0、5左右,这说明当工质

压力大约降到喷管进口压力得一半时,就会出现临界状态。另外还要指出，水蒸气

在定炳流动过程中，可能从过热蒸汽变为饱和蒸汽或湿蒸汽，而这三种不同得蒸汽

状态有不同得k值和与值。在工程上一般规定以水蒸气得进口状态为准,选看相

应得攵值和£,值。

将式(7-15)代入到式(7-14)中可得理想气体临界流速计算公式为

卜占上4工°T6)

上式就就是从理想气体性质推导出来得,故只适用与理想气体等嫡流动中临

界流速得计算。显然该临界流速也就就是渐缩喷管中所能达到得最大出口流速。

若用临界蛤力代替式(7-12)中得出口蛤生,则临界流速也可由下式计算

c"2(….)(7-17)

式。-17)适用于任何工质得可逆和不可逆绝热稳定流动过程。

水蒸气得临界流速计算，可根据表7-2中所列得临界压力比与值,求出相应得

临界压力P,="p…这样在〃-s图上p,等压线与通过进口状态点1得定靖爱得

相交点，即为临界状态点。从而可查出其余临界参数力等。最后由式(7-17)求出其

临界流速。

2,根据临界压力确定喷管形状

如前所诉，对于渐缩喷管，工质在其中降压增速时，出口流速最大只能达到临界

流速喙.，出口压力最低只能降到临界压力/小因此,当喷管出口外界压力(简称背

压)P/)大于临界压力Pc(Pb＞以)时,喷管出口截面处得压力P2=以，出口流速小于

当地声速,。随着背压ph降低，当Ph=Pc时,〃2=Pb=〃＜.，出口速度可达到

Ma=1。若背压，继续降低,当〃分＜时，喷管出口截面处得压力仍等于临界压力

而不等于背压，即〃2二九，出口流速仍为声速，由于临界压力Pc降到背压P,,得膨胀

在喷管外面完成,这种现象称为膨胀不足。

对于缩放喷管，由于有渐扩部分保证了气流在达到临界流速后得继续膨胀，因

此可以获得超声速气流。

充分利用喷管进口压力8和出口外得背压外之间得压差来降压增速，在选择

喷管时，可以根据喷管出口外得背压与喷管进口工质初压之比值%/8和临界压

力比〃相比较,从而决定选用哪一种形式得喷管。

当％/Pi之久即"，之Pc时，应选渐缩形喷管;当pb!PiV£c，即Pb〈儿时，应选

缩放形喷管。

三、喷管流量得计算

缩放喷管与渐缩渐扩喷管得质量流量都就就是受最小截面积所控制，所以

渐缩喷管按出口截面积A,计算质量流量，渐缩渐扩喷管按喉部截面积4用计算质

量流量。

L渐缩喷管质量流量得计算

由式(7—1)可知喷管质量流量为％=上金(kg/s)

v2

对水蒸气等实际气体通过喷管得质量流量可安蛤差计算，即

q,“==—J2(h|/2)(kg/s)(7-18)

u2u2

式中4----喷管出口截面积，M

cf2----喷管出口截面上气体得流速川/5

4——喷管出口截面上气体得比体积e3/kg

九，鱼——喷管进出口截面上气体得比蛤值,〃必。

对于理想气体定嫡流动过程，质量流量为

AC

q,n=-2f2—4o火1-一P，卜

u2u2Vk-i(p"

「2k+\'

=42士且闺L闺丁

[J叩pjIPJ

(7-19)

由上式可知，当4及〃],U1一定时，质量流量心取决喷管进口、出口压力比

上。质量流量随压力北隹得变化关系如图7-1所示。

PiPi

需要指出得就就是,式(7-19)中得〃2就就是喷管出口截面处得压力，只有左背

压Pb>Pc时,“2才等于外；当背压PhWPc时，则Pl=Pc而保持不变。所以实际得气

体质量流量心随压力比庄得变化如图(7—1)中得a-b-c所示。

Pi

当背压Pb>Pc时，则Pl=Pbo若〃2=Pl，在进口气流速度Cj=0时，质量流量

%=0,说明当喷管进出口压力相等时，气体不会流动,对应图(7—1)中a点。随背

压P1,降低,P1相应降低，并始终保持P2=Ph，直至P?=Pc0当“2=Pc时，此时出口

压力P，与进口压力P1之比,就就就是临界压力比〃=&二上,仇，达到最大值

PTPT

%.max(图'I中点b),这一变化过程如曲线a-b所示。若背压力继续降低(/%<凡)，

则不再降低而保持不变，即P2=0,所以质量流量心也保持不变，如图7-1t0

-C所示。

将式(7-15)代入式(7-19)可求得渐缩喷管得最大流量%5皿即临界流量

式(7-20)适用于理想气体定炳流动过程。

也可应用临界流速C*和而连续性方程计算临界流量/“.max

小=/(7-21)

4

式(7—21)适用于任何工质任何过程。

2、渐缩渐扩喷管质量流量得计算

渐缩渐扩喷管喉部(最小截面积4访)处所对应得参数为临界值，所以无论喷

管出口压力比临界压力低多少,只要进口气体参数与临界参数不变,质量流量保持

%,max。所以渐缩渐扩喷管得质量流量可按喉部截面积4加计算，即

“"ax=Amn:备自"AC-22)

和—Q23)

对于实际水蒸气等实际气体可用蛤差计算

小=幺生=媪-(…)(7

-24)

【例7-2］有压力〃1=1.6〃&,温度乙=物)℃得水蒸气,经喷管射入压力为

0,=O.1M&得容积中，为保证水蒸气在喷管中充分定嫡膨胀，

应选择何种形式得喷管？当水蒸气质量流量外,=4.5左g/s时，求该喷管出

口处水蒸气得流速及喷管得主要截面积。

解:根据Pi=1.6M&、r,=400℃查附表5知水蒸气处于过热蒸汽状态,

查表7—2得分=0.546。故

p.-&P]=0.546xl.6=0.874(MPa)

由于A,<P「,根据选择喷管得原则，应选缩放形喷管。

由于喷管进口参数Pi=1.6M&、4=4(X)℃，临界参数忆=0.874MAj及出口

参数〃2=OAMPa，查水蒸气〃-s图可得下列数值

3

九=3256H/^,h,=3272kJ/kg,v(.=O.3m/kg,

4=2640kJ/kg,u2=1.68/77'/kg

缩放喷管得临界流速为

c%=J2(1一4.)=72x(3256-3072)x10'=606.6(m/s)

喉部截面积为

2

A”.=也=45X03=O.(X)22(/n)

mn

cfe606.6

出口流速为

3

cf2=J2g-.)=72x(3256-2640)xlO=1110(m/s)

出口截面为

如=^^=02

cf21110

四、喷管内有摩阻得绝热流动

前面对工质在喷管内绝热流动得讨论均认为就就是可逆绝热流动，即图7-2

所示得定靖过程1—2。而工质在实际流动过程中存在内部摩擦以及工质与管壁

得摩擦，这样使一部分动能重新转化为热能而被工质吸收，所以实际得喷管内流动

就就是过程就就是不可逆绝热过程，工质得病就就是增大得，其过程在〃-s图上

不就就是定嫡线而就就是一条增嫡线。如图7-2中虚线所示得,1-2'过程即为管

内工质经历得实际绝热流动过程线。

由图7-2可知，有摩擦得绝热流动过程与可逆绝热流动过程相比，工质虽然经

历了相同得压力降（Pi-必）,但蛤降减小［（九-%）＜（%一为）］,根据能量方程式（7-3）

可知，必然使喷管出口将动能减小，即工质得实际出口流速Co,小于可逆绝热流动

时得出口流速C号。

工程上常用速度系数。或能量损失系数J来表示气流出口速度得下降和动

能得减少，即9=匕土

(7-25)

Cf2

匕损失动能2^2~2^2,1，

理想动能123(7-26)

2"

速度系数通常由实验确定,其大小与气体性质、喷管形式、喷管尺寸、壁

面粗糙度等因素有关，其数值一般在0.92~0.98之间。工程上常按可逆绝热过程先

求出cf2，再根据经验估算。值而求得cf2.，即

cf2.=%2=%/2（1--）

第g节绝热节流

流体在管道内流动时，当流经阀门、孔板等截面突然缩小得设备时，由于截面

突变,流体局部受阻，使流体得压力明显降低得现象，称为节流。如果节流时,流体与

外界没有热量交换，就称为绝热节流，也简称为节流。

绝热节流就就是典型得不可逆过程。因为流体在缩孔处产生了强烈得

摩擦与扰动，造成流体压力得降低,使其做功能力减小。但在距缩孔一定得距离得

地方，如图7-3中截面1-1和2—2,流体仍处于平衡状态，应用稳定流动能量方

程可得