2026版大一轮高考数学-第三章　§3.3　导数与函数的极值、最值

§3.3导数与函数的极值、最值课标要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(√)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(×)(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(×)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(√)2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y＝f'(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增C.函数f(x)在x＝3处取得极大值D.函数f(x)在x＝4处取得极小值答案AC解析由图象可知，当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以函数f(x)在区间(3，5)上单调递减，故A正确，B错误；由图象可知，f'(3)＝0，且当x∈(0，3)时，f'(x)>0，当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，5)上单调递减，故函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，故C正确；由图象可知，f'(4)≠0，故4不是函数f(x)的极值点，故D错误.3.函数f(x)＝x3－12x2－14x的极小值点为，极大值为.答案73解析由f(x)＝x3－12x2－14x得f'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，令f'(x)>0，解得x>73或x<－2令f'(x)<0，解得－2<x<7故f(x)在(－∞，－2)，73，＋∞上单调递增故f(x)在x＝73处取得极小值，在x＝－2处取得极大值故f(x)极大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.4.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是.

答案(－∞，－6)∪(6，＋∞解析f'(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f'(x)有两个变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>6或a<－6.解题时灵活应用转化以下几个关键点(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)“f'(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点.(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.题型一利用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.f(x)有两个极值点B.f(0)为f(x)的极大值C.f(x)有两个极小值点D.f(－1)为f(x)的极小值答案BC解析根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，当－2<x<0时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，当0<x<1时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；f(0)为f(x)的极大值，B正确；f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.命题点2求已知函数的极值例2(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2lnx－2(a－1)x－ax2(a>0)，讨论f(x)的极值.解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导得f'(x)＝2x－2(a－1)－2＝－2(因为a>0，则当x∈0，1a时，f'(x当x∈1a，＋∞时，f'(因此f(x)在0，1a上单调递增，在所以当x＝1a时，f(x)取得极大值f1a＝2ln1a＋1命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2024·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c等于()A.－6 B.－2C.－6或－2 D.－4答案A解析由函数f(x)＝x(x－c)2，可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，可得f'(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6，当c＝－2时，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－23；令f'(x)<0，解得－2<x<－所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在-2，-23上单调递减，所以f(x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去；当c＝－6时，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6<x<－2，所以函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝－2处取极小值，符合题意，综上可得，c＝－6.(2)已知函数f(x)＝lnx－aex(其中a∈R，e为自然对数的底数)存在极大值，且极大值不小于1，则a的取值范围为.答案0解析由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝1x①当a≤0时，f'(x)＝1x-ae>0在(0，＋所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值；②当a>0时，f'(x)＝e-由f'(x)＝e-axex＝0可得x当0<x<ea时，f'(x)>0所以f(x)在0，当x>ea时，f'(x)<0所以f(x)在ea，于是函数f(x)在x＝ea处取得极大值由已知，fea≥1即lnea－1≥1，lnea≥2＝lne因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ea≥e2，即a≤1e，又所以0<a≤1于是a的取值范围为0，综上所述，a的取值范围为0，思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝aex＋bx在x＝0处取得极小值1，则f'(2)等于()A.e2－2 B.2－e2C.e2－1 D.e2答案C解析由f(x)＝aex＋bx，得f'(x)＝aex＋b，因为f(x)在x＝0处取得极小值1，所以f'(0)＝ae0＋b＝0，f(0)＝当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝0处取得极小值，故a＝1，b＝－1满足题意，于是有f'(2)＝e2－1.(2)若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为()A.a>－2 B.a>－1C.a<－2 D.a<－1答案C解析由函数f(x)＝eax＋2x，可得f'(x)＝aeax＋2，若a≥0，f'(x)>0，此时f(x)为增函数，无极值点；若a<0，令f'(x)＝aeax＋2＝0，解得x＝1aln当x>1aln-2a时，f'(x当x<1aln-2a时，f'(x故x＝1aln-2a是f(x)＝eax＋2由于函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，∴1aln-2a>0，即ln即0<－2a<1，解得a<－2题型二利用导数求函数的最值命题点1不含参函数的最值例4函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为()A.－π2，π2C.－π2，π2＋2 D.答案D解析f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0，2π]，则f'(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0，2π].令f'(x)＝0，解得x＝π2或x＝3π因为f

π2＝cosπ2＋π2＝π2＋2f

3π2＝cos3π2＋3π2＋1又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，所以f(x)max＝f

π2＝πf(x)min＝f

3π2＝－3π命题点2含参函数的最值例5已知函数f(x)＝(x－1)ex－12ax2(a>0)，求函数f(x)在[1，2]上的最小值解函数f(x)＝(x－1)ex－12ax2求导得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a)，若x∈[1，2]，则①当lna≥2，即a≥e2时，ex－a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝e2－2a；②当1<lna<2，即e<a<e2时，函数f(x)在[1，lna)上单调递减，在(lna，2]上单调递增，因此函数f(x)的最小值为f(lna)＝a(lna－1)－12a(lna)2③当lna≤1，即0<a≤e时，ex－a≥0，f'(x)≥0，函数f(x)在[1，2]上单调递增，因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝－12a综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2－2a；当e<a<e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为a(lna－1)－12a(lna)2当0<a≤e时，f(x)在[1，2]上的最小值为－12a思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝x－2sinx，x∈[0，π]，则f(x)的最大值为.

答案π解析由f(x)＝x－2sinx，x∈[0，π]，可得f'(x)＝1－2cosx，x∈[0，π]，令f'(x)＝0可得cosx＝2又x∈[0，π]，所以x＝π当x∈0，π4时，f'(x)<0，f(当x∈π4，π时，f'(x)>0，f(易知f(0)＝0，f(π)＝π，因此f(x)的最大值为π.(2)(2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝ax＋lnx在区间[1，e]上的最小值为32，则a的值为A.1 B.32 C.e2 D答案D解析因为f(x)＝ax＋lnx(x>0)所以f'(x)＝1当a≤0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)＝a＋ln1＝3解得a＝32，不符合题意当a>0时，令f'(x)<0，得0<x<a；令f'(x)>0，得x>a，所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，①当0<a≤1时，f(x)在区间[1，e]上单调递增，所以最小值为f(1)＝a≤1，不符合题意，舍去；②当1<a<e时，f(x)在[1，a)上单调递减，在(a，e]上单调递增，所以最小值为f(a)＝1＋lna＝32，解得a＝③当a≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减，所以最小值为f(e)＝ae＋lne＝解得a＝e2，不符合题意，综上所述，a＝e.三次函数的性质三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解题过程.典例(多选)已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则下列选项正确的是()A.三次函数的对称中心是-B.若函数f(x)关于点(m，n)对称，则y＝f'(x)的图象关于直线x＝m对称C.若函数y＝f(x)有极值，则对称中心是两个取极值的点的中点D.若f(x)＝0的三个根分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－b答案ABC解析对于A，设f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，得[a(m－x)3＋b(m－x)2＋c(m－x)＋d]＋[a(m＋x)3＋b(m＋x)2＋c(m＋x)＋d]＝2n，整理得(6ma＋2b)x2＋(2am3＋2bm2＋2cm＋2d)＝2n.根据多项式恒等对应系数相等，可得m＝－b3a且n＝am3＋bm2＋cm＋d，从而三次函数是中心对称曲线，且由n＝f(m)知其对称中心(m，f(m))仍然在曲线上.故对称中心为-b对于B，由y＝f(x)的图象关于点(m，n)对称，得f(x)＋f(2m－x)＝2n.求导可得f'(2m－x)＝f'(x)，即y＝f'(x)的图象关于直线x＝m对称，B正确；对于C，设f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2b3a，x1x2＝c3a.设f(x)的两个取极值的点为A(x1，f(x1))，B(x2，f则f(x1)＋f(x2)＝(ax13＋bx12＋cx1＋d)＋(ax23＋bx22＋cx2＋d)＝a(x13＋x23)＋b(x12＋x22)＋c(x1＋x2)＋2d＝a(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋b[(x1＋x2)2－2x1x2]＋c(x1＋x2f-b3a＝4b327a所以f(x1)＋f(x2)＝2f

-b3a，AB的中点Px对于D，ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝ax3－a(x1＋x2＋x3)x2＋a(x1x2＋x2x3＋x3x1)x－ax1x2x3.比较系数可得x1＋x2＋x3＝－ba，D错误课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.函数f(x)＝13x3＋x2－3x－1的极小值点是(A.1 B.1C.－3 D.(－3，8)答案A解析f'(x)＝x2＋2x－3，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，所以函数f(x)＝13x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增故f(x)在x＝1处有极小值，极小值点为1.2.(2024·楚雄模拟)已知定义域为[－3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则()A.f(x)在(－2，2)上先增后减B.f(x)有极小值f(2)C.f(x)有2个极值点D.f(x)在x＝－3处取得最大值答案B解析由f'(x)的图象可知，当x∈(－2，2)或x∈(4，5)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A错误；当x∈(－3，－2)或x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x＝2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；由f'(x)的图象结合单调性可知，当x＝－2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误；当x∈(－3，－2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(－3)<f(－2)，f(x)在x＝－3处不取得最大值，故D错误.3.(2025·苏州模拟)设0<x<π，则函数f(x)＝sinx2＋2A.1 B.32 C.2 D.答案D解析因为0<x<π，令t＝sinx，则t∈(0，1]，由g(t)＝t2＋2t(0<t≤1)可得g'(t)＝12-2t2，当t∈(0，1]时，g'(t)<0，则g(t)单调递减，所以当t＝1时，g(t)有最小值g(1)＝12＋4.(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)＝xlnx－ax有极值－e，则a等于()A.1 B.2 C.e D.3答案B解析由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝lnx＋1－a.令f'(x)>0，得x>ea－1；令f'(x)<0，得0<x<ea－1.所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增.则函数f(x)的极小值点是ea－1，无极大值点，故f(ea－1)＝ea－1lnea－1－aea－1＝－e，解得a＝2.5.若函数f(x)＝ex－ln(x＋m)的最小值为2＋ln2，则m等于()A.－2 B.12－C.－12 D.12答案B解析易知f(x)的定义域为(－m，＋∞)，f'(x)＝ex－1易知f'(x)在区间(－m，＋∞)上单调递增，又当x→－m时，f'(x)→－∞；当x→＋∞时，f'(x)→＋∞，所以存在唯一x0∈(－m，＋∞)，使得f'(x0)＝0，即x0＝－ln(x0＋m)，所以当x∈(－m，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在区间(－m，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(x0)＝ex0－ln(x0＋m)＝ex0＋x0＝2＋ln2＝eln2＋所以x0＝ln2，所以eln2＝1ln2＋m，解得m＝126.已知函数f(x)＝xlnx－ax有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)，则下列说法不正确的是()A.a的取值范围是(－∞，1)B.x1是极小值点C.当x∈(x2，＋∞)时，f'(x)<0D.ln答案A解析令f'(x)＝lnx2x＋xx－a＝由题意，方程lnx＋22x＝a在(0，＋∞)上有两根x1，x2(x1设g(x)＝lng'(x)＝x当0<x<1时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝1>0，当x→0时，g(x)＝lnx＋22x→－∞，当x→＋∞时，g(x)所以a的取值范围是(0，1)，故A不正确；由A选项分析可知0<x1<1<x2，当0<x<x1时，f'(x)<f'(x1)＝0，f(x)单调递减，当x1<x<x2时，f'(x)>f'(x1)＝0＝f'(x2)，f(x)单调递增，当x>x2时，f'(x)<f'(x2)＝0，f(x)单调递减，所以x1是极小值点，故B，C正确；对于D，因为lnx1＋22x1＝ln二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知函数f(x)＝x3－3x2，则()A.f(x)在(0，1)上单调递减B.f(x)的极大值点为2C.f(x)的极大值为－2D.f(x)有2个零点答案AD解析由函数f(x)＝x3－3x2，可得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2，所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，当x＝0时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)＝0；当x＝2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)＝－4，又由x→＋∞时，f(x)→＋∞且f(2)＝－4<0，f(0)＝0，所以函数f(x)只有两个零点，所以A，D正确，B，C不正确.8.(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠0)既有极大值也有极小值A.bc>0 B.ab>0C.b2＋8ac>0 D.ac<0答案BCD解析函数f(x)＝alnx＋bx＋cx2的定义域为(0则f'(x)＝a因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实数根x1，x2，于是Δ即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最小值为4，则m＝答案28解析f'(x)＝x2－4，当x∈[0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，3]时，f'(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以f(2)为f(x)在[0，3]上的极小值，也是最小值，故13×8－4×2＋m＝4，解得m＝2810.若函数f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2)上有极值，则实数a的取值范围是.答案(2，＋∞)解析f(x)＝12x2－ax＋lnx的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋要使函数f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2)上有极值，则f'(x)＝x－a＋1x在(0，2)令g(x)＝x＋1x，x∈(0，2则g(x)＝x＋1x≥2x·1x当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2.当a＝2时，f'(x)＝x－a＋1x＝x＋1x－2≥0，函数f(x)则函数f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2)上没有极值，故a>2即实数a的取值范围是(2，＋∞).四、解答题(共28分)11.(13分)已知函数f(x)＝aex＋x(a∈R(1)若f'(0)＝0，求实数a的值；(5分)(2)讨论函数f(x)的极值.(8分)解(1)由函数f(x)＝aex＋可得f'(x)＝1－a所以f'(0)＝1-a1＝1－a＝0，解得a＝(2)函数f(x)＝aex＋x的定义域为且f'(x)＝1－a当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；当a>0时，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)<0，解得x<lna，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为1＋lna，无极大值.综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1＋lna，无极大值.12.(15分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分)(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(10分)解(1)当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.(2)方法一因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a，若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna，令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(lna)＝a－