2026版大一轮高考数学-第三章　§3.5　指对同构问题

§3.5指对同构问题重点解读把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.题型一双变量地位同等同构例1若对0<x1<x2<a都有lnx2x1x1x2<2x2－2x1成立，A.1 B.2 C.e D.2e答案B解析由lnx2x1x1x2<2x2－2x1，0<x得x1x2(lnx2－lnx1)<2x2－2x1，则lnx2－lnx1<2即lnx2－lnx1<2有lnx2＋2x2<lnx1＋2令f(x)＝lnx＋2x(x>0)，则f(x2)<f(x1)所以f'(x)＝1令f'(x)>0⇒x>2，令f'(x)<0⇒0<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，所以当0<x1<x2<2时，f(x2)<f(x1)恒成立，所以0<a≤2，故a的最大值为2.思维升华含有地位同等的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.跟踪训练1若0<x1<x2<1，则下列不等式正确的是()A.x1lnx1<x2lnx2 B.x1lnx1>x2lnx2C.x2lnx1<x1lnx2 D.x2lnx1>x1lnx2答案C解析令f(x)＝xlnx，则f'(x)＝1＋lnx，当0<x<1时，f'(x)的正负不能确定，故x1lnx1与x2lnx2的大小不能确定，故选项A，B错误；令g(x)＝lnxx，则g'(x当0<x<1时，g'(x)＝1-lnxx2>0，则g(x)在(0，1因为0<x1<x2<1，所以g(x1)<g(x2)，即lnx1x1<lnx2x2，即x2lnx1<x1lnx2题型二指对同构法的理解指对同构的常用形式(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)＝xex；②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；③取对构造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eaa≤①同左构造形式：eaa≤elnblnb，构造函数②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数③取对构造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有两种同构方式：①同左构造形式：ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；②同右构造形式：ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.例2(1)(多选)若ea＋a>b＋lnb(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是()A.a>lnb B.a<lnbC.ea>b D.ea<b答案AC解析方法一由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋a>elnb＋lnb，令f(x)＝ex＋x，则f(a)>f(lnb)，因为f(x)在R上是增函数，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋lnea>b＋lnb，令g(x)＝x＋lnx，则g(ea)>g(b)，因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以ea>b，即a>lnb.(2)(2025·宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea－2＝e4和关于b的方程b(lnb－2)＝e3λ－1(a>0，b>e2)可化为同构方程，则ab的值为.答案e8解析对aea－2＝e4两边取自然对数，得lna＋a＝6，①对b(lnb－2)＝e3λ－1两边取自然对数，得lnb＋ln(lnb－2)＝3λ－1，即lnb－2＋ln(lnb－2)＝3λ－3，②因为方程①②为两个同构方程，所以3λ－3＝6，解得λ＝3，设F(x)＝lnx＋x且x>0，则F'(x)＝1x＋1>0所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)＝6的解只有一个，所以a＝lnb－2，则ab＝b(lnb－2)＝e3×3－1＝e8.思维升华利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.跟踪训练2(多选)对不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是()A.f(x)＝lnx＋x B.f(x)＝xlnxC.f(x)＝x＋ex D.f(x)＝x答案AC解析由恒等式x＝lnex可得ax＝lneax，所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为lneax＋eax>ln(bx)＋bx，构造函数f(x)＝lnx＋x，可得f(eax)>f(bx).同理，由恒等式x＝elnx可得bx＝eln(bx)，所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为ax＋eax>ln(bx)＋eln(bx)，构造函数f(x)＝x＋ex，可得f(ax)>f(ln(bx)).题型三同构法的应用例3(1)设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥lnx恒成立，则k的最小值为.答案1解析由kekx≥lnx得kxekx≥xlnx，即kxekx≥elnx·lnx，令f(x)＝xex，则f(kx)≥f(lnx).因为f'(x)＝(x＋1)ex，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，因为kx>0，lnx>0，所以kx≥lnx，即k≥ln令h(x)＝lnxx(x>1)，则h'(x)当x∈(1，e)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(e)＝1e，即k所以k的最小值为1e(2)(2025·衡阳模拟)已知m是方程xeex－2＋(e－1)lnx＝2的一个根，则e2-me-1＋(e－1)lnm等于A.1 B.2 C.3 D.5答案B解析xeex－2＋(e－1)lnx＝2⇔eelnx＋x－2＋elnx＋x－2＝x＋lnx＝elnx＋lnx，设f(t)＝et＋t，则f'(t)＝et＋1>0恒成立，故f(t)单调递增，由f(elnx＋x－2)＝f(lnx)得elnx＋x－2＝lnx，即(e－1)lnx＝2－x.因为m是方程xeex－2＋(e－1)lnx＝2的一个根，所以(e－1)lnm＝2－m，所以m＝e所以e2-me-1＋(e－1)lnm＝m＋(e－1)lnm＝m＋2－m思维升华常见的同构函数有：①f(x)＝lnxx；②f(x)＝xlnx；③f(x)＝xex；④f(x)＝其中①④可以借助lnxx＝lnxelnx＝tet，②③可以借助xex＝(lnex)ex＝跟踪训练3(1)(2024·吕梁模拟)若关于x的不等式ea＋x·lnx<x2＋ax对∀x∈(0，1)恒成立，则实数a的取值范围为()A.(－∞，0] B.[－1，0]C.[－1，＋∞) D.[0，＋∞)答案C解析由ea＋x·lnx<x2＋ax在(0，1)上恒成立，可得lnxx<a＋xea＋x即lnxelnx<a＋xea当a≥0时，lnxeln不等式lnxelnx<a＋xe当a<0时，令f(x)＝x则f(lnx)<f(a＋x)在(0，1)上恒成立，f'(x)＝1-xex，当x∈(－∞，1)时，f'(x)>0，所以f(x)在(－∞，又当x∈(0，1)时，lnx∈(－∞，0)，a＋x∈(－∞，1)，所以只需lnx<a＋x在(0，1)上恒成立，即a>lnx－x在(0，1)上恒成立.令g(x)＝lnx－x，0<x<1，则g'(x)＝1-xx即g(x)在(0，1)上单调递增，其中g(1)＝ln1－1＝－1，故a≥g(1)＝－1，所以－1≤a<0.综上，a≥－1.(2)已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若aea＋1＋b<blnb，则()A.b<ea＋1 B.b>ea＋1C.ab<e D.ab>e答案B解析由aea＋1＋b<blnb，可得aea＋1<blnb－b＝b(lnb－1)＝blnbe，即ealnea<b设f(x)＝xlnx，可得f(ea)<fb因为a>1，可得ea>e，又因为b(lnb－1)>0，b>1，所以lnb>1，即b>e，所以be>1易知当x>1时，f'(x)＝lnx＋1>0，可得函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea<be，即b>ea＋课时精练[分值：45分]一、单项选择题(每小题5分，共10分)1.设x>0，y>0，若ex＋lny>x＋y，则下列选项正确的是()A.x>y B.x>lnyC.x<y D.x<lny答案B解析不等式ex＋lny>x＋y等价于ex－x>y－lny，令f(x)＝ex－x，则f(lny)＝elny－lny＝y－lny，∴不等式ex－x>y－lny等价于f(x)>f(lny)，∵f'(x)＝ex－1，∴当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴若y∈(1，＋∞)，则lny∈(0，＋∞)，由f(x)>f(lny)有x>lny；若y∈(0，1]，则lny≤0，由x>0，有x>lny.综上所述，x>lny.2.若关于x的不等式ex＋x＋ln1x≥mx＋lnm恒成立，则实数m的最大值为(A.2 B.e C.3 D.e2答案B解析由题意得，m>0，x>0，不等式等价于ex＋x≥mx＋ln(mx)恒成立，即ex＋lnex≥mx＋ln(mx)恒成立，令f(x)＝x＋lnx，则不等式转化为f(ex)≥f(mx)，因为f'(x)＝1＋1x>0所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以ex≥mx，则exx≥令g(x)＝exx，则g'(x)＝e则当0<x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以当x＝1时，g(x)有最小值，即g(x)min＝g(1)＝e，则m≤e，则m的最大值为e.二、多项选择题(每小题6分，共12分)3.(2025·邯郸模拟)已知a>0，b∈R，e是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋lna，则a－b的值可以是()A.－1 B.1 C.2 D.3答案BCD解析设函数f(x)＝x＋ex，则f(x)在R上是增函数，所以b＋eb－(a＋lna)＝b＋eb－(lna＋elna)＝f(b)－f(lna)＝0，所以b＝lna，即a＝eb，所以a－b＝eb－b，令g(x)＝ex－x，则g'(x)＝ex－1，当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(0)＝1，从而a－b≥1，结合选项，选项BCD符合题意.4.(2024·盐城模拟)若不等式ax－exlna<0在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a的值可以为()A.3e B.2e C.e D.2答案BCD解析由题意得a>0，由ax－exlna<0得xex设f(x)＝xex，则f'(x当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，又f(0)＝0，f(1)＝1e，当x>0时，f(x)＝xe所以f(x)＝xexxex<lnaelna，即f(x)<f(ln对于A，当a＝3e时，lna＝ln3＋1>2，根据图象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上不恒成立，A错误；对于B，当a＝2e时，lna＝ln2＋1∈(1，2)，根据图象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上恒成立，B正确；对于C，当a＝e时，lna＝1，根据图象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上恒成立，C正确；对于D，当a＝2时，lna＝ln2，又f(ln2)＝ln2eln2＝12ln2，f因为3×12ln2－3×2e2＝ln且22>e，e2>6，即ln22>1，6e所以3×12ln2－3×2e2＝ln2即f(ln2)>f(2)，根据图象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上恒成立，D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)5.(2025·长春模拟)不等式xex＋alnxxa≥0(a<0)对∀x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a答案[－e，0)解析由xex＋alnxxxex≥－alnxxa＝－alnx·e－a令f(x)＝xex(x>0)，则f'(x)＝(x＋1)ex>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为a<0，x∈(1，＋∞)，则－alnx>0，则f(x)≥f(－alnx)，可得x≥－alnx，即a≥－xlnx对∀x∈(1，＋∞)令g(x)＝xlnx，则g'(x)＝ln由g'(x)＝0可得x＝e，故当1<x<e时，g'(x)<0，当x>e时，g'(x)>0，所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(e)＝e，得a≥-xlnx又a<0，所以－e≤a<0.6.(2025·渭南模拟)已知实数x1，x2满足ex1＝4x1，lnx2＝2x答案4解析由e可得x1ex1＝4，故x1由lnx2＝2x22，可得x22可得elnx22·lnx22＝4，令f(x)＝xex，则f(x1)＝f(lnx22f'(x)＝(x＋1)ex，当x>0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.由f(x1)＝f(lnx22)得x1＝ln所以e因为x1ex1＝4，所以x1x2