2026版大一轮高考数学-第四章　§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)

§4.6函数y＝Asin(ωx＋φ)课标要求1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.1.简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝2πf＝1ωx＋φφ2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点ωx＋φ0ππ3π2πx0-ππ-3π2π-y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(×)(2)将函数y＝3sin2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin2x＋π4.(3)把y＝sinx-π6的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为y＝sin2x(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.(√2.y＝2sin12x-πA.2，4π，π3 B.C.2，14π，－π3 D.2，答案C解析由题意知A＝2，f＝1初相为－π33.将函数f(x)＝3sin2x＋π4的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x答案3sin2解析g(x)＝fx-π3＝3sin2x4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则点(ω，A)的坐标是.

答案(4，2)解析由题图可知，A＝2，T＝25π24＋π24＝π2＝2πω，所以ω＝4，点(1.熟记下列常用结论(1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为T4(2)若直线x＝a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x＝a处取得最值.(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.谨防两个易误点(1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为φω个单位长度(2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(1)(多选)为了得到函数f(x)＝sin2x-2π3的图象，A.先向右平移2π3个单位长度，再将横坐标缩短到原来的1B.先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，C.先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3答案AC解析正弦曲线y＝sinx先向右平移2π3个单位长度，得到函数y＝sinx-2π3的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin2x-先将正弦曲线y＝sinx上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x的图象，再向右平移π3个单位长度，得到函数f(x)＝sin2x-2π3的图象，(2)(2025·西安模拟)将函数f(x)＝2sin2x-π3的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则mA.π3 B.π C.4π3 D答案D解析将函数f(x)＝2sin2x-π3的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数y＝2sin2x＋2m-π3的图象，因为所得图象关于原点对称，所以2m－π3＝kπ，k∈Z，解得m＝π6＋思维升华函数图象的平移变换解题策略(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数.(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sinα＝cosα-π2，cosα＝(3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.跟踪训练1(1)(多选)要得到y＝sinx的图象，可以将函数y＝sin2x-π5A.向右平移π5个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的B.向左平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2C.横坐标缩短到原来的12，再把所得各点向右平移D.横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平移π5答案BD解析要想得到y＝sinx的图象，y＝sin2x-π5的图象上所有点的横坐标需扩大到原来的2倍，故排除A，C；将y＝sin2x-π5的图象上所有点先向左平移π10个单位长度，得到y＝sin2x＋π10-π5＝sin2x的图象，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y＝sinx的图象，B正确；将y＝sin2x-π5的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y(2)(2024·延边州模拟)将函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ωA.16 B.14 C.13 答案C解析记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sinωx＋π2＋π3＝sinωx＋π2ω＋π3.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以π2ω＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得ω＝2k＋题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，|φ|A.f(x)＝3sin2x-B.f(x)＝2sin3x＋C.f(x)＝2sin3x-D.f(x)＝2sin2x＋答案D解析根据题中图象知A所以A＝2，b＝2，T＝4×5π12-π所以ω＝2ππ＝2又函数图象经过最高点π代入函数f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2得sin2×π6因为|φ|<π2，所以φ所以f(x)＝2sin2x＋π(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝12与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝π6，则f(π)＝答案－3解析设Ax1，由|AB|＝π6可得x2－x1＝由sinx＝12可知x＝π6＋2kπ，k∈Z或x＝5π6＋2kπ，k∈由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝5π即ω(x2－x1)＝2π3，所以ω＝因为f(x)＝sin(4x＋φ)，又f(x)过点2π3，0，所以8π3＋φ＝2kπ即φ＝－8π3＋2kπ，k∈Z取φ＝－2π3，所以f(x)＝所以f(π)＝sin-2π3＝－思维升华确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M-m2，(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2πT(3)求φ.常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.跟踪训练2(1)(2025·长沙模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|A.y＝2sin1B.y＝2sin1C.y＝2sin2D.y＝2sin2答案C解析根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，可得A＝2，34T＝34×2πω＝π12－-2π3，解得ω＝2，再将点π12，2代入可得2×π12＋φ＝π2＋故y＝2sin2x(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，图象与x轴的交点M52，0，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足答案10sinπ解析由题知，函数f(x)的最小正周期T满足T4＝xM－xP＝52－1＝32，解得所以ω＝2π由图象与x轴的交点M52，0，得π3×52＋φ＝π＋2kπ因为|φ|<π2，所以φ即f(x)＝Asinπ所以f(x)的图象与y轴的交点为N0因为NM⊥NP，所以NM·NP＝52，-解得A＝－10(舍去)或A＝10所以f(x)＝10sinπ3题型三三角函数图象、性质的综合应用例3(1)如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为()A.83 B.3 C.103 D答案C解析设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h，依题意，A＝20，h＝25，T＝10，所以ω＝2π又f(0)＝5，所以φ＝－π2所以f(t)＝20sinπ5t-π2＋25＝25－依题意25－20cosπ5t≥35所以cosπ5t≤－又0≤t≤10，解得103≤t≤则摩天轮转动一周内，有203－103＝(2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos2x＋π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝12xA.1 B.2 C.3 D.4答案C解析因为y＝cos2x＋π6向左平移π6个单位长度所得函数为y＝cos2x＋π6所以f(x)＝－sin2x，而直线y＝12x－12显然过0，-12与(作出y＝f(x)与y＝12x－12考虑2x＝－3π2，2x＝3π2，即x＝－3π4，x＝3π4，x＝7π4处f(x)与y＝1当x＝－3π4时，f

-3π4＝－sin-y＝12×-3π4－12当x＝3π4时，f

3π4＝－sin3π2y＝12×3π4当x＝7π4时，f

7π4＝－sin7π2y＝12×7π4所以由图可知，f(x)与y＝12x－12的交点个数为思维升华(1)求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程的根)的个数或零点的和的问题，常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.(2)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝cos2x-π3，x∈0，π2，若方程f(x)＝A.-12，1C.12，1 答案B解析因为x∈0所以令t＝2x－π3，则t方程f(x)＝m有两个不相等的实数根等价于函数y＝cost的图象与直线y＝m有两个交点，函数y＝cost的图象与直线y＝m的位置如图所示，由图可得实数m的取值范围是12≤m<1(2)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.月份x1234收购价格y/(元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为.

答案y＝sinπ2x-π2解析设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝2πω，所以ω所以y＝sinπ2x＋因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sinπ2＋φ结合表中数据得π2＋φ＝2kπ，k∈Z可取φ＝－π所以y＝sinπ2x-课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.用“五点法”作y＝2cosx－1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为()A.(0，1)，π2，0，(π，－1)，B.(0，1)，π2，-1，(π，－3)，C.(0，1)，(π，－3)，(2π，1)，(3π，－3)，(4π，1)D.(0，1)，答案B解析∵y＝2cosx－1，∴最小正周期T＝2π.由“五点法”作图可知，应描出的五个点的横坐标分别是0，π2，π，3π2，2π.代入解析式可得点的坐标分别为(0，1)，π2，-1，(π，－3)2.将函数f(x)＝cos4x-π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)A.π2 B.π C.2π D.答案B解析方法一由题意得g(x)＝cos12×4x-π3＝cos2方法二原函数f(x)＝cos4x-π3的最小正周期为2π4，将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后最小正周期变为3.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin3x-π6A.3 B.4 C.6 D.8答案C解析因为函数y＝sinx的最小正周期T＝2π，函数y＝2sin3x-π6的最小正周期所以在[0，2π]上，函数y＝2sin3x-π在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.4.x的图象重合，则mA.5π6 B.2π3 C.π3 答案D解析由题可得f(x＋m)＝sin2x＋2m＋π6的图象与函数g(x)则f(m)＝sin2m＋π6＝g(0即2m＋π6＝π2＋2kπ，解得m＝π6＋kπ，k∈Z，故m的值可以为π5.(2025·广州模拟)如图，直线y＝1与函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的图象的三个相邻的交点分别为B，C，D，且BC＝π，CD＝2π，A.2sin23x＋π3C.233sin23x＋π答案A解析方法一因为BC＝π，CD＝2π，所以相邻两对称轴间的距离为π2＋π＝即最小正周期T＝3π，所以ω＝2π又因为点-π2，0在f(所以Asin23×-即sinφ-π3结合图象可知φ－π3＝2kπ，k∈Z所以φ＝π3＋2kπ，k∈Z又|φ|<π2，所以φ＝易知点C的横坐标为－π则C3π所以Asin23×3π4＋π3＝所以f(x)＝2sin23方法二因为BC＝π，CD＝2π，所以相邻两对称轴间的距离为π2＋π＝3π2，即最小正周期T＝3π，所以ω＝2π3π＝当x＝0时，代入f(x)＝2sin23x＋π3，可得f(0)＝3>1，满足题意，代入f(x)＝233sin23x＋π3，可得f(0)＝26.(2025·包头模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且f(x)的图象关于点-π12A.－3 B.－1 C.－2 D.0答案B解析∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π又f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π∴T2＝πω＝∴f(x)＝2sin(2x＋φ).又f(x)的图象关于点-π12∴2×-π12＋φ＝kπ(k∈Z∴φ＝kπ＋π6(k∈Z)又|φ|<π2，∴φ∴f(x)＝2sin2又x∈0，π2，∴2x∴f(x)＝2sin2x＋π6的值域为[－1∴f(x)在区间0，π2上的最小值为二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2024·昆明模拟)为得到函数y＝6sin2x＋π3的图象，只需要将函数y＝6sin2xA.向左平移π6B.向左平移π3C.向右平移5π6D.向右平移11π6答案ACD解析A中，向左平移π6个单位长度，可得y＝6sin2x＋π6＝6sinB中，向左平移π3个单位长度，可得y＝6sin2x＋π3＝6sinC中，向右平移5π6个单位长度，可得y＝6sin2x-5π6＝6sin2x-5π3＝D中，向右平移11π6个单位长度，可得y＝6sin2x-11π6＝6sin2x-11π3＝6sin8.(2024·曲靖模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，|φ|A.f(0)＝－1B.函数f(x)的最小正周期是2πC.函数f(x)的图象关于直线x＝π3D.将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度以后，答案AC解析根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，|φ|≤π2的部分图象可得A又f-π6＝－2，可得2×-π6＋φ＝－π2＋2kπ又|φ|≤π2，解得φ所以f(x)＝2sin2x-π6，可得f(0)＝2sin-π可得f(x)的最小正周期为2π2＝π，故B不正确；令x＝π3，则fπ3＝2sin2×π3-π6＝2，为最大值，可得函数f(x)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，可得y＝2sin2x＋π6的图象，可得所得的函数图象不关于原点对称三、填空题(每小题5分，共10分)9.将函数f(x)＝sin2x-π3的图象向左平移φ0<φ<π2个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)答案π解析将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin2(x＋因为函数g(x)是奇函数，所以g(0)＝sin2φ-π则2φ－π3＝kπ，k∈Z，则φ＝π6＋k因为0<φ<π2，所以φ＝10.，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有AM＝BP＝2m，则点P距离地面的高度h为m.

答案20解析以M为坐标原点，MO所在直线为y轴，与MO垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示，设点B的方程为y＝Asin(ωt＋φ)＋k，依题意得A＋k又因为T＝12＝2π所以ω＝π6，此时y＝40sinπ6又当t＝0时，y＝2，所以40sinφ＋42＝2，sinφ＝－1，φ＝－π所以y＝40sinπ6t-π2＋42＝－40cos所以当t＝10时，y＝－40cosπ6×10＋42所以点P距离地面的高度h＝22－2＝20(m).四、解答题(共27分)11.(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，-π2<φ<π2的最小正周期是π，(1)求f(x)的解析式；(4分)(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4分)(3)函数f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？(5分)解(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x＝π6时，f(x)取得最大值2，所以A＝2同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k即φ＝2kπ＋π6，k∈因为－π2<φ<π2，所以所以f(x)＝2sin2x(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π列表如下：2x＋ππππ3π2π13πx0π5π2π11ππf(x)120－201描点、连线得图象如图所示，(3)将y＝sinx的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sinx＋π6的图象，再将y＝sinx＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x＋π6的图象，再将y＝sin2x＋π6上所有点的纵坐标伸长到原来的12.(14分)降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声的声波曲线是f(x)＝Asin2π3x＋φ(A>0，0≤φ<π)，其中振幅为2，且经过点(1，(1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；(6分)(2)先将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的π3倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数h(x)的图象.若锐角θ满足h(θ)＝－1013，求sin2θ的值.解(1)由已知可得A＝2，由f(1)＝2sin2π3＋φ可得sin2π3＋φ所以2π3＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z得φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)因为0≤φ<π，则φ＝5π故f(x)＝2sin2πg(x)＝－f(x)＝－2sin2π3(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的π3倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2sin2x＋5π6的图象，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，可得函数hh(x)＝2sin2x-π6