2026版大一轮高考数学-第四章　§4.9　解三角形中的最值与范围问题

§4.9解三角形中的最值与范围问题重点解读解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.题型一利用基本不等式求最值(范围)例1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acos(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)由a结合正弦定理asinA所以tanA＝3又因为A∈(0，π)，所以A＝π3(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以S△ABC＝12bcsinA≤12×4即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为3.思维升华求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.(1)求面积最值时，S＝12bcsinA，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤b＋c22，即可求得跟踪训练1已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝sin2A.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求△ABC周长的最大值解(1)由正弦定理a得b2＋c2＋bc＝a2，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得，cosA＝b2＋又0<A<π，所以A＝2π3(2)由a＝3和(1)可知b2＋c2＋bc＝3，则3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－(得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2，所以a＋b＋c≤2＋3，当且仅当b＝c＝1时取得等号所以△ABC周长的最大值为2＋3.题型二转化为三角函数求最值(范围)例2(2024·广州模拟)如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB＝3，BC＝7，△ACD为正三角形.(1)求AC的取值范围；(2)设∠ABC＝α，当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.解(1)因为四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，所以∠BAC＋∠CAD<π，又因为△ACD为正三角形，∠CAD＝π所以0<∠BAC<2π在△ABC中，由余弦定理得AB2＋AC又因为－12<cos∠BAC<1将AB＝3，BC＝7代入并整理得AC2＋3AC－40>0，且AC2－6AC－40<0，解得5<AC<10，所以AC的取值范围是(5，10).(2)在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosα＝9＋49－2×3×7cosα＝58－42cosα，由(1)知5<AC<10，则cosα＝58-AC又因为△ACD为正三角形，所以S△ACD＝34AC2＝2932－又S△ABC＝12AB·BC·sinα＝212sin所以S四边形ABCD＝S△ACD＋S＝2932－2132cos＝21×1＝21sinα所以当α－π3＝π2，即α＝5π6时，cos5π此时四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为21＋293思维升华利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.跟踪训练2在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsinB－asinA＝2bsinA(1)求角A的大小；(2)求sinCcosB的取值范围.解(1)bsinB－asinA＝2bsinA＝2bsinAcos由正弦定理得b2－a2＝2bcsinAcosπ6＋2bccosAsinπ6－c所以3bcsinA＋bccosA＝b2＋c2－a2＝2bccosA，则3sinA＝cosA，cosA≠0，所以tanA＝3又A∈0，π2，所以(2)因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B＝π6＋B>π2，即π3<B<πsinCcosB＝sin5π6-B＝sin5π6cos＝12cos2B＋32sinBcos＝1＋cos2B4＝1＝12sin2B＋π6＋则5π6<2B＋π6<7π6，所以0<sinCcosB<12即sinCcosB的取值范围是0，题型三转化为其他函数求最值(范围)例3(2024·北京模拟)在△ABC中，AB＝5，D在边AB上，且2BD＝3AD，BC＝2CD.(1)若CD＝2，求△ABC的周长；(2)求△ACD周长的最大值.解(1)若CD＝2，则BC＝2CD＝4，又AB＝5，2BD＝3AD，所以BD＝3，AD＝2，在△BCD中，由余弦定理得cosB＝B在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝25＋16－2×5×4×78＝6故AC＝6故△ABC的周长为5＋4＋6＝9＋6.(2)由(1)知，BD＝3，AD＝2，设CD＝x，则BC＝2x，由三边关系可得2x＋x>3，在△BCD中，由余弦定理得cosB＝B在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝25＋4x2－2×5×2x×x2＋34x＝故AC＝10-所以△ACD的周长为10-x2＋x＋令f(x)＝10-x2＋x＋2，1<x则f'(x)＝-2x210-x2＋1＝10-x2-当1<x<5时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当5<x<3时，f'(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝5处取得极大值，也是最大值，故△ACD周长的最大值为f(5)＝5＋5＋2＝25＋思维升华解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.跟踪训练3已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA(1)若C＝π2，求(2)求a＋c解(1)由sinAsinab＋c＝c-bb，∵C＝π2，∴c2＝a2＋b∴b2＋ab＝a2＋b2，则a＝b，即A＝B，又C＝π2，∴B＝(2)由(1)知，c2＝b2＋ab，∴a＝c2-b2由三角形三边关系可得a代入化简可得b<c<2b，∴a＋cb令x＝cb，则x∈(1，2令f(x)＝x2＋x－1，1<x<2，∴f(x)＝x＋122－54∴c2b2＋cb－1∈∴a＋cb的取值范围是(1，课时精练[分值：70分]一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝π6，则b的取值范围是(A.(0，6) B.(0，23)C.(3，23) D.(33，答案D解析在锐角△ABC中，a＝3，A＝π由正弦定理可得bsinB＝所以b＝6sinB，又B＋C＝5π所以0<B<π2，0<所以32<sinB<1，所以b的取值范围是(33，62.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为()A.(2，4) B.(1，3)C.(0，3) D.(3，4)答案A解析由a＝c－1，b＝c＋1，则b>c>a，所以c＋c－1>c＋1，故c>2，由△ABC为钝角三角形，则cosB<0，即c2＋(c-1)2-(c＋1)22c故c的取值范围为(2，4).3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3(b＋c)，A＝π3，则△ABC周长的最大值为(A.6 B.12 C.18 D.24答案C解析因为A＝π3，且a2＝3(b＋c由余弦定理可得，a2＝3(b＋c)＝b2＋c2－bc，所以(b＋c)2－3(b＋c)＝3bc≤34(b＋c)2当且仅当b＝c时，等号成立，所以b＋c≤12，所以a＝3(b＋c即△ABC周长的最大值为12＋6＝18.4.(2025·泰州模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°，B>90°，则ba的取值范围为(A.12，＋∞ B.(C.(2，＋∞) D.(3，＋∞)答案C解析因为C＝60°，B>90°，所以0°<A<30°，0<tanA<3即得1tanA由正弦定理可得，ba＝sin二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝π3，b＝43，则下列说法正确的是A.若A＝π4，则a＝B.若a＝1，则c＝7C.△ABC周长的最大值为123D.△ABC面积的最大值123答案ACD解析由正弦定理，bsinB＝asinA，由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝c2－c＋1＝48，解得c＝1＋3212或c＝1-3212(由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3a当且仅当a＝c＝43时，等号成立，所以a＋c≤83，故△ABC周长的最大值为123，故由C选项分析可知a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤48，所以△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝34ac≤34×48当且仅当a＝c＝43时等号成立，故D正确.6.(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC＋3ccosB＝a2，则下列说法正确的是()A.若B＋C＝2A，则△ABC的外接圆的面积为3πB.若A＝π4，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3C.若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(32，33D.若A＝2C，且sinB＝2sinC，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为3答案ACD解析因为3bcosC＋3ccosB＝a2，所以由正弦定理，得3sinBcosC＋3sinCcosB＝asinA，即3sin(B＋C)＝asinA，因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，所以a＝3.选项A，若B＋C＝2A，则A＝π所以△ABC的外接圆的直径2R＝asinA＝所以R＝3所以△ABC的外接圆的面积为π×(3)2＝3π，A正确；选项B，因为△ABC有两解，则bsinA<a<b，则bsinπ4<3<b解得3<b<32，B选项C，由正弦定理asinA即c＝2acosA＝6cosA，因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<π2，0<π-3所以c＝6cosA∈(32，33)，C选项D，因为a＝3，sinB＝2sinC，A＝2C，可得B＝π－3C，由正弦定理可得b＝2c，由sin(π－3C)＝2sinC，可得sinCcos2C＋cosCsin2C＝2sinC，由sinC≠0，可得4cos2C－1＝2，解得cos2C＝3又B＝π－3C∈(0，π)，则C∈0故cosC＝32，sinC可得sinA＝2sinCcosC＝2×12×由正弦定理asinA＝csinC，a＝3可得c＝3，b＝23，则aS△ABC＝12bcsinA＝12×23×3设△ABC的内切圆半径为r，则r＝2S△AOB＝12cr＝12×3×3-3三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2024·辽阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则sin2Csin答案2解析因为a2＋4b2＝6c2≥2a2·4b当且仅当a＝2b时，等号成立，即c2ab≥由正弦定理可得sin2CsinAsinB＝c2ab所以sin2C8.(2024·绵阳模拟)如图所示，在△ABC中，已知A＝π3，C＝π2，AC＝4，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且△DEF为等边三角形.则△DEF答案12解析不妨设△DEF的边长为a，∠CDE＝θ.在Rt△CDE中，CD＝acosθ.因为∠ADF＝π－θ－π3＝2π所以在△AFD中，可得∠AFD＝π－π3－∠ADF＝θ根据正弦定理可得AD所以AD＝2a3sin所以AC＝CD＋AD＝acosθ＋23sinθ＝73asin(θ＋φ)当sin(θ＋φ)＝1时，a取得最小值4故△DEF面积的最小值为S＝34a2＝34×四、解答题(共28分)9.(13分)(2024·铜川模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanAtanB＋tanAtanC＝3tanBtanC.(1)证明：3b2＋3c2＝5a2；(6分)(2)若a＝15，当A取最大值时，求△ABC的面积.(7分(1)证明∵tanAtanB＋tanAtanC＝3tanBtanC，∴sinAcosAsin∴sinA(sinBcosC＋cosBsinC)＝3sinBsinCcosA，∴sin(B＋C)sinA＝3sinBsinCcosA，又sin(B＋C)＝sinA，∴sin2A＝3sinBsinCcosA，由正弦定理可得a2＝3bccosA，由余弦定理可得a2＝3bccosA＝32(b2＋c2－a2)整理得3b2＋3c2＝5a2.(2)解由(1)得3b2＋3c2＝5a2，即