2026版大一轮高考数学-第四章　必刷大题9　解三角形

必刷大题9解三角形[分值：60分]1.(13分)(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(6分)(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积.(7分)解(1)由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7，则BC＝7由正弦定理可得sin∠ABC＝AC·sin∠(2)由三角形面积公式可得S△ABDS则S△ACD＝15S△＝15×12.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA＝2sinB.(1)若b＝2，c＝27，求C的大小；(5分(2)点D在边AB上，且AD＝13AB，证明：CD平分∠ACB.(10分(1)解由sinA＝2sinB，得a＝2b＝4，由余弦定理可知cosC＝a2＋又C∈(0，π)，则C＝2π3(2)证明在△ACD中，由正弦定理可知1则sin∠ACD＝c在△BCD中，由正弦定理可知2则sin∠BCD＝c又sin∠BDC＝sin∠ADC，故sin∠BCD＝sin∠ACD，即∠BCD＝∠ACD或∠BCD＝π－∠ACD，又∠ACB＝∠BCD＋∠ACD为△ABC的内角，所以∠BCD＝∠ACD，故CD平分∠ACB.3.(15分)(2024·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinB＋sinC＝2sinAcosB.(1)证明：a2－b2＝bc；(5分)(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB＝3，BD＝1，当点C运动时，探究CD－CA是否为定值？(10分)(1)证明sinB＋sinC＝2sinAcosB，由正弦定理可得b＋c＝2acosB，又∵cosB＝a∴b＋c＝a∴bc＋c2＝a2＋c2－b2，∴a2－b2＝bc.(2)解由(1)知b＋c＝2acos∠CBA，∴cos∠CBA＝b在△BCD中，BC＝a，BD＝1，∴cos∠CBD＝a又∵cos∠CBD＝cos(π－∠CBA)＝－cos∠CBA，∴－b∴－b－3＝1＋a2－CD2，∴CD2＝4＋a2＋b，又∵a2－b2＝bc，c＝3，∴CD2＝4＋b2＋3b＋b＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2，∵CD>0，∴CD＝b＋2，∴CD－CA＝b＋2－b＝2.综上所述，CD－CA为定值2.4.(17分)(2025·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC－asinC＝3b.(1)求角A的大小；(7分)(2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值.(10分)解(1)由3acosC－asinC＝3b结合正弦定理，得3sinAcosC－sinAsinC＝3sinB.因为A＋B＋C＝π，所以3sinAcosC－sinAsinC＝3sin(A＋C)＝3(sinAcosC＋cosAsinC)，所以－sinAsinC＝3cosAsinC.因为sinC>0，所以tanA＝－3.因为A∈(0，π)，所以A＝2π3(2)在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos2π所以4＝b2＋c2＋bc.①因为AD为BC边上的中线，所以AD＝1所以|AD|2＝AD2＝14(AB＋AC)2＝14(c2由①得b2＋c2＝4－bc，③代入②得|AD|2＝1－12bc