2026版大一轮高考数学-第五章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示

§5.2平面向量基本定理及坐标表示课标要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(×)(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2＝y1y(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.(√)2.设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于()A.(6，3) B.(－2，－6)C.(2，1) D.(7，2)答案B解析2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).3.在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(A.12 B.－12 C.1 D.答案A解析因为E为DC的中点，所以AC＝AB＋AD＝12AB＋12AB＋AD＝14.已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为.答案(1，5)解析设D(x，y)，则AB＝得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，即4＝5-x,1＝6-y,解得x＝1.熟记以下常用结论(1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到λ1＝μ1,λ2＝μ2,即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e(2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为x12.谨防三个易误点(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量.(2)a∥b的充要条件不能表示为x1x2＝y1y2(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.题型一平面向量基本定理的应用例1(1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是()A.a－b，b－a B.2a＋b，a＋12C.2b－3a，6a－4b D.a＋b，a－b答案D解析A选项，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共线，不能作为基底.B选项，2a＋b＝2a＋12b，所以2a＋b，a＋C选项，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共线，不能作为基底.D选项，易知a＋b，a－b不共线，可以作为基底.(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则λμ答案1解析由题图可设CG＝xCE(0<x<1)则CG＝x(CB＋BE)＝x2CD＋因为CG＝λCD＋μCB，CD与CB所以λ＝x2，μ＝x，所以思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB等于(A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n答案B解析因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)＝－2(2)在△ABC中，点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，CB＝mCA＋nCD，m，n∈R，则(A.m＝23，n＝12 B.mC.m＝23，n＝13 D.m＝－答案B解析因为点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，所以AB＝2BD，即CB－CA＝2(CD－CB)，所以CB＝13CA＋23CD.题型二平面向量的坐标运算例2(1)在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为(A.-12C.-12答案C解析因为在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以(2)如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则AB－AD＋BCA.2a＋32b B.－2a－3C.－3a＋12b D.3a－1答案C解析以图中向量a，b的始点为坐标原点，a所在直线为x轴，b所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则a＝(1，0)，b＝(0，2)，C(2，5)，D(5，4).AB－AD＋BC＝DB＋令DC＝xa＋yb，得到(－3，1)＝x(1，0)＋y(0，2)＝(x，2y)，解得x＝－3，y＝所以AB－AD＋BC＝－3思维升华(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.跟踪训练2(1)已知点A(0，1)，B(2，3)，向量BC＝(－3，1)，则向量AC等于(A.(1，－2) B.(－1，2)C.(1，－3) D.(－1，3)答案D解析因为A(0，1)，B(2，3)，所以AB＝(2，2)所以AC＝AB＋BC＝(2，2)＋(－3，1)＝(－(2)(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若AC＝λAM＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(A.43 B.53 C.答案B解析在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC＝(2，2)，AM＝(2，1)，BD＝(－2，2)，λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋因为AC＝λAM＋μBD，所以解得λ＝43，μ＝13，λ所以λ＋μ的值为53题型三向量共线的坐标表示例3(1)(2024·临沂模拟)已知向量a＝(3，m)，b＝-1，13，若a∥b，则mA.1 B.－1 C.9 D.－9答案B解析因为向量a＝(3，m)，b＝-1若a∥b，则3×13＝－m，即m(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为.

答案(3，3)解析方法一OA＝(4，0)，OB＝(4，4)，OC＝(2，由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，λ∈R，则AP＝OP－OA＝(4λ－4，4λ).又AC由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP＝34OB所以点P的坐标为(3，3).方法二设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).跟踪训练3(1)(2025·景德镇模拟)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，则tanα的值为()A.2 B.－2 C.12 D.－答案A解析因为a＝(2，3)，b＝(2，sinα－3)，所以a＋b＝(4，sinα)，又c＝(2，cosα)且(a＋b)∥c，所以4cosα＝2sinα，则tanα＝sin(2)已知向量a＝(1，4)，b＝(2，3)，若c∥(a－b)，且|c|＝1，则c的坐标为.

答案-22解析因为a＝(1，4)，b＝(2，3)，所以a－b＝(－1，1)，因为c∥(a－b)，且|c|＝1，所以c＝±a-又|a－b|＝2，所以c＝a-b2定比分点坐标公式定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，在解决平面向量和解析几何题目中都有应用.如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当P1P＝λPP2(λ≠0且λ≠－1)时，OP＝11＋λOP1＋λ1＋λOP2，点P的坐标是x1＋λx21＋典例(1)若过两点P1(－1，2)，P2(5，6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段P1P2所成的比λ的值为A.－13 B.－15 C.15答案A解析设P(x，0)，则λ＝0-26-0＝－1(2)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且PN＝－2PM，则P点的坐标为()A.(－14，16) B.(22，－11)C.(6，1) D.(2，4)答案D解析由NP＝2PM，可知P分有向线段NM所成的比是λ＝2，设O为坐标原点，所以OP＝则P10-41＋2，-2＋14课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于()A.133，C.133，答案D解析∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－13(a－2b)∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，∴c＝－13(a－2b)＝2.(2024·北京模拟)已知向量a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，若a与a＋b共线，则实数λ等于()A.－2 B.－1 C.1 D.2答案C解析∵a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，∴a＋b＝(λ＋3，6)，又∵a与a＋b共线，∴(λ＋1)×6－(λ＋3)×3＝0，解得λ＝1.3.平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是()A.向量a，b的方向相同B.向量a，b中至少有一个是零向量C.向量a，b的方向相反D.当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0答案D解析因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以根据平面向量基本定理得，向量a，b不共线，故A，B，C不正确；因为a，b不共线，所以当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0，故D正确.4.已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，则点D的坐标为(A.(－2，3) B.(2，－3)C.(－2，1) D.(2，－1)答案D解析设D(x，y)，则CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2根据CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)即x＝2,y-1＝-2,解得x＝5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是()A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4答案D解析方法一设BM＝e1，CN＝e则AM＝AC＋CM＝－3eBN＝BC＋CN＝2e因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋所以BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋又BA＝BC＋CA＝2e1所以λ＋2所以AP＝所以AP＝45AM方法二设AP＝λAM，λ∈R因为M是BC的中点，AN＝2NC，则AM＝AP＝λAM＝12λ又B，P，N三点共线，所以12λ＋34λ＝解得λ＝45，所以AP＝46.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC为直径的半圆上有一点M，BM＝λBC＋3λBA，则实数λ等于A.3＋1C.32 D.答案A解析以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0，1)，C(1，0)，AC＝2则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D12则以AC为直径的圆的方程为x-设M(x，y)，则BM＝(x，y)，BC＝(1，0)，BA＝(0，BM＝λBC＋3λBA＝(λ，所以x由点M在圆x-可得λ-即4λ2－(1＋3)λ＝0，解得λ＝3＋14或λ＝0二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是()A.2，23 B.(1，C.(1，－2) D.-1答案AD解析因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1)，故若向量(x，y)满足3y－x＝0，则该向量与2a＋b平行.检验易知A，D符合题意.8.已知△ABC中，点P满足PA＋PB＝CP，点Q在△PBC内(含边界)，其中AQ＝xAB＋yA.若x＝13，y＝2B.若P，Q两点重合，则AQC.存在x，y，使得x＋2y＝D.存在x，y，使得x＋2y＝答案BCD解析对于A，AQ＝13AB＋23AC，即3AQ＝AB＋2AC，故AQ－AB＝2对于B，由PA＋PB＝CP得，PA＋PB＋PC＝0，故P为△ABC的重心，则对于C，D，取AC的中点D，则AQ＝xAB＋2yAD，由点Q在△PBC内(含边界)过点Q作MN∥BD(当点Q在线段BP上时，MN与BD重合)，与线段CD交于点M，与射线AB交于点N，如图所示，设AM＝kAD，k∈[1，2]，则AN＝k因为点M，Q，N三点共线，所以存在实数λ，使AQ＝λAM＋(1－λ)AN＝kλAD＋k(1－λ)因为AQ＝xAB＋2yAD，所以x＝k(1-λ),2y＝kλ,则x＋2y＝k∈三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知向量OA＝(3，4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m答案m≠－7解析因为AB＝OB－OA＝(3，－7)，AC＝OC－OA＝(又点A，B，C能构成三角形，所以点A，B，C不共线，即AB与AC不共线，所以3(－7－m)－(－7)(2－m)≠0，解得m≠－71010.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为.答案(2，4)解析∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，∴DC＝2AB设点D的坐标为(x，y)，则DC＝(4－x，2－y)又AB＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)即4-x＝∴点D的坐标为(2，4).四、解答题(共27分)11.(13分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(6分)(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标.(7分解(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝5∴4(解得x＝3∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).12.(14分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，DM＝13DC，BN＝23(1)若MN＝λAB＋μAD，求实数λ和μ的值；(7分(2)用向量AM，AN表示AE.(7分)解(1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，B(2，0)，M23，1，所以MN＝43，-13，AB＝(2，0)所以MN＝43，-13＝λAB＋μ所以2λ＝(2)设AE＝tAC，AC＝mAM＋nAN，t，m，n∈因为AM＝23又C(2，1)，则AC＝(2，1)所以AC＝(2，1)＝即23m即AC＝所以AE＝tAC＝37t又因