2026版大一轮高考数学-第五章　§5.5　复　数

§5.5复数课标要求1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位.(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)复数实数(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)复数的模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b2.复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.3.复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z＝ac＋bdc2＋d2＋bc-(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(2)原点是实轴与虚轴的交点.(√)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数.(×)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(√)2.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z＝－1－i，则|z|等于()A.0 B.1 C.2 D.2答案C解析若z＝－1－i，则|z|＝(-13.已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限.4.复数5i-2的共轭复数是答案－2＋i解析5i-2＝5(-2-i)(-2＋1.熟记与复数有关的常用结论(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1-i＝i；(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).(3)z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2(4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.2.谨防两个易误点(1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.题型一复数的概念例1(1)(2024·白山模拟)复数z＝i＋2i2＋3i3，则z的虚部为()A.2i B.－2i C.2 D.－2答案D解析由z＝i＋2i2＋3i3可得z＝－2－2i，故z的虚部为－2.(2)(2024·银川模拟)已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数，则m等于()A.1 B.－1 C.1或－1 D.2答案B解析因为z＝m2－1＋(m＋i2)·i＝m2－1＋(m－1)·i，若复数z表示纯虚数，则m2-1＝0(3)(2025·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于()A.5 B.4 C.21 D.29答案D解析由题意得，z＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，由根与系数的关系得1＋2i＋1－2i＝－a，(1＋2i)(1－2i)＝b，故a＝－2，b＝1－4i2＝1＋4＝5，故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝4＋思维升华解决复数概念问题的常用方法(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥0.(3)复数是纯虚数的条件①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0.(4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－bi，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z跟踪训练1(1)(2024·海口模拟)下列关于复数的说法，正确的是()A.复数i是最小的纯虚数B.在复数范围内，模为1的复数共有1，－1，i和－i四个C.i与－i是一对共轭复数D.虚轴上的点都表示纯虚数答案C解析虚数不能比大小，故A错误；对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，但凡满足a2＋b2＝1，其模均为1，显然不仅四个，比如a＝12，b＝32时，|z|＝1，故B错误；由共轭复数的定义可知C正确；原点(0，0)也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D(2)(2025·南通模拟)已知复数z满足z2＝－3＋4i，则|z|等于()A.32 B.5 C.5答案C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，又z2＝－3＋4i，所以a2-b2则z＝1＋2i或z＝－1－2i，所以|z|＝1＋(3)已知复数z满足4z(1＋z)＝15＋8i，则z的实部为.答案－1解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由4z(1＋z)＝15＋8i，得4(a－bi)＋4(a2＋b2)＝15＋8i，由复数相等的充要条件，得4a＋故z的实部为－12题型二复数的四则运算例2(1)(2024·新课标全国Ⅰ)若zz-1＝1＋i，则z等于(A.－1－i B.－1＋iC.1－i D.1＋i答案C解析因为z＝1＋1z-1＝1＋所以z＝1＋1i＝1－(2)设复数z＝1＋2i2-i2025，则zA.1 B.－1 C.i D.－i答案C解析∵1＋2i2-i∴z＝i2025＝i4×506＋1＝i.(3)(2024·南阳模拟)已知复数z满足z-3z-i＝2i，则z·z答案5解析因为z-3z-i所以z－3＝2i(z－i)＝2＋2iz，所以z＝51-2i＝5(1所以z＝1－2i，则z·z＝(1＋2i)(1－2i)＝5.思维升华复数四则运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算复数的乘法复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化跟踪训练2(1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知z＝1-i2＋2i，则z－z等于A.－i B.i C.0 D.1答案A解析因为z＝1-i＝-2i4＝－12i，所以z＝12i，即(2)(2024·新乡模拟)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则z＋iz答案2i解析由题意得复数z对应的点的坐标为(2，－1)，故z＝2－i，z＝2＋i，故z＋i(3)已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2025＝.答案i解析i＋i2＋i3＋i4＝0，则i＋i2＋i3＋…＋i2025＝506×0＋i＝i.题型三复数的几何意义例3(1)(2024·西宁模拟)已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于()A.－2 B.－125 C.2 D.答案A解析由题意|z|＝(a-1)得5a2－2a－24＝0，解得a＝－2或a＝125因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a-1<0,-2a>0,故(2)已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋3i|的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.2答案B解析方法一由|z－i|＝|z＋2－i|，得复数z在复平面内对应的点Z到点(0，1)与点(－2，1)的距离相等，则点Z在直线x＝－1上.|z－3＋3i|表示点Z与点(3，－3)的距离，过点(3，－3)作直线x＝－1的垂线，垂足为P(图略)，当点Z与点P重合时，|z－3＋3i|取得最小值4.方法二因为z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－i＝a＋(b－1)i，z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i，由|z－i|＝|z＋2－i|，可得a2解得a＝－1，则z＝－1＋bi，所以z－3＋3i＝－4＋(b＋3)i，因此|z－3＋3i|＝(-4)2当且仅当b＝－3时，等号成立，故|z－3＋3i|的最小值为4.思维升华复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系、一一对应，即z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)OZ.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.跟踪训练3(1)(2025·南充模拟)当1<m<2时，复数m－1＋(m－2)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析由1<m<2，可得m所以复数m－1＋(m－2)i在复平面内对应的点Z(m－1，m－2)位于第四象限.(2)已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为()A.1 B.5－1 C.5＋1 D.3答案B解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝(x-2)所以(x－2)2＋y2＝1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，如图，又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝x2所以|z－i|表示圆C上的点到点A(0，1)的距离，所以|z－i|min＝CA－1＝5－1.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2024·沈阳模拟)已知a，b∈R，a－3i＝(b－i)i(i为虚数单位)，则()A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3答案A解析因为a－3i＝(b－i)i＝1＋bi，所以a＝1，b＝－3.2.(2025·曲靖模拟)在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是OA，OB，其中O是坐标原点，则向量AB对应的复数为()A.1＋i B.5－iC.5－3i D.－5＋i答案D解析由题设OA＝(3，2)，OB＝(－2，3)，则AB＝OB－OA＝(－5所以向量AB对应的复数为－5＋i.3.(2024·台州模拟)已知复数z＝2＋ii(i为虚数单位)，则A.z的实部为2B.|z|＝5C.z＝2－iD.z在复平面内对应的点位于第一象限答案B解析z＝2＋ii＝－(2＋i)i＝1－2i，故实部为1，|z|＝5，z＝1＋2i，z在复平面内对应的点为(1，－24.(2024·咸阳模拟)已知复数z＝m2－7m＋6＋(m2－36)i是纯虚数，则实数m的值为()A.±6 B.1或6 C.－6 D.1答案D解析由题意得m2－7m＋6＝0且m2－36≠0，则m＝1.5.(2025·固原模拟)已知复数z满足2z＋41＋i＝z＋i，则A.－2－i B.2－i C.－2＋i D.2＋i答案A解析依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，因为41＋i＝4所以由2z＋41＋i可得2(a－bi)＋2－2i＝a＋bi＋i，则(2a＋2)－(2b＋2)i＝a＋(b＋1)i，所以2解得a＝-2,b＝-16.已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为()A.π B.2π C.3π D.4π答案C解析令z＝a＋bi(a，b∈R)，则1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，即对应的点Z所在区域的面积是圆心为(1，－1)，半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，所以所求区域的面积为4π－π＝3π.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2025·徐州模拟)已知复数z在复平面内对应的点为-12，3A.|z|＝1 B.z＋z＝1C.z2＋z＋1＝0 D.z2026＝z答案ACD解析由题可知，z＝－12＋32i，|z|＝-1z＝－12－32i，z＋z＝－z2＝-12＋32i2＝14－34－32i＝－12z3＝z2·z＝-12-32所以z2026＝z2025·z＝(z3)675·z＝z8.(2024·临汾模拟)下列说法正确的是()A.若z＝－2＋i，则z在复平面内对应的点位于第二象限B.若z满足z·i＝－1＋2i，则z的虚部为1C.若z是方程x2＋3＝0的根，则z＝±3iD.若z满足|z－1＋2i|＝2，则|z|的最大值为5答案AC解析对于A，z＝－2＋i在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限，故A正确；对于B，因为z·i＝－1＋2i，所以z＝-1＋2ii＝(-1＋2i)·ii2＝2＋i，则对于C，方程x2＋3＝0的根为±3i，故C正确；对于D，设z＝x＋yi(x，y∈R)，若z满足|z－1＋2i|＝2，即|(x－1)＋(y＋2)i|＝2，所以(x-1)2＋(y＋2)2＝2，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则点(x，y)在以(1，－2)为圆心，2为半径的圆上，又圆心到坐标原点的距离为12三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2025·辽阳模拟)若复数z＝10-5i2＋i＋|3－4i|，则|z|答案45解析z＝10-5i2＋i＋|3－4i|＝5(2-i)(2-i)(2＋|z|＝82＋(-410.写出一个同时满足①②的复数z＝.①z3＝z；②z∉R.答案i(或－i)解析因为z∉R，不妨设z＝bi(b∈R，b≠0)，则(bi)3＝－b3i＝－bi，解得b＝±1，即z＝±i符合.四、解答题(共28分)11.(13分)已知复数z＝m2＋m－2＋(m－1)i(m∈R)，其中i为虚数单位.(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(6分)(2)若m＝2，设z＋iz-i＝a＋bi(a，b∈R)，试求a＋b的值.解(1)因为z是纯虚数，所以m2＋m-2(2)若m＝2，则z＝4＋i，故z＋iz-i＝4＋所以a＝35，b＝45，所以a＋b＝12.(15分)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.(1)求实数a，b的值；(7分)(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.(8分)解(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，所以-a＋(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，所以x2＝－1－i是方程的