2025年中考数学一轮复习知识清单专题03 平面直角坐标系与函数 (4大模块知识梳理+9个考点+3个易错点)解析版

专题03平面直角坐标系与函数

目录

01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）

知识模块一：平面直角坐标系知识模块二:点的坐标特征与变换

知识模块三：坐标方法的简单应用知识模块四：函数

03究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大考点）

考点一：用有序数对表示位置考点二：实际问题中用坐标表示位置

考点三：判断点所在的象限考点四：直角坐标系中点的坐标

考点五：点坐标规律探索考点六：点的坐标变换

考点七：自变量和函数值考点八：函数解析式

考法九：函数图象

04辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（3大易错点）

易错点1：函数图像中的动点问题

易错点2：平面直角坐标系中的面积问题

易错点3：函数图像中的动点问题

1

知识模块一：平面直角坐标系

平面直角坐标系的定义

平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系.在平面直角坐标系内的点和有序实数对之

间建立了一一对应的关系

知识模块二:点的坐标特征与变换

知识点一：平面直角坐标系中点的坐标特征

各象限内点的坐标特征(1)P(a,b)在第一象限↔a>0,b>0

(2)P(a,b)在第二象限↔a<0,b>0

(3)P(a,b)在第三象限↔a<0,b<0(4)P(a,b)在第四象限↔a>0,b<0

坐标轴上点的坐标特征(1)坐标轴上的点不属于任何象限:

(2)P(a,b)在x轴上↔b=0

(3)P(a,b)在y轴上↔a=0

象限的角平分线上点的坐标特征(1)若P(a,b)在一、三象限的角平分线上,则a=b;

(2)若P(a,b)在二、四象限的角平分线上,则a+b=0

知识点二：图形变换与点的坐标规律

图形变换点的坐标规律

对

称

变关于轴点关于轴的对称点为

换xA(a,b)xB(a,-b)

2

关于y轴点A(a,b)关于y轴的对称点为C(-a,b)

关于原点点A(a,b)关于原点的对称点为D(-a,-b)

左右平移将点P(a,b)向左或向右平移h个单位，对应点坐标为(a-h,b)或(a+h,b)

平

移

变

换

上下平移将点P(a,b)向上或向下平移k个单位，对应点坐标为(a,b+k)或(a,b-k)

知识点三：点到坐标轴的距离

在平面直角坐标系中，已知点P，则

1）点P到轴的距离为；(�,�)

2）点P到x轴的距离为b；

3）点P到原y点O的距离为�P＝.

22

�+�

知识点四：坐标平面内两点间距离的求法（难点）

位置点的坐标距离公式

在同一水平线上；

����

在同一竖直线上�(�,�),�(�,�)�−�；

任意两点M（x�，(�y,�）�)，,�N(（�,x��，)y）��−��

1122（

22

𝑀=�2−�1)+(�2−�1)

知识模块三：坐标方法的简单应用

用坐标表示地理位置的方法

1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向；

3

2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位；

3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称.

知识模块四：函数

知识点一：函数的相关概念

1.函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.

2.函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.

类型自变量x的取值范围.

整式型全体实数；

分式型分母不能为零

偶次根式型使被开方数为非负数的实数

零指数幂、负整数指数幂使底数不为零的实数

混合型各个代数式中自变量取值范围的公共部分

实际问题使实际问题有意义的实数

3.画函数图象的步骤:列表、描点、连线.

4.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a

时的函数值.

5.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.

6.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：

1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在.

2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解.

知识点二：函数的三种表示法及其优缺点

解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示

法叫做解析法.

列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.

图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法.

优点缺点

解析法准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实

4

际问题中有的函数值不一定能用解析式表示

列表法自变量和与它对应的函数值数据一目了然所列对应数值个数有限，不容易看出自变量

与函数值的对应关系，有局限性

图像法形象的把自变量和函数值的关系表示出来图像中只能得到近似的数量关系

考点一：用有序数对表示位置

【典例1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为a,b，那么b,a（）

A．表示ab排a号

B．表示第b排a号位

C．表示b排或a号

D．与a,b不可能代表同一个位置

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】用有序数对表示位置

【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意进行解答即可．

【详解】解：∵电影院中的第a排b号位，简记为a,b，

∴b,a表示第b排a号位，

故选：B．

【典例2】（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的

《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60

步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的

长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为15,16，那

么有序数对记为12,17对应的田地面积为（）

5

A．一亩八十步B．一亩二十步C．半亩七十八步D．半亩八十四步

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】用有序数对表示位置

【分析】根据15,16可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．

本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．

【详解】根据15,16可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，

故12,17对应的是半亩八十四步，

故选D．

【典例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的

位置分别表示为120，4，240，3，按照此方法可以将目标C的位置表示为（）

A．30，1B．210，5C．30，5D．60，2

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】用有序数对表示位置

【分析】本题考查了有序数对的应用．理解题意是解题的关键．

由目标A，B的位置分别表示为120，4，240，3，可知目标C的位置表示为(30°，5)．

6

【详解】解：∵目标A，B的位置分别表示为120，4，240，3，

∴目标C的位置表示为(30°，5)，

故选：C．

【典例4】（2024·江苏盐城·三模）小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声音猜汉字的游戏，若听到“咚

咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“kuo”，则听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表

示的汉字可能为（）

4rkwbe

3thgil

2adyuj

1ocnfx

12345

A．汉B．华C．盐D．音

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】用有序数对表示位置

【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据题意，“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是

“kuo”，表示2,4，4，2，1，1的对应的字母为“kuo”，则“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示

3,2，1，2，3，1对应的字母为“yan”，即可求解，理解题意是解题的关键．

【详解】解：∵“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“kuo”，

∴“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示2,4，4，2，1，1的对应的字母为“kuo”，

∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示3,2，1，2，3，1对应的字母为“yan”，

∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能是：“盐”，

故选：C．

考点二：实际问题中用坐标表示位置

【典例1】（2024·广西南宁·二模）中国阳明文化园部分平面图如图所示，若用(0,0)表示王阳明纪念馆的位

置，用(1,3)表示游客接待中心的位置，则南门的位置可表示为（）

7

A．(2,3)B．(2,3)C．(3,2)D．(3,2)

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】实际问题中用坐标表示位置

【分析】本题考查用坐标表示位置，根据题意直接写出南门位置的坐标即可．

【详解】解：南门的位置是2,3，

故选：A

【典例2】（2024·贵州·模拟预测）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒

汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小星、小红两人也观看了

此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，

建立平面直角坐标系xOy，他们这样描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐标为2,3；②小红：在小

星的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了，则表示小红座位的坐标为．

【答案】2,5

【难度】0.85

【知识点】实际问题中用坐标表示位置

【分析】本题考查坐标确定位置．根据小星座位的坐标为(2,3)，建立平面直角坐标系，进而分别分析得出

答案．

8

【详解】解：∵小星座位的坐标为，

∴建立平面直角坐标系如图，−2,3

∴小红座位的坐标为2,5，

故答案为：2,5．

【典例3】（2024·贵州·模拟预测）如图，小星从点O出发，先向西走400m，再向南走300m到达点M，

如果点M的位置用4,3表示，那么1,2表示的位置是点．

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】实际问题中用坐标表示位置

【分析】本题考查坐标确定位置，根据点在平面直角坐标系中的确定方法解答即可．

【详解】解：∵点M的位置用4,3表示，实际意义为从点O出发，先向西走400m，再向南走300m，

∴网格中一个小正方形边长为100m，

∴1,2表示的位置实际意义为从点O出发，先向东走100m，再向北走200m，对应的是点B，

故答案为：B．

【典例4】（2024·山西朔州·模拟预测）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋

元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系

中，点A2,1，B1,1，则点C坐标为．

9

【答案】3,2

【难度】0.85

【知识点】实际问题中用坐标表示位置

【分析】本题主要考查了点的坐标，根据已知点的坐标，找出原点，建立平面直角坐标系，然后根据点C的

位置，写出点C的坐标．解题关键是熟练掌握根据已知点的坐标，找出坐标原点．

【详解】解：如图所示，根据点A2,1，B1,1，建立坐标系，如图所示：

∴点C坐标为：3,2，

故答案为：3,2．

【典例5】（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标

出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为1,90,2,240，则点C的位置可以表示为．

【答案】3,30

【难度】0.85

10

【知识点】实际问题中用坐标表示位置

【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的

第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，

可得答案．

【详解】解：∵A，B的位置分别表示为1,90,2,240．

∴目标C的位置表示为3,30．

故答案为：3,30

【典例6】（2024·贵州六盘水·一模）如图，小黔与小红在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盘

坐标的1,2上，则小红下的白色第三子的棋盘坐标是．

【答案】6,2

【难度】0.85

【知识点】实际问题中用坐标表示位置

【分析】本题考查的是坐标与图形，根据1,2建立坐标系，再确定小红下的白色第三子的棋盘坐标即可.

【详解】解：如图，

小红下的白色第三子的棋盘坐标是6,2，

故答案为：6,2．

考点三：判断点所在的象限

【典例1】（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小

红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为2,0，

11

0,0，则“技”所在的象限为（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】判断点所在的象限

【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．

【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，

故选A．

【典例2】（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数ym3xn3的图象如图所示，则点P(mn，2n)

所在的象限为()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、判断点所在的象限、求一元一次不等式的解集、不等式的性

质

【分析】由图象经过第一、三、四象限可知k0,b0求出m3,n3，再根据不等式的性质得到

mn0,2n0，即可判断所处象限．

m30

【详解】解：由题意得，，

n30

12

∴m3,n3，

∴n3，

∴mn6，2n6

∴mn0,2n0，

故选：D．

【点睛】本题考查了一次函数图像与系数的关系，解一元一次不等式，点的坐标特征，不等式的性质，熟

练掌握知识点是解题的关键．

【典例3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径

1

画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，

2

两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H2a1,a1，则a．

【答案】2

【难度】0.85

【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理、坐标与图形

【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一

象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案．

【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；

2a1a1，

解得：a2，

故答案为：2．

【典例4】（2024·山东临沂·模拟预测）已知a+b<0，ab0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖

住的点的坐标可能是（）

13

A．a,bB．a,bC．a,bD．a,b

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】坐标与图形、判断点所在的象限

【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限点的坐标特征是解题的关键；

根据a+b<0，ab0，得到a0，

b0，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，据此解答即可；

【详解】ab0，

a、b同号，

a+b<0，

a0，

b0，

A．a,b在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；

B．a，b在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；

C．a，b在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；

D．a，b在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；

故选：B．

3

【典例5】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点Px,y在直线yx4上，坐标x,y是二元一次方程

4

5x6y33的解，则点P的位置在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】代入消元法、判断点所在的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解

3

yx4

【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组4，求

5x6y33

出点P的坐标即可判断．

14

3

yx4

【详解】解∶联立方程组4，

5x6y33

x6

解得1，

y

2

1

∴P的坐标为6,，

2

∴点P在第四象限，

故选∶D．

【典例6】（2024·四川雅安·模拟预测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是

A1,2，B3,4，C2,3，D43,，E2,3从中任选一个点恰好在第二象限的概率是．

1

【答案】

5

【难度】0.65

【知识点】列举法求概率、判断点所在的象限

【分析】本题考查了列举法求概率，第二象限的点坐标的特征．熟练掌握列举法求概率，第二象限的点坐

标的特征是解题的关键．

由题意知，B3,4在第二象限，然后求概率即可．

【详解】解：由题意知，B3,4在第二象限，

1

∴任选一个点恰好在第二象限的概率是，

5

1

故答案为：．

5

【典例7】（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于点，若x，y均为整数，则称点P

y��,�

为“整点”．特别地，当（其中xy0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点P2a4,a3在第

x

二象限，下列说法正确的是（）

A．a3

B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个

C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个

D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、求不等式组的解集

15

【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a

的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用

“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．

【详解】解：∵点P2a4,a3在第二象限，

2a40

∴，

a30

∴3a2，故选项A错误；

∵点P2a4,a3为“整点”，3a2，

∴整数a为2，1，0，1，

∴点P的个数为4个，故选项B错误；

∴“整点”P为8,1，6,2，4,3，2,4，

1121334

∵，，，2

8863442

∴“超整点”P为2,4，故选项C正确；

∵点P2a4,a3为“超整点”，

∴点P坐标为2,4，

∴点P到两坐标轴的距离之和246，故选项D错误，

故选：C．

【典例8】（2024·甘肃·模拟预测）从小到大的三个整数：1，2，3，从中随机抽取一个数作为点P的横坐

标，在余下的两个数中随机抽取一个数作为点P的纵坐标．

(1)请用画树状图或列表的方法写出点P所有可能的坐标．

(2)在所有可能的点P中，求点P落在第二象限的概率．

【答案】(1)见解析

1

(2)

3

【难度】0.65

【知识点】判断点所在的象限、列表法或树状图法求概率

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与直角坐标系中点的坐标特征．注意树状图法与列表法

可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上

完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．

16

（1）首先根据题意画出表格，即可得到P的所有坐标；

（2）然后由表格求得所有等可能的结果与点P落在第二象限的的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】（1）解：由题意知，列表如下：

纵坐标

123

结果横坐标

12,13,1

21,23,2

31,3

2,3

（2）解：共有6种等可能的结果数，其中点P落在第二象限的结果有1,2，1,3，共2个，

21

∴P(点P落在第二象限)

63

考点四：直角坐标系中点的坐标

【典例1】（2024·贵州贵阳·一模）中国象棋趣味浓厚，基本规则简明易懂，而棋子活动的场所，叫作“棋盘”．观

察如图所示象棋盘，以“炮”为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，请

写出“馬”的坐标是．

【答案】1,3

【难度】0.94

【知识点】写出直角坐标系中点的坐标

【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解题意是解题关键．根据题意画出坐标系，进而确定公园

的坐标．

17

【详解】解：如图所示：“馬”的坐标是：1,3．

故答案为：1,3．

【典例2】（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知a，b都是实数，设点Pa，b，若满足3a2b5，则称点P

为“新奇点”．若点M(m1,3m2)是“新奇点”，则M的坐标为．

【答案】5,10

【难度】0.85

【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、写出直角坐标系中点的坐标

【分析】本题考查新定义．根据新定义确定m的值．解题关键是理解新定义．

根据“新奇点”的定义，得方程3(m1)2(3m2)5．求解得出m的值，从而求出点M的坐标，即可求解．

【详解】解：∵点M(m1,3m2)是“新奇点”，

∴3(m1)2(3m2)5．

解得：m4．

∴m15,3m210．

∴点M的坐标为5,10．

故答案为：5,10．

111

【典例3】（2024·四川广元·中考真题）若点Qx,y满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美

xyxy

好点”的坐标．

【答案】2,1（答案不唯一）

【难度】0.85

【知识点】解分式方程、坐标与图形

18

【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以xy后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，

以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键

【详解】解：等式两边都乘以xy，得xy1，

令，则，

�=2�=−1

∴“美好点”的坐标为2，1，

故答案为2，1（答案不唯一）

【典例4】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体ABCDA1B1C1D1，

如图2所示，以顶点A1为原点O，分别以棱A1B1，A1D1，A1A所在的直线为x轴、y轴、z轴，建成的坐

标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系）Oxyz，立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作x,y,z，

称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为A1B13，A1D12,A1A1，我们知道，在平面直角坐标系Oxy

中，点C1的坐标为3,2，由点C1竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点C在立体坐标系中的坐标记

为C3,2,1，由此可知点O和点B的坐标分别记为O0,0,0，B3,0,1．照此方法，请你确定点D在立

体坐标系中的坐标为（）

A．1,0,3B．2,1,0

C．0,2,1D．1,2,1

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标

【分析】本题考查了新定义以及坐标与图形，长方形的性质，先理解题意，得出DD1CC11，

ADBCB1C12，结合点O和点B的坐标分别记为O0,0,0，B3,0,1，然后得出A0,0,1，最后得

D0,2,1，即可作答．

【详解】解：依题意，∵在平面直角坐标系Oxy中，点C1的坐标为3,2，由点C1竖直向上平移1个单

19

位可得到点C，所以点C在立体坐标系中的坐标记为C3,2,1，且长方体的长宽高分别为A1B13，

A1D12,A1A1，

∴DD1CC11，ADBCB1C12，

∵点O和点B的坐标分别记为O0,0,0，B3,0,1，

∴A0,0,1，

∵ADBCB1C12，

∴D0,2,1，

故选：C．

【典例5】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A2，3，点B在x轴的正半轴上，

且OAAB，将△OAB沿x轴向右平移得到ECD，AB与CE交于点F．若CF：EF3：1，则点D的坐标

为．

【答案】7，0

【难度】0.65

【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、等腰三角形的性质和判定、利用平移的性质求解、由平行判断成

比例的线段

EBEF1

【分析】由点A2，3，OAAB，可得B4，0，由平移的性质可知，AB∥CD，EDOB4，则，

BDCF3

可求BD3，ODOBBD7，进而可求点D的坐标．

【详解】解：∵点A2，3，OAAB，

∴B4，0，

由平移的性质可知，AB∥CD，EDOB4，

EBEF1

∴，

BDCF3

解得，BD3EB，

∵EBBD4，

∴BD3，ODOBBD7，

20

∴D7，0，

故答案为：7，0．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例，点坐标等知识．熟练掌握等

腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例，点坐标是解题的关键．

【典例6】（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形OABC中，OA6,OC4,COx60，则点B的

坐标为（）．

A．233,323B．233,233

C．23,23D．233,233

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质求线段长、写出直角坐标系中点的坐标、二次根式

的混合运算

【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点

B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求

出CD23,OD2,AE3,OE33，利用矩形的性质得到AIB30,ABOC4，求出BI2,AI23，

进而求出EIAIAE323,BFOEBI332，即可得到点B的坐标．

【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴

于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则CDOAEOBIABFO90，

∵矩形OABC中，OA6,OC4,COx60，

21

∴AOCOABABC90,ABOC4，

∴AOE180AOCOCD30，

∴OAE90AOE60，

同理，ABI60，

∴在RtOCD中，

ODOC·cos602,CDOC·sin6023，

∴在RtAOE中，

AEOA·cos603,OEOA·sin6033，

∴在RtABI中，

BIAB·cos602,AIAB·sin6023，

∵BFOFOEIEO90，

∴四边形IEOF是矩形，

∴IFOE33

∴EIAIAE323,BFOEBI332，

∵点B在第二象限，

∴点B的坐标为:233,323

故选：A．

考点五：点坐标规律探索

【典例1】（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将点P1，3绕点A2，0顺时针旋转90后

得到点P1，再将点P1绕点A顺时针旋转90后得到P2，再将点P2绕点A顺时针旋转90后得到P3，依此类推，

则P2023的坐标是（）

A．5，1B．3，3C．1，1D．1，3

【答案】C

22

【难度】0.85

【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA

或者AAS）、点坐标规律探索

【分析】本题考查坐标规律探索，全等三角形的判定与性质；

≌

过点P作PDx轴，过点P1作P1Ex轴，根据条件证明P1EAADPAAS，即可求得P15,1，同理可

得：P23,3，P31,1，即可求解．

【详解】过点P作PDx轴，过点P1作P1Ex轴，如图，

，，

∵点P13绕点A20顺时针旋转90后得到点P1

∴P1APA，PAP190

∴EAP1PAD90

∵EAP1APE90

∴PADAPE

∵P1EAPDA90

≌

∴P1EAADPAAS

∵P1，3，A2，0

∴AEPD3，OD1，OA2

∴ADP1E1

∴OEAEOA5

∴P15,1；

，

同理可得：P23,3，P31,1，P413…….

∵20234=505.....3

∴P20231,1

23

故选：C．

【典例2】（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2

2

米，圆心角为120的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒

3

米的速度沿曲线向右运动，则在第2024秒时点P的纵坐标为（）

A．2B．1C．0D．1

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】点坐标规律探索、求弧长

【分析】本题考查弧长的计算、点的坐标的特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根

据题意和图形，可以求得弧AB的长，然后由图可知，每走两个弧AB为一个循环，然后即可得到在第2024

秒时点P的纵坐标．

12024

【详解】解：l（米）；

AB1803

42

∵2（秒），

33

∴每4秒一个循环，

∵20244506，

∴在第2024秒时点P的纵坐标为0，

故选：C．

【典例3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标

为3,0，△OAB是等边三角形，点B坐标是，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方

1,0

向为OMNPOM）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是

；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的

2,02,0

31

坐标是；如此下去，，则的坐标是．

3,……A2024

22

24

【答案】1,3

【难度】0.65

【知识点】点坐标规律探索、等边三角形的性质、根据正方形的性质求线段长

【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求

出点A的对应点A1，A2，，A12的坐标，发现规律即可解决问题．

【详解】解：正方形OMNP顶点M的坐标为3,0，

OMMNNPOP3,

△OAB是等边三角形，点B坐标是1,0，

等边三角形高为3，

2

由题知，

A1的坐标是2,0；

A2的坐标是2,0；

31

的坐标是；

A33,

22

继续滚动有，A4的坐标是3,2；

A5的坐标是3,2；

53

的坐标是；

A6,3

22

A7的坐标是1,3；

A8的坐标是1,3；

25

35

的坐标是；

A9,

22

A10的坐标是0,1；

A11的坐标是0,1；

13

的坐标是；

A12,

22

A13的坐标是2,0；不断循环，循环规律为以A1，A2，，A12，12个为一组，

2024121688，

A2024的坐标与A8的坐标一样为1,3，

故答案为：1,3．

【典例4】．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，

A69,3，A710,0，A811,3…，依此规律，则点A2024的坐标为．

【答案】2891,3

【难度】0.65

【知识点】求一个数的算术平方根、点坐标规律探索

【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知7个点

坐标的纵坐标为一个循环，A7n的坐标为10n,0，据此可求得A2024的坐标．

【详解】解：∵A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，A710,0，A811,3…，，

∴可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，A7n的坐标为10n,0，A7n110n1,3

∵202472891，

∴A2023的坐标为2890,0．

26

∴A2024的坐标为2891,3

故答案为：2891,3．

【典例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半

3△△△

轴上，点B1、B2、B3…在直线yxx0上．若点A1的坐标为，且A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4…

3

2,0

均为等边三角形．则点B2024的纵坐标为．

【答案】220233

【难度】0.4

【知识点】点坐标规律探索、正比例函数的性质、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算

3

【分析】过点A1作A1Mx轴，交直线yxx0于点M，过点B1作B1Cx轴于点C，先求出

3

A1OM30，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得A1B1OA12，然后解直角三角形可得B1C

的长，即可得点B1的纵坐标，同样的方法分别求出点B2，B3，B4的纵坐标，最后归纳类推出一般规律得到

Bn的纵坐标，由此即可算出点B2024的纵坐标．

3

【详解】解：如图，过点A1作A1Mx轴，交直线yxx0于点M，过点B1作B1Cx轴于点C，

3

A12,0，

OA12，

232323

当时，，即M2,，，

x2yA1M

333

A1M3

tanA1OM，

A1O3

27

A1OM30，

A1B1A2是等边三角形，

A2A1B160，A1A2A1B1，

OB1A130A1OM，

A1B1OA12，

33

BCABsin602，即点B1的纵坐标为2，

11122

23

同理可得：点B2的纵坐标为2，

2

33

点B3的纵坐标为2，

2

43

点B4的纵坐标为2，

2

n3n1

归纳类推得：点Bn的纵坐标为223（n为正整数），

2

202412023

则点B2024的纵坐标为2323，

故答案为：220233．

【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，

正确归纳类推出一般规律是解题关键．

△△△△

【典例6】（2024·宁夏银川·二模）如图，A1A2A3,A4A5A6,A7A8A9,A3n2A3n1A3n（n为正整数）均为

等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，2n，顶点A3,A6,A9,A3n均在y轴上，点O是所有等边三

角形的中心，点A32的坐标为．

10310

【答案】10,/10,3

33

【难度】0.65

【知识点】点坐标规律探索、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算

28

【分析】此题考查了点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质和解直角三角形求出点A1、A4