高三一轮复习课件数学7.1基本立体图形直观图表面积和体积

7.1

基本立体图形、直观图、表面积和体积第七章课标要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.备考指导本部分的重点是空间几何体的体积与表面积计算、球的截面性质,重难点是与球的切、接有关的几何体问题.复习时要注意观察所给几何体的结构特征,对球的外接和内切问题要建立相关模型,运用相关公式和结论求解.对直观想象和数学运算素养考查较多.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.空间几何体(1)定义如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.(2)空间几何体的分类及相关概念注意:一个多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱.2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

问题思考1(1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,由这些面所围成的几何体一定是棱柱吗?不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“相邻两个四边形的公共边都互相平行”,如图①所示.②

(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗?不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图②所示.①温馨提示1.常见的几种四棱柱之间的转化关系

2.(1)正棱锥的各侧棱长相等,各侧面都是全等的等腰三角形,斜高(各侧面等腰三角形底边上的高)都相等;(2)正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的正投影(底面正多边形的边心距,也是其内切圆的半径)组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的正投影(底面正多边形的外接圆半径)也组成一个直角三角形.3.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱、圆锥、圆台问题思考2(1)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗?(2)类比圆柱、圆锥的形成过程,圆台可以由平面图形旋转而成吗?不一定.当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,它是由两个同底面圆锥组成的几何体.圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴,其他三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体.(2)球①球的结构特征②球的截面性质a.用一个平面去截一个球,截面是圆面,球心和截面圆心的连线垂直于截面.b.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系:4.立体图形的直观图(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤①建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.②平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.③长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.(2)空间几何体直观图的画法①与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z'轴.②直观图中平面O'x'y'表示水平平面,平面O'y'z'和O'x'z'表示竖直平面.③已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.④成图后,去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

6.柱、锥、台、球的表面积与体积公式【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)棱台是用一个平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分.(

)(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.(

)(3)如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.(

)(4)在用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则∠A在直观图中的度数为45°.(

)××××2.如图,边长为2cm的正方形O'ABC是某一个图形的直观图,则原图形的周长是(

)

A.14cm B.15cm C.16cm D.17cmC3.如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被截去一部分(虚线部分),其中EH∥A'D',截去的几何体是三棱柱,则剩下的几何体是

.

五棱柱

4.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为

.

5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为

.

1第二环节关键能力形成能力形成点1空间几何体的结构特征例1

(1)下列结论正确的是(

)A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线DA项错误,如图①,该几何体是由两个同底的三棱锥叠放在一起构成的组合体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B项错误,如图②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,则所得的几何体都不是圆锥;C项错误,若该棱锥是六棱锥,则由题设知,它是正六棱锥,易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.故本题选D.①

②(2)(2022北京,9)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T={Q∈S|PQ≤5},则T表示的区域的面积为(

)B解题心得1.要想把握几何体的结构特征,必须通过多角度、全方面地去分析,在观察实物中,提高空间想象能力.2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,依据题意判定.3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.对点训练1(1)(多选)下列命题是真命题的是(

)A.底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体B.底面是矩形的平行六面体是长方体C.四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形D.棱台的侧棱延长后必交于一点ACD命题A项中符合平行六面体的定义,故是真命题;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故B项中命题是假命题;C项中命题是真命题,如图,PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明∠PAB,∠PCB均为直角,这样四个侧面都是直角三角形;由棱台的定义知D项中命题是真命题.(2)将数字1,2,3,4,5,6写在每一个骰子的六个表面上,做成6枚一样的骰子.分别取3枚同样的骰子叠放成如图所示的两个柱体,则柱体①和②的表面(不含下底面)数字之和分别是(

)A.47,48 B.47,49C.49,50 D.50,49A由题意可知每个骰子相互平行的两个面上的数字间的关系为1与6相对,3与4相对,2与5相对.所以柱体①的表面数字之和为(5+1+6+3+4)+(2+5+6+1)+(1+6+3+4)=47;柱体②的表面数字之和为(6+2+5+3+4)+(2+5+6+1)+(2+5+3+4)=48.故选A.能力形成点2空间几何体的直观图例2

(1)水平放置的△ABC的直观图如图所示,D'是△A'B'C'中B'C'边的中点,且A'D'∥y'轴,A'B',A'D',A'C'三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,则(

)A.AB>AD>AC B.AC>AD>ABC.AB=AC>AD D.AD>AB>ACC因为A'D'∥y'轴,所以在原图形中有AD⊥BC.又D'为B'C'的中点,所以AD为BC边上的中线,所以△ABC为等腰三角形.又AD为BC边上的高,所以AB=AC>AD.(2)如图,已知△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则△ABC的面积为

.

解题心得1.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图形中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图形中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.2.把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜二测画法,使平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段长度变成原来的2倍.3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:对点训练2已知水平放置的正三角形ABC的边长为a,则它的直观图的面积为

.①

②能力形成点3空间几何体的表面积和体积命题角度1空间几何体的表面积例3

(1)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.某鲁班锁玩具的直观图如图所示,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为(

)A(2)如图所示,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AD∥BC,BC=2CD=2AD=2,若将该直角梯形绕BC边所在直线旋转一周,则所得的几何体的表面积为

.

根据题意可知,所得几何体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示.则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和,即表面积为命题角度2空间几何体的体积C如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆.设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,(2)(2022全国Ⅰ,理9)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(

)C(3)如图,六角螺帽毛坯的制作原理是将一个正六棱柱挖去一个圆柱而成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是

cm3.

(4)如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,则此几何体的体积为

.

96(方法一:分割法)如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.(方法二:补形法)将原几何体补成一个直三棱柱,使AA'=BB'=CC'=8.解题心得1.求解几何体表面积的类型及方法

求多面体的表面积将它们沿着棱“剪开”并展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积从旋转体的形成过程及其结构特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常先将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,再求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,最后通过求和或作差,求出所给几何体的表面积2.求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解等体积法一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体或者把不规则的几何体补成规则的几何体,便于计算其体积对点训练3(1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图),四边形ABCD为矩形,棱EF∥AB.若此几何体中,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则此几何体的表面积为(

)B(2)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”,如图所示.该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱的高为底面边长的2倍,若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为

,则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为(

)D(3)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为

.能力形成点4与球有关的切接问题例5

(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为(

)C(2)(多选)(2023新高考Ⅰ,12)下列物体中,能被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(

)A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体ABD图(1)图(2)图(3)①

图(3)②(3)已知正三棱锥的高为1,底面边长为,内有一个球与四个面都相切,则棱锥的内切球的半径为

.

如图,过点P作PD⊥平面ABC于点D,连接AD并延长交BC于点E,连接PE,由题意可知,D为正三角形ABC的中心.解题心得解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面,使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系,达到空间问题平面化的目的.对点训练4(1)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(

)A.64π

B.48π

C.3