《数学》课件-第1章

第1章集合1.1集合1.2集合间的关系1.3集合的运算1.4充要条件1.1集合1.1.1元素与集合

1.集合与元素

我们把具有某种确定属性的对象所组成的总体叫做集合，通常用大写的英文字母A、B、C…来表示；把组成某一集合的各个对象叫做这个集合的元素，通常用小写英文字母a、b、c…来表示.2.元素与集合之间的关系（1）如果对象a具有集合A的确定属性，那么a是集合A的元素，记为a∈A,读作“a属于A”；（2）反之，如果对象a没有集合A的确定属性，那么a不是集合A的元素，记为a

A，读作“a不属于A”.3.数集由数组成的集合叫数集，常用的数集用特定的字母来表示，例如：（1）全体非负整数所组成的集合叫自然数集，用N表示；（2）全体正整数所组成的集合叫正整数集，用N*表示；

（3）全体整数所组成的集合叫整数集，用Z表示；（4）全体有理数所组成的集合叫有理数集，用Q表示；（5）全体实数所组成的集合叫实数集，用R表示.4.有限集与无限集含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集.

我们规定：不含任何元素的集合叫空集，记为.

※空集不含有任何元素，所以对任何元素a，都有a.

1.1.2集合的表示法

1.列举法把属于集合的元素一一列举出来，写在括号{}内，每个元素只写一次，且不考虑元素的排列顺序，这样的集合表示方法叫做列举法.

2.描述法把集合中元素所具有的确定属性描述出来，写在括号{}内，这样的集合表示方法叫描述法.

描述法的另一种形式是：在括号{}内，先写上该集合内所含元素的一般形式，再画上一条竖线，在竖线的右边写上该集合元素所具有的确定属性.1.2

集合间的关系1.2.1集合的包含关系

1.子集

定义

对于两个集合A和B，如果集合A的任何一个元素都属于集合B，则称集合A为集合B的子集，记作AB,读作“A包含于B”，或BA,读作“B包含A”.※空集是任何集合的子集，即对任何一个集合A，有A.2.真子集

定义

对于两个集合A和B，如果A是B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A，则集合A为集合B的真子集，记作AB,读作“A真包含于B”，或BA,读作“B真包含A”.※真子集间的包含关系也具有传递性，即若AB且BC，则AC.文氏（Venn）图：AAB1.2.2集合的相等定义对于两个集合A和B，如果AB且B

A，则称集合A和B相等，记作A=B,读作“集合A等于B”.※判定集合A=B，既要判定集合A中的任一元素都属于B，又要判定B中的任一元素都属于A.1.3集合的运算1.3.1交集定义设A与B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素所组成的集合叫做集合A和集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即

A∩B={x|x∈A且x∈B}.集合A与集合B的交集共有四种情况：ABA∩BAB（1）（2）（3）（4）AAB

对任何集合A与B，都有A∩B既是A的子集也是B的子集，即A∩B

A且A∩B

B.

对于任何集合A有：A∩A=A，A∩

=

.

求集合交集的运算叫做集合的交运算，集合的交运算满足交换律，即A∩B=B∩A.1.3.2并集定义设A与B是两个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A和集合B的并集，记为A∪B，读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.集合A与集合B的并集共有四种情况：ABAB（1）（2）（3）（4）BAAB

对于任何集合A与B都有：集合A是A∪B的子集；同时，集合B也是A∪B的子集，即A

A∪B且B

A∪B.

对于任何集合A有A∪A=A，A∪

=A.

求集合并集的运算叫做集合的并运算，集合的并运算也具有交换律，即A∪B=B∪A.1.3.3全集与补集

1.全集

定义在研究某些集合时，这些集合常常都是一个给定集合的子集，这个给定集合叫做全集，记为I.

因为所研究的集合A

I,所以A∩I=I∩A=A，A∪I=I∪A=I.

对任何全集I，有

I,所以I∩

=

∩I=

,I∪

=

∪I=I.2.补集

定义设全集为I，集合A是I的子集，则由I中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在全集I中的补集（简称A补），记为，读作“A在I中的补集”，即

={x|x∈I且x

A}.IAA∪=I，A∩=

.1.4充要条件1.4.1命题与推出能够唯一地判断真假的陈述句叫做命题，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.

一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能既真又假.在今后的讨论中，我们把一些含有字母，如：“x>3”、“a2=b2”这样的陈述句作为命题来看待.

命题通常用小写英文字母p、q、r…来表示.1.4.2充分条件、必要条件

1.充分条件、必要条件对于两个命题p、q，如果命题p为真时，命题q也为真，即p

q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.

2.充要条件对于两个命题p、q，若p

q成立，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件.集合与元素的关系集合中元素的三个特征：确定性、无序性、互异性集合的表示法：列举法、描述法属于不属于集合的概念子集真子集集合的相等交集A∩B={x|x∈A且x∈B}