大学数列压轴题目及答案

大学数列压轴题目及答案数列是数学中的一个重要概念，特别是在高等数学中，数列问题常常作为压轴题目出现。以下是一些典型的大学数列压轴题目及其答案：题目1：等差数列求和题目描述：设等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=1\)，公差\(d=2\)，求前\(n\)项和\(S_n\)。解答：等差数列前\(n\)项和的公式为：\[S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)\]将\(a_1=1\)和\(d=2\)代入公式中，得到：\[S_n=\frac{n}{2}(2\cdot1+(n-1)\cdot2)=\frac{n}{2}(2+2n-2)=\frac{n}{2}\cdot2n=n^2\]答案：\[\boxed{n^2}\]题目2：等比数列求通项题目描述：设等比数列\(\{b_n\}\)的首项\(b_1=3\)，公比\(q=\frac{1}{3}\)，求第\(n\)项\(b_n\)。解答：等比数列的通项公式为：\[b_n=b_1\cdotq^{n-1}\]将\(b_1=3\)和\(q=\frac{1}{3}\)代入公式中，得到：\[b_n=3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=3\cdot\frac{1}{3^{n-1}}=\frac{3}{3^{n-1}}=3^{2-n}\]答案：\[\boxed{3^{2-n}}\]题目3：数列极限题目描述：设数列\(\{c_n\}\)定义为\(c_n=\frac{n+1}{n}\)，求当\(n\)趋于无穷大时的极限。解答：当\(n\)趋于无穷大时，\(c_n\)的极限可以通过计算得到：\[\lim_{n\to\infty}c_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1\]答案：\[\boxed{1}\]题目4：递推数列求通项题目描述：设数列\(\{d_n\}\)满足递推关系\(d_1=2\)，\(d_{n+1}=2d_n-1\)，求通项\(d_n\)。解答：首先，我们猜测\(d_n\)的形式可能为\(d_n=2^n+k\)，其中\(k\)是常数。将\(d_n=2^n+k\)代入递推关系中，得到：\[2^{n+1}+k=2(2^n+k)-1\]\[2^{n+1}+k=2^{n+1}+2k-1\]通过比较系数，我们可以得到\(k=1\)。因此，通项公式为：\[d_n=2^n+1\]答案：\[\boxed{2^n+1}\]题目5：数列的单调性题目描述：设数列\(\{e_n\}\)定义为\(e_n=\frac{n}{n+1}\)，判断该数列的单调性。解答：要判断数列的单调性，我们可以计算相邻两项的差：\[e_{n+1}-e_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\]由于\(\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0\)对所有\(n\geq1\)成立，因此数列\(\{e_n\}\)是单调递增的。答案：\[\boxed{\