因式分解解分式方程三角形中的计算特殊四边形中的计算一元二次方程函数与几何综合填空题-2025年中考数学冲刺抢分押题秘籍（广州专用）

PAGE1猜押03广东广州卷中考数学11-16题（填空题）猜押考点1年广州真题考情分析押题依据难度因式分解2022年广东省卷第12题2022年考因式分解，2023年考分式方程，2024年考不等式解集代数运算题占比高，2024年第12题结合物理电阻公式，体现跨学科命题易解分式方程2023年广东省卷第12题2022年考因式分解，2023年考分式方程，2024年考不等式解集代数运算题占比高，2024年第12题结合物理电阻公式，体现跨学科命题易三角形中的计算2024年广东广州卷第13题2022年考勾股定理，2023年考三角函数，2024年考菱形面积，2025年可能考查特殊三角形性质。几何计算注重实际应用，2024年第7题以潜水艇"掉深"为背景，凸显物理与数学的结合易特殊四边形中的计算2024年广东广州卷第14题2024年第14题考查了新定义型解一元二次方程考查一元二次方程根与系数的关系。中一元二次方程2024年广东广州卷第15题2024年第14题考查了新定义型解一元二次方程考查一元二次方程根与系数的关系。中函数与几何综合2024年广东广州卷第16题2022年考二次函数顶点，2023年考几何动点，2024年考反比例函数面积，2025年可能考查函数与几何的交点问题。填空题压轴题注重思维深度，2024年第16题考查方程思想，强调逻辑推理难题型一因式分解1．（2025·广东广州·一模）分解因式：．【答案】【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查的知识点是综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是熟练掌握因式分解的方法．直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：原式．故答案为：．2．（2025·广东梅州·二模）在实数范围内因式分解：．【答案】【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键；先提取公因式，再运用公式法因式分解.【详解】解：故答案为：．3．（2025·广东河源·一模）因式分解：．【答案】【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查了因式分解提公因式法，先确定公因式，然后提取即可．熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．4．（2025·广东东莞·模拟预测）因式分解：．【答案】【知识点】完全平方公式分解因式【分析】本题考查了因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．【详解】解：，故答案为：5．（2025·广东清远·一模）分解因式：．【答案】【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是关键．按照提公因式法分解法进行分解因式即可．【详解】解：故答案为：．6．（2025·广东江门·一模）因式分解：．【答案】【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是变形；式子变形后提取公因式，再把另一个因式用平方差公式分解即可．【详解】解：原式；故答案为：．7．（2025·山东聊城·一模）分解因式：．【答案】【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查了因式分解，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可．【详解】解：，故答案为：．8．（2025·广东梅州·一模）因式分解：．【答案】【知识点】十字相乘法【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．9．（2025·湖南永州·一模）因式分解：．【答案】【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．10．（2025·广东江门·一模）已知实数，满足，则的值为．【答案】72【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式【分析】本题考查了求代数式的值．将变形为，整体代入计算即可得出答案．【详解】解：，，故答案为：．题型二解分式方程11．（2025·广东广州·一模）方程的解为．【答案】【知识点】解分式方程（化为一元一次）【分析】本题考查解分式方程，先去分母化为整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解．熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．【详解】解：去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，化系数为1，得，经检验，是原分式方程的解，故答案为：．12．（2025·广东河源·一模）方程的解为．【答案】5【知识点】解分式方程（化为一元一次）【分析】本题主要考查了解分式方程，把分式方程化成整式方程，解方程求出，再代入进行检验即可．解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤．【详解】解：，，解得，检验：当时，，原方程的解为：，故答案为：5．13．（2025·河南周口·一模）分式方程的解为．【答案】【知识点】解分式方程（化为一元一次）【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．【详解】解：，，解得：，经检验是原方程的解；故答案为：．14．（2025·河南漯河·模拟预测）分式方程的解是．【答案】【知识点】解分式方程（化为一元一次）【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先将分式方程化为整式方程，再解一元一次方程，最后检验即可．【详解】解：方程两边同乘，得，解得，经检验，是原分式方程的解，故答案为：．15．（2025·北京·模拟预测）方程的解为．【答案】【知识点】解分式方程（化为一元一次）【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验，时，，分式方程的解为，故答案为：．16．（2025·山东济南·一模）代数式和代数式的值相等，则．【答案】1【知识点】解分式方程（化为一元一次）【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可．【详解】解：由题可得：，去分母得，，解得，，检验：当时，，∴是所列方程的根，故答案为：1．17．（2025·湖南永州·二模）分式方程的解为．【答案】【知识点】解分式方程（化为一元一次）【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可根据分式方程解法进行求解．【详解】解：解得：，经检验：是原方程的解；故答案为．18．（2025·北京石景山·一模）方程的解为．【答案】【知识点】解分式方程（化为一元一次）【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法，先把原分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．掌握解分式方程的方法是解题的关键．【详解】解：方程两边同时乘，得，去括号，得，解得：，检验：把代入，∴分式方程的解为．故答案为：．19．（2025·北京平谷·一模）方程的解为．【答案】【知识点】解分式方程（化为一元一次）【分析】此题考查了解分式方程．去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可．【详解】解：，去分母得到，，解得，经检验，是分式方程的解，故答案为：．20．（2025·山东东营·一模）若关于x的分式方程有增根，则m的值是．【答案】3【知识点】根据分式方程解的情况求值【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m的值即可．【详解】解：，去分母，得：，∵方程有增根，∴，∴，∴，∴；故答案为：3题型三三角形中的计算21．（2025·广东广州·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是．【答案】15【知识点】角平分线的性质定理【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵是的角平分线，，∴，∴，故答案为：15．22．（2024·广东广州·一模）如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，，则的长为．【答案】3【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．先证明点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，进而求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴∴,∴点是的中点，，D，E分别是，边上的中点，，，故答案为：3．23．（2024·广东广州·二模）如图所示，在等腰中，延长边到点D，延长边到点E，连接，恰有．则．【答案】/100度【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形性质和判定证明【分析】过点D作，且使，连接、，则四边形时平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再利用判定，根据全等三角形的性质可得，从而可推出为等边三角形，设，则，根据三角形内角和定理可分别表示出，根据等边三角形的性质不难求得的度数．【详解】解：过点D作，且使，连接、，则四边形是平行四边形，，，，，，，在和中，，，，，为等边三角形，设，则，，，，，，，，即，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．24．（2024·广东广州·二模）如图，D为斜边上的中点，E为的中点，若，，则．【答案】3【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题【分析】此题考查了勾股定理和三角形中位线，根据勾股定理求出，再由三角形中位线定理求出即可．【详解】解：∵中是斜边，，，∴，∵D为斜边上的中点，E为的中点，∴是的中位线，∴，故答案为：325．（2024·广东广州·一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，，则高为．（参考数据：，，）【答案】10.2【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三线合一【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形函数的应用是解题关键．首先根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形函数计算的长度即可．【详解】解：∵，，为边上的高，∴，∵，∴在中，可有，∴．故答案为：10.2．26．（2024·广东广州·三模）如图，中，，，点P为边上一点，则线段长的范围是．【答案】【知识点】三线合一、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理和等腰三角形的性质，过点A作交于点D，则有，，求得和，过点B作交于点E，利用余弦求得，利用勾股定理求得,结合线段长最短为点B到的距离，最长为即可得到答案．【详解】解：过点A作交于点D，如图，∵，，∴，，，∴，，过点B作交于点E，则，解得，在中，∵线段长最短为点B到的距离，最长为，∴，故答案为：．27．（2024·广东广州·二模）中，，，点D是边的中点，把点D绕点B逆时针旋转得到点E，连接，则线段的最小值是________．【答案】/【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解【分析】本题考查了图形的旋转，圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系求最值，作出辅助线，构造三角形证明全等，利用三角形三边关系是解题的关键．取中点，逆时针旋转到，连接，为三角形的中位线，根据中位线性质可得，利用旋转可得和都为等边三角形，由此可证，得到，在中，，即，将看成固定点，点的轨迹是半径为，以为圆心的圆，在的运动过程中，当共线时，取得最小值，而，故点在以为直径，为圆心的圆上，根据圆周角定理，，利用勾股定理可求，由此可求得线段的最小值．【详解】解：取中点，逆时针旋转到，连接，如图所示，

点，分别为中点，，旋转到，逆时针旋转到，，，，和都为等边三角形，，，，又，，，，在中，，即，若将看成固定点，点的轨迹是半径为，以为圆心的圆，在的运动过程中，当共线时，取得最小值，如下图所示，

都为等边三角形，，点在以为直径，为圆心的圆上，根据圆周角定理，，，此时，．故答案为：．28．（2024·广东广州·一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为．【答案】【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形【分析】将绕点顺时针旋转得到，得出是等边三角形，根据得出，进而勾股定理求得，即可求解．【详解】解：如图所示，∵为等边三角形，将绕点顺时针旋转得到，则∴，∴是等边三角形，∵∴∴，过点作于点∵∴∵，∴在中，∴解得：（负值舍去）∴故答案为：．29．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．

（1）外接圆的直径的最小值是；（2）内切圆的半径的最大值是．【答案】//0.2【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键．（1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解；（2）令，，,内切圆半径为，则，由相似三角形可得，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，进而即可求解【详解】解：（1）为直角三角形，外接圆直径为斜边的长，当时，作为外接圆的直径最小，如图，，，，，，设，则，，解得：，，故答案为：

（2）令，，,内切圆半径为，则，，，，，，，即，∴，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴故答案为：30．（2025·广东广州·一模）如图，在中，，，点是平面内一点，且．过点作于点．①若，则的长为；②当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为．【答案】34【知识点】切线的性质定理、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）根据题意识别出点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当与圆相切于点，且在△外部时，最大，最大，由勾股定理可求解．【详解】解：①，，故答案为：3；②，，点是在以为直径的圆上运动，，且是绕点旋转，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最大，由题意可得：，四边形为圆的内接四边形，，，，，，，，，，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线．题型四特殊四边形中的计算31．（2025·广东广州·一模）如图，在矩形ABCD中，若，则线段的长为．【答案】【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形【分析】根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，由，得，根据勾股定理得到．本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．32．（2025·广东广州·一模）如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是．【答案】/度【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题【分析】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据菱形性质，证明，结合全等三角形性质和判定，折叠的性质推出，再利用三角形内角和定理求解，即可解题．【详解】解：四边形是菱形，，，，，，由折叠的性质可知，，，，故答案为：．33．（2025·广东广州·一模）如图，在正方形纸片中，，在正方形中剪下一个扇形和一个圆形，点E在上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为．（结果保留π）【答案】【知识点】求扇形面积、求圆锥底面半径、根据正方形的性质求角度、求其他不规则图形的面积【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了正方形的性质和扇形的面积公式．先根据正方形的性质和扇形面积公式求出扇形的面积，再设围成圆锥的底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长即可求出r，再用正方形的面积减去扇形的面积和圆的面积即可．【详解】解：∵正方形，∴，∴扇形的面积为，设围成圆锥的底面圆的半径为r，则，解得：，∴纸片剩下部分（阴影部分）的面积为．故答案为：．34．（2024·广东广州·二模）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线上的点G处（不与B，D重合），折痕为，若，则点E到的距离为．【答案】【知识点】折叠问题、解直角三角形的相关计算、勾股定理与折叠问题、利用菱形的性质求线段长【分析】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．作于H，，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，设，则，在中，，，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作于H，由折叠的性质可知，，由题意得，，四边形是菱形，∴，，∴为等边三角形，∴，设，则，在中，，，∴在中，，即，解得，，∴，故答案为：35．（2025·广东广州·一模）如图，在矩形中，，，是边的中点，是射线上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是．【答案】4【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、两点之间线段最短【分析】连接，由四边形是矩形得，而，，所以，求得，由折叠得，因为，所以，求得的最小值是4，于是得到问题的答案．【详解】解：连接，∵四边形是矩形，，，是边的中点，∴，，∴，∵将沿所在直线折叠得到，∴，∵，∴，∴，∴的最小值是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．36．（2025·广东广州·一模）如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接．（1）当时，则；（2）在运动的过程中，的最小值为．【答案】【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解【分析】（1）旋转得到，勾股定理结合锐角三角形函数得到，进而推出，勾股定理求出的长即可；（2）过点作线段，使且，证明，得到，进而得到点在垂直于的直线上，作交于点，则即为的最小值，进行求解即可．【详解】解：（1）线段绕着点顺时针旋转得到，，在矩形中，，∴，∴，，，，即，在中，；故答案为：．（2）过点作线段，使且，，∵，，∴点在垂直于的直线上，如图，作交于点，则即为的最小值，作交于点．则：四边形是矩形，，，∴，在中．，，；故的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，确定点的轨迹，是解题的关键．37．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为．当为直角三角形时，的长为．【答案】8或5【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接，则，当在上时，取最小值，即可求解；分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案；【详解】解：连接，在矩形中，，，∴，，∵点是边上的中点，∴，∴，∵翻折，∴，∴∵，∴当在上时，取最小值，最小值为；∵为直角三角形，当时，∵点N是边上的中点，，∴，∵，∴点B的对应点不能落在所在直线上，∴，不存在此类情况；当时，如图所示，由折叠性质可得，，∴；当时，如图所示∵，∴、N、C三点共线，设，则，∴，解得：，综上所述的长为或5．故答案为：8；或5．38．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，

（1）当，则（2）当最大时，【答案】3【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形【分析】①根据矩形的性质和勾股定理即可求解；②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，先证明，继而，因此，故的最大值转化为的最大值，由，知点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，由，故当三点共线时，取得最大值为18，故．【详解】解：①∵，，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴由勾股定理得：，，∴，故答案为：；②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，

∵四边形是矩形，∴，∵点O为中点，∴，∴由勾股定理得，∵，∴∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴∵∴∴，∴，∴，∴的最大值转化为的最大值，∵，∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，∵，∴当三点共线时，取得最大值为18，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造相似三角形是解决本题的关键．39．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，垂足为．（1）若，则；（2）若，点、分别在，上，则的最小值为．【答案】【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称的应用．（1）由勾股定理可求的长，由面积法可求的长；（2）在中，利用三角形相似可求得、的长，设点关于的对称点，连接，可证明为等边三角形，当时，则最小，所以当时最小，从而可求得的最小值等于的长．【详解】解：（1），，，，，，故答案为：；（2）如图，如图，设点关于的对称点为，连接，，设，则，四边形为矩形，，，，，，，即，，在中，由勾股定理可得，即，解得，，，如图，设点关于的对称点为，连接，，则，，是等边三角形，，当、、三点在一条线上时，最小，又垂线段最短可知当时，最小，，故答案为：．40．（2025·广东广州·模拟预测）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．（1）若点N在边上，且，则（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为．【答案】/【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解；②记与交于点K，可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故．【详解】解：①连接，由题意得，，∵，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，，∴∴，故答案为：；②记与交于点K，如图：∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，同理可证：，∴，，在中，由勾股定理得，由题意得：，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，由题意得，而，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．题型五一元二次方程41．（2025·广东广州·一模）如果关于的方程的一个根为，则另一根为．【答案】【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是解题的关键．根据求解，即可解题．【详解】解：关于的方程的一个根为，又，另一根为，故答案为：．42．（2025·广东广州·一模）若是关于的方程的解，则的值为．【答案】2024【知识点】由一元二次方程的解求参数【分析】此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键要明确：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程求出的值，代入计算即可求出值．【详解】解：把代入方程得：，即，，故答案为：2024．43．（2025·广东深圳·二模）是方程的根，则式子的值为．【答案】2027【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，再根据计算求解即可．【详解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴，故答案为：．44．（2025·广东江门·一模）设是方程的一个实数根，则的值为．【答案】2025【知识点】由一元二次方程的解求参数【分析】本题主要考查一元二次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解及代数式的值是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：，∴；故答案为2025．45．（2025·广东东莞·模拟预测）若m，n为一元二次方程的两个根，则．【答案】1【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及求代数式的值，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，可得，，再代入，即可求解．【详解】解：∵是一元二次方程的两根，∴，，∴．故答案为：1．46．（2025·广东惠州·一模）已知关于的两个实数根，满足两根之和等于4，两根之积等于，求的值．【答案】8【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，两根之和，两根之积，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，求出，代入计算即可得解．【详解】解：设为方程的两个实数根，则，即，∴，故答案为：．47．（2025·广东广州·模拟预测）点既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上，则以为根的一元二次方程为．【答案】（答案不唯一）【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征．将P点代入反比例函数解析式中，可得出m、n的乘积；将P点坐标代入一次函数的解析式中，可得出m、n的和；根据韦达定理即可求出以为根的一元二次方程．【详解】解：点在反比例函数的图象上，，；点在一次函数的图象上，，，以为根的一元二次方程可以为：．故答案为：（答案不唯一）．48．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为．【答案】6【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可．【详解】解：方程的解为、，，，∴．故答案为：6．49．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为．【答案】或19/19或【知识点】新定义下的实数运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元二次方程——直接开平方法【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可．【详解】解：当时，，∴，当时，，解得（舍去）或．综上所述，x的值为或19．故答案为：或19．50．（2025·广东深圳·二模）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积为．【答案】10或15或30【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，解题的关键是分两种情况进行讨论．分两种情况进行讨论：（1）当第一只蚂蚁在上运动时，列方程进行求解即可；（2）当蚂蚁在上运动，根据三角形的面积公式即可列方程求解．【详解】解：设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为有两种情况：（1）如图1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得，整理得，解得，．（2）如图2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得，整理得，解得，（舍去）．综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为．题型六函数与几何综合51．（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为．【答案】【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标，求出，结合，得到，即可求出，再求出直线的解析式为，设，代入，求出m的值即可．【详解】解：∵点A的坐标为，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，设，代入，得：，即，解得或（舍去），∴，故答案为：．52．（2025·广东茂名·一模）把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点，同时落在反比例函数图象上时，则的值为．【答案】【知识点】反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解直角三角形，数形结合，求出反比例函数图像上点的坐标是解决问题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，解直角三角形求出、、、，设，则，利用反比例函数图像与性质列方程求解得到，进而得到，即可得到答案．【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，在中，，，，，，，，，，，设，则，，解得：，，，故答案为：．53．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，轴，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点将绕点顺时针旋转得到，使点落在轴上的点处，点的对应点为，则点的坐标是．【答案】/【知识点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算【分析】设，先求出，作轴于轴于，由旋转的性质得，，，证明，在中，求出，，证明求出，进而可求出点E的坐标．【详解】解：∵轴，，∴设，∵，∴，∵点B在的图象上，∴，解得，∴．作轴于轴于，如图．绕点顺时针旋转得到，，∵轴，，∴，，，三点共线，∵，，在中，，，，，，，即，，，点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．54．（2025·河北秦皇岛·一模）如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是．【答案】【知识点】由平移方式确定点的坐标、一次函数与反比例函数的其他综合应用【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确找出两个临界位置是解题关键．先把问题转化为将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点，再求出点平移后的坐标为，点平移后的坐标为，将这个两个点的坐标代入反比例函数的解析式，由此即可得．【详解】解：将反比例函数的图象向左平移个单位长度，使平移后的函数图象和线段有交点，相当于将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点，∵，∴点平移后的坐标为，点平移后的坐标为，由题意，有以下两个临界位置：①当反比例函数的图象恰好经过点时，则，解得；②当反比例函数的图象恰好经过点时，则，解得；所以要使平移后的函数图象和线段有交点，则，故答案为：．55．（2025·浙江·二模）如图，已知直线经过点，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上．若，则的取值范围为．【答案】或【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图象法求不等式解集，掌握图像法解不等式解集是关键．根据题意得到一次函数，反比例函数解析式，再根据题意得到一次函数与反比例函数交点，结合图象法求不等式解集即可．【详解】解：∵经过点，∴，∴，∴点关于轴的对称点，∵在反比例函数的图象上，∴，∴，即，∴化为，令，∴反比例函数与一次函数的交点的计算如下，，整理得，，解得，，如图所示，∴或．56．（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为．【答案】4【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）【分析】考查了反比例函数与几何图形的关系，解题的关键是利用线段的长度表示出关键点的坐标．设点P的坐标并表示相关线段长度，根据三角形面积公式求出的值，根据反比例函数性质求出k的值即可；【详解】设，∵轴于点，∴，．∵，∴，∴．∵的面积为，∴．即，化简得，．∵点在反比例函数的图象上，∴∴．故答案为：4．57．（2025·安徽阜阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相