辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（信息卷）高三数学试题（五）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（信息卷）高三数学试题（五）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A.B.C.D.以上说法均错误【答案】B【解析】的否定为：，故选：B2.已知为纯虚数，记构成的集合为，则中元素的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由复数为纯虚数，设，则有，，，所以.故选：C.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，①由，得，代入①，解得，所以，又因为，所以，所以，因为，所有.故选：A.4.如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由正八面体结构特征知，，若正八面体的棱长为2，且各侧面都是正三角形，为正方形，所以，，同理得，所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：C5.设点为圆上一点，则的最小值为（）A.6 B.4 C. D.【答案】D【解析】由，则，如下图示，令且，则，，，，，，所以，当时，有最小值为.故选：D6.某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（）A B. C. D.【答案】B【解析】令事件表示“参加数学竞赛的学生是物理组合”，令事件表示“参加数学竞赛的学生是历史组合”，令事件表示“获奖”，则有，根据全概率公式有，令事件表示“3人均获奖”，则，令事件表示“这3人全是物理”，则，令事件表示“这3人全是历史”，则，令事件表示“这3人既有物理又有历史”，则，根据条件概率公式有.故选：B.7.已知是椭圆的左焦点，分别是的右、上顶点，是上一点，且和是全等的三角形（为坐标原点），则的离心率的平方为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，因为和是全等的三角形，所以，即，又由椭圆结构性质可知，所以，所以，，则，所以由，令，则或（舍去）.所以的离心率的平方为.故选：A8.当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，即，令，则，所以在上单调递增，由，可得，，即在时恒成立，令，则，令得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则下列说法正确是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为在为增函数，由有，对于A：由，因为，所以，故A正确；对于B：由，当时，，即，故B错误；对于C：令，可知在上单调递增，由有，故C正确；对于D：令，则，由有，有，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，故D错误.故选：AC.10.“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（）时间1471013161922水深1112.51412.51112.51412.5A.B.C.该轮船9点可以进出港口D.该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时【答案】BC【解析】对于A，由表格数据可得，故A错误；对于B，由表格数据可得，解得，，所以，因为点在函数图象上，所以，即，又因为，所以，故B正确；对于C，当时，，故C正确；对于D，由，得，由得，即，当时，，，因为得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误.故选：BC.11.平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（）A.B.当都是整数时，称为格点，则上有2个格点C.的最大值为D.在第一象限对应的双曲线的离心率为【答案】ACD【解析】由题意，则，整理得，当时，有，则，当，则，当，则，结合题图知，A对；由方程，显然都在曲线上，至少有4个格点，B错；要使最大，则必在第一象限，此时，所以，令，则，所以，故，所以，故的最大值为，（注意，则不成立），C对；在第一象限对应双曲线为，即，所以，是由平移得到，而轴为双曲线的渐近线，则为实轴，为虚轴，所以对应的标准双曲线的渐近线为，即，故离心率，D对.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的常数项为__________（用数字作答）.【答案】【解析】由，所以，只需求展开式中的的系数，即.故答案为：.13.设是等差数列的前项和，成等比数列，等比数列的首项为，公比为正整数，均不是常数列，若是整数，则__________.【答案】【解析】根据题意，等差数列中，成等比数列，则有，即，则，则，等比数列中，首项为，公比为正整数，则，又是整数，则是整数，又由为正整数，则的值为.且不是常数列则的值为.故答案为：14.如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则__________.【答案】【解析】设为的中点，连接，设为的中点，即点为以为直径的半圆的圆心，则，当点在上时，由三点共线可得，此时点与点重合，最小，即，做直线与平行，且与半圆相切，连接点与切点，此时最大，即由三点共线知点在直线上时，最大，设直线与的延长线相交于点，连接，则，延长与相交于点，因为，所以为半圆的一条切线，所以，由得，可得为等边三角形，，所以，由得，又，所以四边形为平行四边形，所以，，设，则，由得，，可得，，所以，因为三点共线，所以，可得，所以的最大值为，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，求面积的最大值.（1）证明：因为，所以即，则由余弦定理得，整理得即.（2）解：若，则由（1）得，当且仅当时等号成立，又由余弦定理得，所以面积为，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为.16.记为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求.解：（1），所以当时，，且，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以；（2）由（1），所以则，所以，，所以，，所以.17.如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上、下底面半径分别为2，4，圆台母线与底面所成角为是下底面圆周上一点（异于点）.（1）已知，若线段上存在一点，使得平面，试确定点的位置，并求直线与平面的距离；（2）若平面与平面的夹角为，求.解：（1）取中点为P，连接，则由题意可得，由题意可知且，所以四边形是平行四边形，故，又平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以P为中点；由上可知直线与平面的距离即为点O到平面的距离，设为，由题意圆台母线长为，，如图，取中点D，以O为原点，分别为建立如图所示空间直角坐标系，则此时，所以，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以.（2）空间直角坐标系中，，设，且或，则由圆台结构性质可知是平面的一个法向量，，设平面的一个法向量为，所以，所以，取，则，则，化简得，所以，解得，所以，所以.18.已知双曲线过点，离心率为，直线与的左支交于两点，与轴交于点.（1）求的方程；（2）为坐标原点，设的面积分别为，若，求的方程；（3）若上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求的取值范围.解：（1）由题设且，，则，所以；（2）由恒过，即，若且，故，又，所以，则，联立与，则，所以，，则，且，所以，且，可得，则（负值舍），综上，直线，即；（3）由题设，易知两条切线的斜率一定存在，设切线为，联立，可得，所以，则，得，则切线为，而在切线上，则，所以，则，若为过点的两条切线的斜率，根据垂直关系有，所以，根据点的存在性知，所以，可得.19.随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额（单位：千元）进行统计，并将其分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若该网店平均每天有100个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额（一年按365天计算）；（2）2024年“双十一”期间，该网店在两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由百元现金券组成，该现金券可以在购物时直接抵减相