辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则的子集个数为（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】集合，则，因，所以，对于集合，当时，；当时，；当时，；当时，；所以，则，即集合中有3个元素，则它子集个数为个.故选：C2.已知是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】是的必要条件，是的充分条件，即若则，若则，因此有若则，又是的不充分条件，是的不必要条件，若不一定有成立，若不一定有成立，因此有若不一定有成立，所以是的必要不充分条件，故选：B．3.若函数，则的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题可得，解得且，所以的定义域为，故选：B.4.已知函数满足，则实数的值为（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】函数是二次函数，其中，所以对称轴，因为，所以函数对称轴为，即，解得，故选：A.5.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对选项A，取，满足，不满足，故A错误.对选项B，取，满足，不满足，故B错误.对选项C，因为，所以，即，故C正确.对选项D，取，满足，不满足，故D错误.故选：C6.已知函数，则不等式的解集为（）A B.C. D.【答案】C【解析】的定义域为，∵，∴为偶函数，∵当时，，∴在0,+∞上单调递增，∵，∴，解得或.故选：C.7.已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，有3个实数根，即y=fx和有3个交点，画出函数y=fx若与y=fx有3个交点，则.故选：C8.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，而（重合时取等号），因此有．故选：D．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.的图象不经过第四象限【答案】BD【解析】对于A，由图象可知函数单调递减，则0<a<1，故A错误；对于B，当x=0时，，由图象可得，解得，故B正确；对于C，由，则，由是增函数，则，故C错误；对于D，由，0<a<1，则函数是增函数，当x=0时，，故D正确.故选：BD.10.已知正实数，满足，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】对于A，利用基本不等式可知，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，可知，所以当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，所以，故C错误；对于D，将代入，可得，根据基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故D错误.故选：AB11.已知函数的定义域为，且，若，则（）A. B.C.函数是奇函数 D.函数是增函数【答案】ACD【解析】令，，则，因，所以，令，，得，即，，所以，故A正确；令，，所以，为奇函数，故C正确；由，令，得，故B错误；上式中令为，得，为增函数，故D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知命题“，使”为真命题，则实数的最小值为______.【答案】或【解析】依题意可得,解得,故的最小值为.故答案为：13.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】因为函数在上单调递增，所以，且，得，所以.故答案为：14.已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是______，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是______.【答案】①.，②..【解析】当时，不等式可化为，所以，所以或，所以不等式的解集是，由已知对任意的，不等式恒成立，当时，，此时，当时，不等式，可化为，所以，其中，所以，所以，所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是.故答案为：，.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知全集，集合，.（1）当时，求，；（2）若集合，当时，求实数的取值范围.解：（1）由时，，则，或，.（2）由，，解得，则，由，则，可得，解得.16.设函数.（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，解关于的不等式.解：（1）当时，，成立；当时，在上恒成立，所以，解得；综上的取值范围为；（2）因为，则，整理可得，当时，原不等式为，解得；当时，方程的两根为，当，即时，的解为；当，即时，解得或；当，即时，解得或；综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或x>1.17.展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为80万元，每生产一台需另投入60万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入（单位：万元）（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（利润销售收入成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润.解：（1），.（2）当时，，；当时，，当且仅当，即时，等号成立.综上所述，当时，的最大值为.18.已知函数是偶函数.（1）求；（2）判断在上的单调性，并说明理由；（3）若，，求的取值范围.解：（1）函数的定义域为，，即，即；（2），设，，因为，所以，，，当，即时，，在单调递减，当时，即，，在单调递增；（3）若，，由（2）可知，不管，还是，函数都单调，所以的最大值必在端点处取得，则且，即，且，解得：.19.若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值；（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.解：（1）是区间上的“2阶自伴函数”对任意的，，则，首先中唯一的，其次时，，，因此，不一定有，例如取，由，解得，所以不是区间上的“2阶自伴函数”；（2）由已知，对任意，，，，所以且，即，解得．（3）方法一：由题意，，，，则，所以，设，则，于是，，，，所以对，恒成立，或恒成立，恒成立，则，解得，恒成立，则，解得，综上，的取值范围是．方法二：，令，则，则，所以.因为是在区间上的"2阶伴随函数"，所以对任意的，总存在唯一的，使得成立，所以，即在上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量