辽宁省普通高中2025届高三下学期三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省普通高中2025届高三下学期三模数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，因为，所以，所以.故选：A2.已知集合，则下列判断错误的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可得，所以.故选：A.3.下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设二项展开式的第为常数项.对A：由，由，所以展开式的第6项为常数项，即的展开式有常数项；对B：由，由，所以展开式的第5项为常数项，即的展开式有常数项；对C：由，由，所以的展开式的第9项为常数项，即的展开式有常数项；对D：由，由，所以的展开式不存在常数项.故选：D4.已知为虚数单位，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，则，故.故选：D5.如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉璧长，宽，玉璧中心的椭圆形孔长，宽，设该玉璧的外轮廓为椭圆，玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆，则（）A.的离心率等于的离心率B.的离心率小于的离心率C.的离心率大于的离心率D.与的离心率无法比较大小【答案】B【解析】依题意可得的长轴长为，短轴长为的长轴长为1.6cm，短轴长为.因为，所以，又，所以越大，离心率越小，所以的离心率小于的离心率.故选：B.6.在正方体中，从直线以及该正方体的12条棱所在直线中任取2条直线，则这2条直线平行的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，，，所以这2条直线平行的概率为.故选：D.7.如图，在四边形中，，则的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】设，则，，则在中利用余弦定理得，当，即时，取得最小值.故选：C8.函数的最小值为（）A.4 B. C. D.5【答案】C【解析】因为，当时，；当时，如图所示：设，于，则，由图可知，的最小值为点到直线的距离.因为直线的方程为，即，所以，故的最小值为.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】的解集为，A错误；当时，（当且仅当时，等号成立），因为，所以在上恒成立，B正确；的解集为，在上恒成立，C正确；当时，（当且仅当时，等号成立），因为，所以在上恒成立，D正确.故选：BCD.10.函数的部分图象可能为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于选项A，由图可知，的最小值为0，则，当1时，，，的部分图象可以如选项A所示.对于选项B，当时，的部分图象可以如选项B所示.对于选项C，由，得，即，当时，的部分图象可以如选项C所示.对于选项D，由，得，即，则，此时，排除D.故选：ABC11.已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（）A.B.C.D.当时，可能为偶函数【答案】BCD【解析】对A：令，得，即，A错误.对B：令，得，得.由，得，构造函数，则，则为减函数，则，即，则，所以，故B正确；对C：令，得.根据B的结论，得：，所以，故C正确；对D：若，则可取满足，则为偶函数，故D正确.故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为__________.【答案】【解析】将点的坐标代入，得，则该抛物线的焦点坐标为.故答案为：13.已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表：去云南旅游去河南旅游合计东小组6040100西小组7030100合计13070200由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为__________（用百分数表示），__________（填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关.参考公式：.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】①.②.没有【解析】由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为.因为，所以没有的把握认为游客的选择与所在的小组有关.故答案为：，没有.14.已知顶点为的圆锥有且仅有一条母线在平面内，是母线的中点，点.若与圆锥底面所成的角为，圆锥外接球的表面积为，且圆锥底面圆心到直线的距离为，则与圆锥底面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】因为与圆锥底面所成的角为，所以圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥外接球的半径为，则圆锥的轴截面外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，解得.过点作，由题意知平面与圆锥相切于直线，则平面，设在内射影为，则为的中点，过点作的垂线，分别交于点，即，，又，则，，因为，且平面，则平面，又平面，平面，所以，，即，从而，又，，，所以，由，得，所以，，设与圆锥底面所成的角为，因为与圆锥底面垂直，又，，所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，证明：.（1）解：因为，所以，则，则.因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：的定义域为，令，得.令，得，则在上单调递减；令，得，则在上单调递增..因为，所以，即.16.甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为.（1）当时，求甲第二局获胜的概率.（2）设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为.①求；②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望.解：（1）设“甲第局获胜”，其中，依题意得，当时，由全概率公式得.，所以甲第二局获胜的概率为.（2）①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为，依题意得，解得.②的可能取值为2，3.，所以的分布列为23.17.如图，在高为6直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点.（1）若，证明：平面.（2）求的最小值.（3）若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值.（1）证明：因为底面的周长为12，且，所以，则，所以.在直三棱柱中，底面，又平面，则，又，平面，所以平面.（2）解：将直三棱柱的侧面沿剪开展平成矩形，如图所示，其中，所以，所以的最小值为.（3）解：设的中点分别为，连接，因为三棱柱是直三棱柱，则.因为，底面的周长为，所以，所以，则.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，又，则，，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得易得底面一个法向量为，则，当时，取得最小值，则取得最大值，且最大值为，所以平面与底面夹角的余弦值的最大值为.18.已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为.（1）求离心率.（2）若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且.①求的方程；②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点.解：（1）由题意可知，则.（2）①解：直线的方程为，联立得，.设，则，由，得，代入，得，则的方程为.②证明：设的方程为.联立得，，且，.因为，所以，即，则，整理得，即.因