山东名校考试联盟2024-2025学年高二年级下学期期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东名校考试联盟2024-2025学年高二年级下学期期中检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,故选：D.2.的展开式中的常数项为（）A.30 B.45 C.60 D.75【答案】A【解析】展开式的通项公式为，令，，展开式的常数项为.故选：A.3.一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球,设事件“第一次取得5号球”,事件“第二次取得5号球”，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，所以.故选：B4.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以为“”.故选：A.5.现有6种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A.400种 B.460种 C.480种 D.496种【答案】C【解析】当使用4种颜色时，不同的涂法有种方法；当使用3种颜色时，不同的涂法有种方法；所以不同的涂法共有种.故选：C.6.已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（）A0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】A【解析】由题设，则，增加数据后，，，且回归直线为，所以，则，所以，有，故残差的绝对值为.故选：A7.甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时.视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止,记游戏停止时局数为X次,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率，若甲胜，则结果有，，，，，，，，，9种，所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；若平局2次，则最后1次不能是平局，另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，所以．故选：D.8.今有A、B、C、D、E、F共6本不同的书全部分给4个同学，每个同学至少分到一本，其中A、B必须分给同一个同学的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将这6本不同的书分成四组，再分配到不同的同学，若书的个数为3,1,1,1，则不同的安排方法种数为：种；若书的个数为2,2,1,1，则不同的安排方法种数为：种，故不同的安排方法共有种．将这6本不同的书分成四组，再分配到不同的同学，A，B分给同一个同学，若书的个数为3,1,1,1，则不同的安排方法种数为：种；若书的个数为2,2,1,1，则不同的安排方法种数为：种，故不同的安排方法共有种．所以所求事件的概率为．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，满足，则下列结论正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为4C.的最大值为2 D.的最小值为4【答案】BD【解析】由，得：，当且仅当时，等号成立，故A不正确.，当且仅当时，等号成立，故B正确.，即，故C不正确.，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BD.10.已知随机变量服从正态分布，且，任取3个随机变量，记在区间的个数为X，则正确的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】对于A，由，得，则，A正确；对于B，由A知，在区间的概率为，因此，B正确；对于C，由B知，，因此，C错误；对于D，，D错误．故选：AB11.有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．相关系数．A.两组数据的相关系数相同 B.两组数据的残差平方和相同C.两条经验回归直线的斜率相同 D.两条经验回归直线的截距相同【答案】ABC【解析】由于新成对样本数据，其平均数分别为，同理，这样根据公式，用样本数据减去平均数得与新成对数据，用样本数据减去平均数得与新成对数据，即它们每一个对应数据的差值都是一样的，这就说明两条经验回归直线的斜率相同，两组数据的相关系数相同，故A、C正确；由于回归直线经过样本数据的样本点为，而新数据的样本点为，即样本数据的回归直线方程为，而新数据的回归直线方程为，故两条经验回归直线的截距不相同，故D错误；由于样本数据回归直线和新数据回归直线是平行关系，所以实际值与估计值的差的平方和应该是相同的，即两组数据的残差平方和相同，故B正确；故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设随机变量，则的最大值为__________．【答案】1【解析】因为随机变量，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1.故答案为：1.13.为了调查A，B两个地区的观众是否喜欢娱乐节目M，某电视台随机调查了A，B两个地区的2x名观众，已知从A，B两个地区随机调查的人数相同，A地区喜欢娱乐节目M的人数占A地区参与调查的总人数的，B地区喜欢娱乐节目M的人数占B地区参与调查的总人数的，若根据独立性检验认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则所有x构成的集合为__________．附表：，其中．0.0500.0103.8416.635【答案】【解析】列联表为：喜欢不喜欢合计A地区B地区合计，由认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，得，则，解得，又是5的倍数，则可以取的值为，所以x构成的集合为.故答案为：14.a，b，c都为正整数，，随机变量，则______.【答案】3.8【解析】，且，将7个小球排成一列形成6个间隙，用2块隔板将7个小球分成3部分，每部分小球数即为,,的取值，因此,,的取值共有种情况，的所有可能取值为3,4,5，当时，,,的取值有两种情况：①,,中有一个是3，余下两个都为2，则有种情况，②,,中有二个是3，余下一个为1，则有种情况，则；当时，即,,中有一个是4，余下两个分别为1,2，则有种情况，；当时，即,,中有一个是5，余下两个都是1，则有种情况，；所以．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.下图为某学校20个公用电话日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，．（1）根据频率分布直方图，求a的值，并求日使用次数在内的公用电话个数；（2）从这20个公用电话中任取2个，设这2个公用电话中日使用次数在内的有X个，求X的分布列和期望．解：（1）由频率分布直方图，得，所以；日使用次数在内的频率为，所以日使用次数在内的公用电话个数为.（2）的所有可能取值为0，1，2，，所以的分布列为：012数学期望.16.某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）；（3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数．附：若随机变量X服从正态分布，则，，．解：（1）由频率分布直方图，得样本平均数的估计值：，所以样本平均数的估计值为62.（2）由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24，所以样本的分位数为.（3）由（1）知，样本平均数的估计值，则，因此,所以成绩不低于90分的学生人数约为.17.某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下：日期3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日第x天12345参观人数y2.22.63.15.26.9（1）建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数；（2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.附：参考数据：.参考公式：回归直线方程，其中，.解：（1）依题意，，而，则，，因此，当时，，所以关于回归直线方程为，第10天进入该景区参观的人数约为千人.（2）记“甲从西门进入景区”为事件，“甲从西门出景区”为事件，“乙从西门出景区”为事件，，，由全概率公式得，同理，所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.18.有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为.（1）求的值；（2）求的值，并证明：当时，；（3）求（用含的式子表达）.解：（1）在第一个罐子中共有糖果颗，其中红色糖果有3颗，根据古典概型概率公式，（2）由（1）知，，所以，当时，由全概率公式，得所以,即；（3）记，由（2）知递推关系式，变形为，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则,即.19.某厂有甲、乙两条生产线生产同种保温杯，保温杯按质量分为一级品和二级品，为了比较两条生产线生产的保温杯的质量，在甲生产线生产的保温杯中抽取800个样本，一级品有600个，其余均为二级品．在乙生产线生产的保温杯中抽取2000个样本，一级品有1600个，其余均为二级品．（1）根据统计数据，完成下列表格，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异？一级品二级品合计甲生产线乙生产线合计（2）现从甲生产线生产的保温杯中按一级品和二级品中，按比例用分层随机抽样法抽取8个保温杯，再从这8个保温杯中随机抽取3个保温杯，记抽取的3个保温杯中一级品的个数为，求的分布列和数学期望．（3）用样本频率估计总体概率，现从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，记其中一级品的保温杯个数为，求使事件“”的概率最大时r的值．附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879解：（1）依题意，列联表如下：一级品二级品合计甲生产线600200800乙生产线16004002000合计22006002800零假设：甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率无差异，根据列联