复合函数试题及答案

复合函数试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.已知\(f(x)=2x+1\)，\(g(x)=x^2\)，则\(f(g(2))\)的值为（）A.9B.10C.11D.122.若\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(g(x)=x-1\)，则\(f(g(x))\)的定义域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt0\)D.\(x\gt1\)3.已知\(f(x)=3x-2\)，\(g(x)=\frac{1}{x}\)，则\(g(f(1))\)等于（）A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)4.函数\(y=f(x)\)与\(y=f(-x)\)的图象（）A.关于\(x\)轴对称B.关于\(y\)轴对称C.关于原点对称D.无对称关系5.若\(f(x)=x^2+1\)，\(g(x)=2x\)，则\(f(g(-1))\)的值是（）A.5B.3C.2D.16.已知\(f(x)=2^x\)，\(g(x)=x+1\)，则\(f(g(0))\)为（）A.1B.2C.4D.87.函数\(f(x)=\ln(x+1)\)，\(g(x)=e^x\)，则\(f(g(x))\)是（）A.\(x+1\)B.\(e^{x+1}\)C.\(\ln(e^x+1)\)D.\(e^{\ln(x+1)}\)8.若\(f(x)=\sinx\)，\(g(x)=x^3\)，则\(f(g(\frac{\pi}{2}))\)的值为（）A.1B.0C.\(-1\)D.\(\frac{\pi^3}{8}\)9.已知\(f(x)=x^3\)，\(g(x)=\cosx\)，则\(g(f(0))\)等于（）A.0B.1C.-1D.\(\frac{1}{2}\)10.若\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)，\(g(x)=x+1\)，则\(f(g(2))\)的值是（）A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.对于复合函数\(y=f(g(x))\)，下列说法正确的是（）A.定义域是\(g(x)\)的定义域B.值域是\(f(x)\)的值域C.先计算\(g(x)\)的值，再将其作为\(f(x)\)的自变量D.若\(f(x)\)与\(g(x)\)都是奇函数，则\(y=f(g(x))\)是奇函数2.已知\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=2x+1\)，则（）A.\(f(g(x))=4x^2+4x+1\)B.\(g(f(x))=2x^2+1\)C.\(f(g(1))=9\)D.\(g(f(1))=3\)3.若\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(g(x)=x-1\)，则（）A.\(f(g(x))\)的定义域为\([1,+\infty)\)B.\(f(g(x))=\sqrt{x-1}\)C.\(g(f(x))=x-1\)（\(x\geq0\)）D.\(g(f(4))=3\)4.关于复合函数\(y=f(g(x))\)与\(y=g(f(x))\)，正确的是（）A.定义域可能不同B.值域可能不同C.当\(f(x)=g(x)\)时，\(y=f(g(x))=y=g(f(x))\)D.二者图象可能相同5.已知\(f(x)=|x|\)，\(g(x)=x^2-1\)，则（）A.\(f(g(x))=|x^2-1|\)B.\(g(f(x))=x^2-1\)C.\(f(g(0))=1\)D.\(g(f(2))=3\)6.若\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(g(x)=x+1\)，则（）A.\(f(g(x))=\frac{1}{x+1}\)B.\(g(f(x))=\frac{1}{x}+1\)C.\(f(g(1))=\frac{1}{2}\)D.\(g(f(2))=\frac{3}{2}\)7.对于复合函数，以下结论正确的是（）A.若\(f(x)\)单调递增，\(g(x)\)单调递增，则\(f(g(x))\)单调递增B.若\(f(x)\)单调递减，\(g(x)\)单调递减，则\(f(g(x))\)单调递增C.若\(f(x)\)单调递增，\(g(x)\)单调递减，则\(f(g(x))\)单调递减D.复合函数的单调性与\(f(x)\)和\(g(x)\)的单调性无关8.已知\(f(x)=e^x\)，\(g(x)=\lnx\)，则（）A.\(f(g(x))=x\)（\(x\gt0\)）B.\(g(f(x))=x\)C.\(f(g(1))=1\)D.\(g(f(0))\)无意义9.若\(f(x)=\sinx\)，\(g(x)=2x\)，则（）A.\(f(g(x))=\sin(2x)\)B.\(g(f(x))=2\sinx\)C.\(f(g(\frac{\pi}{4}))=1\)D.\(g(f(\frac{\pi}{6}))=1\)10.对于复合函数\(y=f(g(x))\)，若\(f(x)\)的定义域为\(A\)，\(g(x)\)的值域为\(B\)，则（）A.\(B\subseteqA\)时，复合函数有意义B.当\(A\capB=\varnothing\)时，复合函数无意义C.复合函数的定义域是\(g(x)\)中使得\(g(x)\inA\)的\(x\)的取值集合D.复合函数的值域是\(f(x)\)在\(B\)上的值域三、判断题（每题2分，共10题）1.复合函数\(y=f(g(x))\)中，\(f(x)\)的定义域就是\(g(x)\)的值域。（）2.若\(f(x)\)是偶函数，\(g(x)\)是奇函数，则\(f(g(x))\)是偶函数。（）3.已知\(f(x)=x+1\)，\(g(x)=x^2\)，则\(f(g(x))=x^2+1\)。（）4.复合函数\(y=f(g(x))\)的值域一定是\(f(x)\)值域的子集。（）5.若\(f(x)\)单调递增，\(g(x)\)单调递减，则\(f(g(x))\)单调递增。（）6.函数\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(g(x)=-x^2\)，则\(f(g(x))\)的定义域为\(R\)。（）7.已知\(f(x)=2x\)，\(g(x)=\frac{1}{x}\)，则\(f(g(x))=\frac{2}{x}\)。（）8.复合函数\(y=f(g(x))\)与\(y=g(f(x))\)的定义域一定相同。（）9.若\(f(x)\)和\(g(x)\)都有反函数，则\(f(g(x))\)也一定有反函数。（）10.对于复合函数\(y=f(g(x))\)，当\(x\)在\(g(x)\)定义域内变化时，\(y\)的取值范围就是\(f(x)\)的值域。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述求复合函数\(y=f(g(x))\)定义域的方法。答案：先确定\(f(x)\)的定义域\(A\)，然后令\(g(x)\)的值域满足\(g(x)\inA\)，解出\(x\)的取值范围，此范围即为\(y=f(g(x))\)的定义域。2.如何判断复合函数\(y=f(g(x))\)的单调性？答案：根据“同增异减”原则。若\(f(x)\)与\(g(x)\)在相应区间单调性相同，则\(f(g(x))\)单调递增；若单调性相反，则\(f(g(x))\)单调递减。3.已知\(f(x)=x^2-1\)，\(g(x)=x+1\)，求\(f(g(x))\)并化简。答案：将\(g(x)=x+1\)代入\(f(x)\)得\(f(g(x))=(x+1)^2-1\)，展开化简得\(f(g(x))=x^2+2x+1-1=x^2+2x\)。4.若\(f(x)\)的定义域是\([0,2]\)，求\(f(x^2)\)的定义域。答案：因为\(f(x)\)定义域是\([0,2]\)，对于\(f(x^2)\)，则\(0\leqx^2\leq2\)，解不等式得\(-\sqrt{2}\leqx\leq\sqrt{2}\)，所以\(f(x^2)\)定义域是\([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论复合函数\(y=f(g(x))\)在实际数学问题和生活中的应用实例。答案：在数学中，如计算复杂函数的导数时常用复合函数求导法则。生活中，比如根据时间计算商品价格变化，时间先影响生产效率（\(g(x)\)），生产效率再影响价格（\(f(x)\)），构成复合函数关系。2.探讨复合函数\(y=f(g(x))\)的值域与\(f(x)\)、\(g(x)\)值域之间的具体联系和区别。答案：\(y=f(g(x))\)的值域是\(f(x)\)在\(g(x)\)值域上的取值范围，是\(f(x)\)值域的子集。区别在于\(f(x)\)值域是其自身所有可能取值，而\(f(g(x))\)值域受\(g(x)\)值域限制，可能只是\(f(x)\)值域一部分。3.当\(f(x)\)和\(g(x)\)都是周期函数时，讨论\(f(g(x))\)是否一定是周期函数。答案：\(f(x)\)和\(g(x)\)都是周期函数时，\(f(g(x))\)不一定是周期函数。若\(f(x)\)周期为\(T_1\)，\(g(x)\)周期为\(T_2\)，当存在非零整数\(m\)、\(n\)使得\(mT_1=nT_2\)时，\(f(g(x))\)是周期函数，否则不一定是。4.分析复合函数\(y=f(g(x))\)图象与\(f(x)\)、\(g(x)\)图象之间的关系。答案：\(y=f(g(x))\)图象与\(f(x)\)、\(g(x)\)图象密切相关。\(g(x)\)图象的变化会通过\(f(x)\)影响\(f(g(x))\)。例如