定积分应用试题及答案

定积分应用试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.由曲线\(y=x^2\)与\(y=x\)所围成图形的面积用定积分表示为（）A.\(\int_{0}^{1}(x-x^2)dx\)B.\(\int_{0}^{1}(x^2-x)dx\)C.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{0}^{1}xdx\)2.曲线\(y=\sinx\)在\([0,\pi]\)上与\(x\)轴围成图形的面积为（）A.0B.1C.2D.\(\pi\)3.由\(y=e^x\)，\(x=0\)，\(x=1\)及\(x\)轴围成图形绕\(x\)轴旋转一周所得旋转体体积为（）A.\(\frac{\pi}{2}(e^2-1)\)B.\(\pi(e^2-1)\)C.\(\frac{\pi}{2}(e-1)\)D.\(\pi(e-1)\)4.定积分\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)的值为（）A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.25.设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)与\(\int_{a}^{b}f(t)dt\)的关系是（）A.不相等B.相等C.不一定相等D.只有\(f(x)=f(t)\)时相等6.由\(y=\sqrt{x}\)，\(x=1\)，\(x=4\)及\(x\)轴围成图形的面积为（）A.\(\frac{14}{3}\)B.\(\frac{16}{3}\)C.\(\frac{10}{3}\)D.\(\frac{8}{3}\)7.曲线\(y=x^3\)与直线\(y=x\)所围成图形在第一象限的面积为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{6}\)8.定积分\(\int_{0}^{2}(2x+1)dx\)的值为（）A.6B.8C.10D.129.由\(y=\cosx\)，\(x=0\)，\(x=\frac{\pi}{2}\)及\(x\)轴围成图形绕\(y\)轴旋转一周所得旋转体体积为（）A.\(\pi^2\)B.\(\frac{\pi^2}{2}\)C.\(\frac{\pi^2}{4}\)D.\(\frac{\pi^2}{8}\)10.函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上的平均值为（）A.\(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\)B.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)C.\(\frac{1}{b+a}\int_{a}^{b}f(x)dx\)D.\(\frac{b-a}{\int_{a}^{b}f(x)dx}\)多项选择题（每题2分，共10题）1.下列哪些可以用定积分计算（）A.平面图形面积B.旋转体体积C.变速直线运动路程D.物体质量2.定积分的性质有（）A.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)B.\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)为常数）C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)（\(a<c<b\)）3.计算旋转体体积的方法有（）A.圆盘法B.圆柱壳法C.梯形法D.矩形法4.由\(y=x^2\)，\(y=0\)，\(x=1\)，\(x=2\)围成图形的相关说法正确的是（）A.面积\(S=\int_{1}^{2}x^2dx\)B.绕\(x\)轴旋转体积\(V_x=\pi\int_{1}^{2}x^4dx\)C.绕\(y\)轴旋转体积\(V_y=2\pi\int_{1}^{2}x\cdotx^2dx\)D.该图形面积为\(\frac{7}{3}\)5.下列定积分值为0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x\sinxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^5dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx\)D.\(\int_{-1}^{1}\cosxdx\)6.关于定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)，正确的是（）A.若\(f(x)\geq0\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0\)B.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续C.积分值与积分变量用什么字母表示无关D.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积7.计算平面图形面积时，确定积分区间的方法有（）A.联立曲线方程求交点B.根据图形位置直接判断C.利用函数单调性D.利用函数奇偶性8.由\(y=\sinx\)，\(y=\cosx\)，\(x=0\)，\(x=\frac{\pi}{2}\)围成图形相关正确的是（）A.面积\(S=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cosx-\sinx)dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sinx-\cosx)dx\)B.绕\(x\)轴旋转体积\(V_x=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin^2x-\cos^2x)dx\)C.绕\(y\)轴旋转体积\(V_y=2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x(\sinx-\cosx)dx\)D.该图形面积为\(2(\sqrt{2}-1)\)9.定积分计算中，常用的换元方法有（）A.三角换元B.根式换元C.倒代换D.指数换元10.下列哪些函数在给定区间上可积（）A.\(y=\frac{1}{x}\)在\([1,2]\)B.\(y=\sqrt{x}\)在\([0,1]\)C.\(y=\tanx\)在\([0,\frac{\pi}{4}]\)D.\(y=|x|\)在\([-1,1]\)判断题（每题2分，共10题）1.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的值只与被积函数\(f(x)\)及积分区间\([a,b]\)有关。（）2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续且\(f(x)\geq0\)，\(\int_{a}^{b}f(x)dx=0\)，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒为0。（）3.平面图形绕\(x\)轴旋转的体积公式为\(V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2dx\)。（）4.定积分\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)，则\(f(x)\)一定是奇函数。（）5.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，\(g(x)\)在\([a,b]\)上不可积，则\(f(x)+g(x)\)在\([a,b]\)上不可积。（）6.计算曲线\(y=f(x)\)与\(y=g(x)\)所围图形面积时，\(S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx\)。（）7.旋转体的体积计算中，圆盘法和圆柱壳法不能同时使用。（）8.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)，若\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调递增，则积分值一定大于0。（）9.函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上的平均值就是\(\frac{f(a)+f(b)}{2}\)。（）10.定积分\(\int_{a}^{b}dx=b-a\)。（）简答题（每题5分，共4题）1.简述用定积分求平面图形面积的步骤。先确定图形由哪些曲线围成，联立曲线方程求交点以确定积分区间，判断曲线上下位置关系，然后根据公式\(S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx\)计算面积。2.写出用圆盘法求旋转体体积的公式及适用情况。公式\(V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2dx\)。适用于曲线\(y=f(x)\)，\(x\in[a,b]\)绕\(x\)轴旋转形成的旋转体体积计算。3.定积分与不定积分有什么联系？不定积分是求原函数，定积分是求原函数在积分区间上的增量。牛顿-莱布尼茨公式将二者联系起来，\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数。4.举例说明定积分在物理中的一个应用。比如求变速直线运动的路程。已知速度函数\(v(t)\)，在时间区间\([a,b]\)内，路程\(s=\int_{a}^{b}|v(t)|dt\)。例如\(v(t)=t^2\)，\(t\in[0,1]\)，则\(s=\int_{0}^{1}t^2dt=\frac{1}{3}\)。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论在不同坐标系下（直角坐标系、极坐标系）计算平面图形面积的方法及优缺点。直角坐标系下用\(S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx\)，优点是直观，适用于常见函数；缺点是对于复杂曲线，积分限和被积函数可能复杂。极坐标系下\(S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[\rho(\theta)]^2d\theta\)，对圆、心形线等图形方便，缺点是对不熟悉极坐标的人较难理解和应用。2.当计算旋转体体积时，如何选择合适的方法（圆盘法、圆柱壳法）？若图形绕\(x\)轴旋转，且函数易表示为\(y=f(x)\)，用圆盘法\(V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2dx\)较方便；若图形绕\(y\)轴旋转，或函数表示为\(x=g(y)\)，或用圆盘法积分困难时，考虑圆柱壳法\(V=2\pi\int_{a}^{b}x|f(x)|dx\)。3.探讨定积分在经济领域的应用实例。在经济中，边际成本函数\(C'(x)\)的定积分\(\int_{0}^{x}C'(t)dt\)可求总成本；边际收益函数\(R'(x)\)的定积分\(\int_{0}^{x}R'(t)dt\)可求总收益。例如已知边际成本\(C'(x)=2x+1\)，生产\(x\)件产品的总成本\(C(x)=\int_{0}^{x}(2t+1)dt=x^2+x\)。4.结合实际，谈谈定积分在工程技术中的重要性。在工程技术中，定积分可计算不规则物体的质量、转动惯量等。比如计算不均匀密度物体质量，已知密度函数\(\rho(x)\)，通过定积分\(\int_{a}^{b}\rho(x)dx\)求出质量。在计算结构