专题25 整式加减中的规律问题【六大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题2.5整式加减中的规律问题【六大题型】

【人教版】

【题型1数式的规律】..........................................................................1

【题型2图表的规律】..........................................................................3

【题型3图形的规律】..........................................................................6

【题型4算式的规律】..........................................................................7

【题型5程序运算】...........................................................................10

【题型6定义新运算】.........................................................................13

“会等一正三

【题型1数式的规律】

【例1】(2022秋•娄底期中)观察下面的三行单项式，

.r,2A2,4?,8x4,16.F,32?……①

-2x,4.r,-&必,16x”,-32X5,64,t6........②

2JT,-3X\5X3-9A5,172-33x7........③

(1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为128公

(2)第②行第8个单项式为2569，，第③行第8个单X5式为729.F

(3)取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为4.计算当时，512(4+》的值.

【分析】根据题三行单项式给出的规律即可求出答案.

【解答】解：(1)128点

(2)256/,-129.，

899910

(3)4=2X-2r+(28+1)r

=-28#+2卬°+”，

•・•512(4+9=29X4+27,

当“泄，

原式=-2sx.X29+28X,X2?+^X29+27

=-28+27X2+1

一2

故答案为：（l）256f；

（2）256A-8,-129x9；

（3）

【变式1-1]（2022秋•交城县期中）一组按规律排列的多项式：a+b,a2-b\/+护，/-〃，…，其中第

〃（〃为正整数）个式子的次数是（）

A.nB.2n-1C.3n-1D.2n

【分析】先根据已知算式得出规律，再根据多项式次数的定义得出答案即可.

【解答】解：•:a+b,a2-b\a3+b5,a4-b7,

・•・〃的指数依次为1，2,3,4,5,6,•••,

b的指数依次为1,3,5,7,•••,（2X1-1=1,2X2-1=3,2X3-1=7,•・・），

・•・第〃（〃为正整数）个式子的次数是2〃-1,

故选：B.

【变式1-2]（2022秋•霍山县校汲月考•）一块面积为1nV的长方形纸片，第一次裁去它的一半，第二次裁

去剩下纸片的一半，如此裁下去，第八次裁完后剩下的纸片的面积是（）

A.-maB.-m1C.—in1D.—m1

3264128256

【分析】根据题意知，易求出前几次裁剪后剩下的纸片的面积，第•次剩下的面积为1巴第二次剩下的

面积为]层，第三次剩下的面积为刎，根据规律，总结出一段式，由此可以求出第八次剩下的纸片的面

积.

【解答】解：根据题意，第一次剩下的面积为）八第二次剩下的面积为第三次剩下的面积为）凡

则第〃次剩下的面积为方后

则第八次剩下的面积为5〃2,即心机2.

故选：D.

【变式1-3]（2022秋•如东县期末）一只小球落在数轴上的某点益处，第一次从几处向右跳1个单位到

P处，第二次从Pi向左跳2个单位到P2处，第三次从P2向右跳3个单位到P3处，第四次从P3向左跳

4个单位到凡处…，若小球按以上规律跳了（2〃+3）次时，它落在数轴上的点P/3处所表示的数恰好是

〃・3,则这只小球的初始位置点R）所表示的数是（）

A.-4B.-5C.〃+6D.〃+3

【分析】根据题意可以用代数式表示出前几个点表示的数，从而可以发现它们的变化规律，进而求得这

只小球的初始位置点外所表示的数.

【解答】解：设点尸。所表示的数是。，

则点Pl所表示的数是4+1,

点P.2所表示的数是a+l-2=a-1,

点P3所表示的数是。-1+3=〃+2,

点所表示的数是。+2-4=4・2,

•・•点夕，2〃+3）所表示的数是〃-3,

解得，4=-5,

故选：B.

【题型2图表的规律】

【例2】（2022秋•咸丰县期末）九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个

数的和都相等（如图1）.则图2的九格幻方中的9个数的和为（用含〃的式子表示）

492aa-5

357a-5

816

图1图2

【分析】根据同一横行、同一轻列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于。

与x的方程，可得进一步求出这9个数的和即可.

4

【解答】解：如图所示:

357

8I6

表二

a+5a+1

a-5

【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于。

与x的方程，可得工=。+3,进一步求出这9个数的和即可.

【解答】解：如图所示：

x-110+xa

a+5a+\x

a+2a-5a+6

a+a+1+a+2=a+x+a+6,

解得x=a-3,

3（3〃+3）=9a+9.

故答案为：9«+9.

【变式2-3］（2022秋•西城区校级期中）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得

其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15.已知第3个数为7,第5个数为机-1,第16个数为

2,第78个数为3-2〃?，则m的值为-4,第2021个数为7.

7m-I

【分析】根据题意，任意四个相邻格子中的和等于15,列出等式，找出规律，计算出〃?的值；再求出第

2021个数是几即可.

【解答】解：••・任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15.

，第5个数（5・4==与第I个数相同,都为"L1；第16个数（16+4=4）与第4个数相同,都为2；

第78个数（78+4=19…2）与第2个数相同，都为3-2〃?；

••tn~1+3-2〃?+7+2=15,

解得m=-4,

则机-1=・4・1=-5,3-2/n=11，

.20214-4=505-1,

・••第2021个数是-5.

故答案为：・4；-5.

【题型3图形的规律】

【例3】（2022秋•思明区校级期中）为了庆祝六一儿童节，某一幼儿园举行用火柴摆“金鱼”比赛，如图

所示：按照上面的规律，摆N个金鱼需要用火柴棒的根数为（）

A.2+6〃B.6〃+8C.8〃D.4〃+4

【分析】观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒

比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6.

【解答】解：第i条小鱼需要（2+6/0根，

故选：A.

【变式3-11（2022秋•晋安区期末）搭一个正方形需要4根火柴棒,按照图中的方式搭〃个正方形需要（）

根火柴棒.

A.4〃B.4+3（〃-1）C.3〃D.4〃-（〃+1）

【分析】根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴.

【解答】解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第〃个图形

中,需要火柴4+3（〃・1）.

故选:B.

【变式3-2］（2022秋•莱阳市期中）将长为40cm,宽为15a〃的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来,

粘合部分的宽为5（7〃，则〃张臼纸粘合后的总长度为（）C7〃.

A.35〃+5B.35〃C.40〃D.40//+5

【分析】〃张白纸黏合，需黏合（〃-1）次,重叠5（n-1）an,所以总长可以表示出来.

【解答】解：根据题意和所给图形可得出：

总长度为40〃-5（»-1）=35"+5（cm）,

故选:4.

【变式3-3］（2022秋•上虞市校级期中）如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块

带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在•起，按图中所示的规律拼成图案铺满

（1）按图示规律，第一图案的长度心=」!_〃?；第二个图案的长度」=2.5〃?；

（2）用代数式表示带有花纹的地面砖块数〃与走廊的长度乙（〃。之间的关系1=0.5（2〃+1）.

【分析】（1）观察题目中的匕知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1,2个，第二个图

案比第一个图案多1个有花纹的地面砖，所以可得第〃个图案有花纹的地面砖有〃块；第一个图案边长

3XO.5=L,第二个图案边长5X05=3

（2）由（1）得出则第"个图案边长为乙=（2/7+1）X0.5.

【解答】解：（1）第一图案的长度心=0.5X3=15第二个图案的长度小=0.5乂5=2.5；

（2）观察可得：第1个图案中有花纹的地面砖有I块，第2个图案中有花纹的地面砖有2块，…

故第〃个图案中有花纹的地面传有n块；

第一个图案边长L=3X0.5,第二个图案边长L=5X0.5,则第〃个图案边长为&=0.5（2〃+1）.

故答案为:0.9,1.5；0.5（2n+l）.

【题型4算式的规律】

【例4】（2022春•杏花岭区校级期中）计算两个两位数的积，这两个两位数的十位上的数字相同，个位上

的数字之和等于10.

例如：43X47=2021,68X62=4216,74X76=5624,81X89=7209

设其中一个数的十位数字为/〃，个位数字为〃，请用含“〃囱算式表示这个规律（10加+〃）（10次+10

-〃）=1（）0〃7（1）+〃（10-〃）.

【分析】由题意得出：两个两位数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两个数的积的规律

是：十位数字乘以十位数字加i的枳作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和

个位，据此可得规律.

【解答】解：由题意可得，两个两位数，其中i个数的十位数字为加，个位数字为〃时，另外i个数的

十位数字为，〃，个位数字为10-//,

那么这两个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相

乘的积作为结果的十位和个位，

即：(1Oin+n)(10〃?+10-〃)=10()m(m+1)+n(10-〃).

故答案为:(10〃?+〃)(10w+10-n)=100m(m+1)+n(10-n).

【变式4-1](2022春•青岛期中)若规定运算符号，满足下列各式:

1A3=3X1-2X3；

2A(-4)=3X2-2X(-4)；

OA(-7)=3X0-2X(-7)；

(——)▲5=3X(——)-2X5；

22

(--)▲(--)=3X(--)-2X(--)；

5454

根据以上规律，求解下列各题：

(1)3a-2b；

(2)若2m-〃=3,求(2m+n)▲(-4m+5n)的值.

【分析】(1)根据定义新运算即可得出结果；(2)先根据定义新运算化简，再整体代入求值.

【解答】解：(1)由题意可知：“▲人=3〃-26

(2)(2>n+n)A(-4/n+5/i)

=3(2m+n)-2(-4w+5n)

=3X2〃?+3〃・2X(-4w)・2X5〃

=I4〃？-7〃，

•••2加-〃=3,

工原式=14机-7〃=7(2m-n')=7X3=21.

【变式4-2](2022秋•通川区校级期中)阅读下面的文字，完成后面的问题：

我们知道：—=---

1X222X3233X434

那么(1)」一=---；---=—------；

4x5-45—2012X2013—20122013—

(2)用含有〃的式子表示你发现的规律-^—=--47；

——n(n+l)nn+1——

(3)如果1|+(曲-2)2=0,求*+再击筋+鬲西+……+(/2。13；"2。⑶的值•

【分析】（1）根据题目中的式子，可以将所求式子分解；

（2）根据题目中式子的特点，可以写出第〃个等式；

（3）根据题目中的式子，先裂项，然后计算即可解答本题.

【解答】解：⑴白=；一"

4X545

1_1_____1

2012x2013—20122013’

故答案为二一L---------—•

取口不々45,20122013,

(2)第〃个式子为丁二二三一士,

nx(n+l)nn+1

故答案为：士=工一士；

n(n+l)nn+1

(3)V|«-1|+Cab-2)2=0,

••a-1=0,ab-2=0,

解得：a=Lb=2,

J原式=点+*+£+…+2。1二2。15

1111

=1I——十।一—-十।一——1十।•••十,---1--------1---

2233423142015

二1一短

2014

2015,

【变式4-3]（2022秋•浦东新区校级期中）观察以下5个乘法算式：6X10；8X18；11X29；12X26；25

X37.

（1）请仿照式子“6X34=202.142”，将以上各乘法算式分别写成两数平方差的形式；

6X10=82-22；

8X18=132-52；

11X29=202-92；

12X26=192-72；；

25X37=312-62.

（2）如果将上面五个乘法算式的两个因数分别用字母〃，〃表示（小〃为正数且，请用含。、b

的等式表示（1）的规律.（只要求写出结果）

【分析】（1）观察式子6义34=2（）2・142,发现202=（竺兰）2,（34-20）2,由此可得结果:

（2）利用（1）中发现的规律可得结果.

【解答】解：(1)V6X34=202-142,2()2=(等)2,142=(34-20)2,

.*.6X10=(警)2・(10—等)』82・22；

同理可得：8X18=132-52；llX29=202-92；12X26=192-72；25X37=312-62；

故答案为:82-22；132-52;202-92；192-72；312-62；

(2)V6X34=202-142,202=(―)2,142=(34-20)2,

2

【题型5程序运算】

【例5】（2022•武汉模拟）如图所示的运算程序中，若开始输入的工值为48,我们发现第一次输出的结果

为24,第二次输出的结果为12,以此类推，则第2019次输出的结果是多少？

【分析】根据程序图进行计算发现数字的变化规律，从而分析求解.

【解答】解：当输入x=48时,

第一次输出的结果为48X1=24,

第二次输出结果为24x1=12,

第三次输出结果为12x1=6,

第四次输出结果为6x^=3,

第五次输出结果为3+3=6,

第六次输出结果为6X；=3,

4

自第三次开始，奇数次的输出结果为6,偶数次的输出结果为3,

・••第2019次输出的结果是6.

【变式5-1](2022秋•封丘县期末)如图所示的是一个计算程序，程序规定从左至右逐步计算，若输入〃

的值为1,则输出的结果b的值应为()

A.-5B.5C.7D.-3

【分析】将〃的值为I代入计算程序进行计算即可.

【解答】解：将。=1代入该计算程序得，

[I2-(-2)JX(-3)+4

=(1+2)X(-3)+4

=3X(-3)+4

=-9+4

=-5,

.*./?=-5,

故选：儿

【变式5-2](2022秋•天河区校级期中)按如图所示的程序计算，若开始输入的值为x=3,则最后输出的

结果是多少？试写出你的计算过

输入x—广计算1二D的值——►值大于loo上＞输出结果

程.|_将值给X,再次运算悒

【分析】先把x=3代入代数式》Q+1)得代数式的值为6,利用计算程序，再把％=6代入代数式的值

为21；接着把x=21代入代数式得%(X+1)=231,从而得到最后输出的结果.

【解答】解：当x=3H寸，(A+1)=|x3X(3+1)=6；

当x=6时，%(x+1)=1x6X(6+1)=21；

当x=2l时，%g)=21X⑵+】)=23600,

所以最后输出的结果是231.

【变式5-3](2022秋•上虞区期末)如图是一个运算程序的示意图.输入一个整数便能按图中程序进行计

算.

（1）设输入数X为18,那么根据程序，第1次计算的结果是9,第2次计算的结果是4,……，按这样

的程序计算下去，第5次计算的结果为-4;程序最终输出结果为-4.

（2）若输入某数x后，程序依次交替进行两种运算，且最后输出结果为1.请尝试通过分析，判断输入

数x是奇数还是偶数？进一步借助计算，直接写出该输入数工

将计算结果当作x

【分析】（1）通过列举找出规律：从第5次开始，计算结果是-4,-2,-1,-6,-3,-8六个数

不断循环，从而得出答案；

（2）先判断出这个数是偶数，列举得到第1次输出结果为2期。，所以刚开始输入的数为入=22。2。+5.

【解答】解：（1）当x=18时，第1次计算的结果是£=9,

第2次计算的结果是9-5=4,

第3次计算的结果是:=2,

第4次计算的结果是：=1,

第5次计算的结果是5=・4,

第6次计算的结果是^=-2,

第7次计算的结果是三二一1，

第8次计算的结果是-1-5=-6,

第9次计算的结果是言=一3,

第10次计算的结果是-3-5=-8,

第II次计算的结果是U二一4,

・•・从第5次开始，计算结果是・4,・2,-1,-6,-3,・8六个数不断循环，

•・•(2022-4)4-6=3361,

・•・程序最终输出结果为-4：

故答案为：-4,-4：

（2）若x是奇数，则x-5=l,

，x=6,这与x是奇数矛盾，

••・x是偶数；

第2021次输出结果为1=2°,

第2020次输出结果为2=21

第2019次输出结果为4=22,

第2018次输出结果为8=23,

第1次输出结果为22。2。，

•・•必须有第一种运算的参与，

・•・刚开始输入的数为X=22O2O+5.

【题型6定义新运算】

【例6】（2022秋•安新县期末）定义J：力为二阶行列式，规定它的运算法则为J：4=血-儿，那么当

<=1时，二阶行列式1的值为（）

.4.7B.-7C.1D.-1

【分析】根据新定义运算法则列式，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值.

【解答】解：原式=-5（x+1）-3（x-2）

=-5x-5-3x+6

=-8x+l,

当x=l时，

原式=-8X1+1=-8+|=-7,

故选：B.

【变式6-1］（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a&=2a-b.例如2④=2X2-3=1,则（x+y）

3（2x-y）化简后的结果是（）

A.-3x+3yB.yC.-3x-yD.3y

【分析】根据新定义运算列出算式，然后去括号，合并同类项进行化简.

【解答】解：原式=2(x+y)-(2r-y)

=2x+2y-2x+y

=3)，，

故选：O.

【变式6-2]定义：若。+b=0,贝J称。与匕是关于原点的归零数.

(1)-2与2是关于原点的归零数,7-x与x7是关于原点的归零数:

(2)若a=-3?