专题26 切线的判定和性质【九大题型】（举一反三）（苏科版）（解析版）

专题2.6切线的判定和性质【九大题型】

【苏科版】

♦题型梳理

【题型1有关切线的说法辨析】.........................................................................1

【题型2判断或补全使直线为切线的条件】.............................................................4

【题型3证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】....................................................9

【题型4证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】...................................................16

【题型5利用切线的性质求线段长度】................................................................20

【题型6利用切线的性质求角度大小】................................................................29

【题型7利用切线的性质证明】.......................................................................33

【题型8切线的判定与性质的综合运用】...............................................................38

【题型9过圆外一点作圆的切线】.....................................................................47

，举一反三

【知识点切线的判定】

（D切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）

③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条宜线是圆的切线

（2）切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.

【题型1有关切线的说法辨析】

【例1】（2023春•山东日照•九年级统考期中）如图，点B在。A上，点C在。A外，以下条件不能判定BC

是0A切线的是（）

A.ZA=50°,ZC=40°B.ZB-ZC=ZA

C.AB2+BC2=AC2D.0A与AC的交点是AC中点

【答案】D

【分析】根据切线的判定分别而各个选项进行判断，即可得出结金.

【详解】解：A、VZA=50°,ZC=40°,

AZB=180°-ZA-ZC=90°,

・・・BC_LAB,

•・•点B在。A上，

JAB是（DA的半径，

••・BC是。A切线；

B、VZB-NC=NA,

.*.ZB=ZA+ZC,

VZA+ZB+ZC=180°,

・・.NB=90。，

，BC_LAB,

•・•点B在0A上,

••・AB是。A的半径，

・・・BC是。A切线；

c、VAB2+BC2=AC2,

；・△ABC是直角三角形,ZB=90°,

ABC1AB,

•・•点B在。A上，

・・・AB是（DA的半径，

・・・BC是。A切线；

D、・・・。人与AC的交点是AC中点，

AAB=|AC,但不能证出NB=90。，

・••不能判定BC是。A切线；

故选:D.

【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内用和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解

题的关键.

【变式1・1】（2023春•九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）

A.与圆有公共点的直线B.经过半径外端的直线

C.垂直于圆的半径的直线D.与圆心的距离等于半径的直线

【答案】D

【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可

【详解】解：A.与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；

B.经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；

C.经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确：

D.与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，

这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【变式1-2]（2023春•西藏拉萨•九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）

A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线

【答案】C

【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案.

【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，

故A,B,D选项不正确，C选项正确，

故选：C.

【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.

【变式1-3]（2011秋・湖北黄冈・九年级统考期末）如图，已知AB、AC分别为O0的直径和弦，D为阮的中

点，DE垂直于AC的延长线于E,连接BC,若DE=6cm,CE=2cm,卜列结论一定错误的是（）

A.DE是。O的切线B.直径AB长为20cm

C.弦AC长为16cmD.C为脑的中点

【答案】D

【分析】AB是圆的直径，则NACB=90。，根据DE垂直于AC的延长线于E,可以证得ED/7BC,则DEJ_OD,

即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD,交BC与点F,则四边形DECF

是矩形，根据垂径定理即可求得半径.

【详解】解.：连接OD,0C.

•；D是弧BC的中点，则ODJ_BC,

・・・DE是圆的切线.故A正确；

ADE2=CE?AE

即：36=2AE

AAE=18,MAC=AE-CE=18-2=16cm.故C正确;

VAB是圆的直径.

/.ZACB=90°,

VDE垂直J-AC的延长线于E.

D是弧BC的中点，则OD_LBC,

・•・四边形CFDE是矩形.

ACF=DE=6cm.BC=2CF=12cm.

在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=V/1C2+BC2=V162+122=20.故B正确；

在直角△ABC中，AC=16,AB=20,

则NABC#30。，

而D是弧BC的中点.

・••弧AC声弧CD.

故D错误.

故选D.

【题型2判断或补全使直线为切线的条件】

【例2】（2023春・北京•九年级统考期末）在下图中，4B是。。的直径，要使得直线47是。0的切线，需要

添加的一个条件是.（写一个条件即可）

B

【答案】NA8T=/A7B=45°（答案不唯一）

【分析】根据切线的判定条件，只需要得到NBAT=90。即可求解，因此只需要添加条件：N/Wr=NA%=45。

即可.

【详解】解：添加条件：NA3T=乙474=45。，

,/AABT=ZATB=45%

/.N847=900,

又・.・48是圆。的直径，

・・/7是圆。的切线，

故答案为：N4B7=NArB=45。（答案不唯一）.

B

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键.

【变式2-1]（2023春・山东德州•九年级统考期中）如图，A、B是。O上的两点，4c是过A点的一条直线,

如果/AO8=120。，那么当/CAB的度数等于度时，4c才能成为。。的切线.

【答案】60

【分析】由已知可求得NO48的度数，因为OA_LAC,AC才能成为。。的切线，从而可求得NC48的度数.

【详解】解：中，Q4=08,ZAOB=\20%

：,LOAB=乙OBA=1（1800-4A0B）=30°,

•・•当0A_L4C即NOAC=90。时，AC才能成为。。的切线，

，当NC4B的度数等于60。，即。4_LAC时，AC才能成为。。的切线.

故答案为：60.

【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰二角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题

的关键.

【变式2-2］（2023春・河南信阳・九年级统考期中）如图，在RSABC中，ZACB=90°,以AC为直径作。O

交AB于D点，连接CD.

（1）求证：ZA=ZBCD；

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与。O相切？并说明理由.

【答案】（1）证明见试题解析：（2）M为BC的中点.

【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得NADO90。，再根据直角三角形的性质可得NA+NDCA=90。,

再由NDCB+NACD=90。，可得NDCB二NA；

（2）当MC=MD时，直线DM与00相切，连接DO,根据等等边对等角可得N1=N2,Z4=Z3,再根据

NACB=90叼WNl+N3=90。，进而证得直线DM与。O相切.

试题解析：（1）证明：:AC为直径，

・•・ZADC=90°,

・・・NA+NDCA=90。，

ZACB=90°,

/.ZDCB+ZACD=90°,

/.ZDCB=ZA：

（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与€）0相切;

解：连接DO,

VDO=CO,

AZ1=Z2,

VDM=CM,

JZ4=Z3,

VZ2+Z4=90°,

.\Z1+Z3=9O°,

直线DM与。O相切，

故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与。。相切.

考点：切线的判定.

【变式2-3］（2023春•江西上饶•九年级统考期末）已知：△ABC内接于。O,过点A作直线EF.

甲乙

（I）如图甲，AB为直径，要使EF为。O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①.

或②;

（2）如图乙，AB是非直径的弦，若NCAF=NB,求证：EF是00的切线.

（3）如图乙，若EF是00的切线，CA平分NBAF,求证：OC_LAB.

【答案】⑴①OA_LEF：②NFAC二NB；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】⑴添加条件是:①OAJ_EF或NFAC=NB根据切线的判定和圆周角定理推出即可.

(2)作直径AM,连接CM,推出NM=NB=NEAC,求出NFAC+NCAM=90。，根据切线的判定推出即可.

(3)内同圆的半径相等得到OA=OB,所以点O在AB的垂直平分线上，根据NFAC二NB,Z

BAC=ZFAC,等量代换得到NBAO/B,所以点C在AB的垂直平分线上，得到0C垂直平分AB.

【详解】⑴①OA_LEF@NFAC=/B,

理由是：①・・・OA_LEF,OA是半径，

••・EF是。O切线，

②.「AB是。0直径，

ZC=90°,

•••NB+NBAO90。，

VZFAC=ZB,

/.ZBAC-t-ZFAC=90°,

A0A1EF,

〈OA是半径，

・・・EF是。O切线，

故答案为：OA_LEF或NFAC=NB,

(2)作直径AM,连接CM,

E

C

乙

即NB=NM(在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等)，

VZFAC=ZB,

AZFAC=ZM,

••,AM是。。的直径,

JZACM=90°,

.\ZCAM+ZM=90°,

ZFACiZCAM=90°,

，EFJ_AM,

•・・0A是半径，

・・・EF是。O的切线.

（3）VOA=OB,

・••点O在AB的垂直平分线上，

VZFAC=ZB,NBAC=NFAC,

AZBAC=ZB,

工点C在AB的垂直平分线上，

・・・0C垂直平分AB,

AOC1AB.

【，点:睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直

于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角.

【题型3证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】

【例3】（2023春・江西宜春•九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在中，ZC=90°,AO平

分/BAC交BC于点D,。为A8上一点，经过点4,。的。分别交A8,AC于点£,F.

⑴求证：BC是。的切线：

（2）若A尸=8,CF=1,求。的半径.

【答案】（1）见解析

（2）。的半径为5.

【分析】（1）连接OQ,可得04=8,根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得NOD4=NCA。，根

据“内错角相等，两直线平行“可得OD〃4C，根据平行线的性质，可得NO0B=NC=9O。，再根据切线的

判定方法，即可判定；

(2)过点。作0G1AE,交心于点G,根据垂径定理可得AG=FG=:A/=:x8=4,故CG=5,根据

22

矩形的判定和性质，即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接0。，则。4=0。，

:.ZODA=ZOAD,

人。是NB4C的平分线，

:.ZOAD=ZCAD,

.•.NOD4=NC4D,

:.0D//AC,

NODB=NC=90°,

•「0。为，。的半径，点。在。上，

・・・BC是。的切线：

(2)解：过点O作OG_LAF,交AF千点G,如图,

:.CG=CF+FG=\+4=5,

•.OG±AF,

/.ZOGC=90°,

.ZODfi=ZC=90°,

zO/X?=ZC=ZOGC=90°,

二•四边形O/TG是矩形，

..DO=CG=5,

二.O的半径为5.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的

定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线.

【变式3-1](2023春•全国•九年级专题练习)如图，RtZXABC中，/4=90。，以A8为直径的。交8c于

点D,点E在上CE=C4,AB,CE的延长线交于点F.

⑴求证：CE与。相切；

⑵若④。的半径为3,EF=4,求CE的长.

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】(1)连接OE、AE,则OE=Q4,所以NOE4=NQ4E,由CE=C4,得NCE4=NC4E,所以

ZCEO=ZCEA+ZOEA=ZCAE+ZOAE=9(r,即可证明。£与(。相切；

(2)由切线的性质得NFEO=90。，OE=OA=3,EF=4,得OF=")E?+EF?=5,则AF=OF+CM=8,

即可根据勾股定理列方程CE2+8?=(4+CE)2,求解即可.

【详解】(1)证明：如图，连J妾。E、AE,

则。£=。4,

/.ZOEA=ZOAE,

\-CE=CA,ZG4O=90°,

:.ZCEA=ZCAE,

：.ZCEO=ZCE4+4OEA=ZCAE+ZCME=ZCAO=90°,

CE经过：。的半径OE的外端，HC£±OE,

・•.CE与GO相切.

(2)解：由(1)知CE与。。相切，

・•・/庄0=90。

VOE=OA=3,律=4,

:.OF=ylOE2+EF2=V32+42=5,

/.AF=OF+OA=Sf

•••ZGAF-900

/.CA2+AF2=CF,2,

VC4=CE,CF=4+CE,

.\CE2+82=(4+CE)2,

.•.6=6,

.•.CE的长为6.

【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线

是解题的关键.

【变式3-2](2023春・江西九江•九年级校考期中)如图，A4为。的直径，。为。O上一点，尸为BC延长

线上的一点，使得NA4C=/8.

⑴求证：AP是。的切线.

(2)/为。上一点，且0C经过A尸的中点E.

①求证：ZB=NC4E；

②若AE=2CE,AC=2也，求。的半径长.

【答案】（I）见解析；

⑵①见解析；②[0的半径为5.

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出NAC8=90。，进而得出NC4B+N%C=90。，即NB48=90。，

即可得出结论；

（2）①先根据直径所对的圆周角是直角得出NACA=N8CO+4CE=90。，进而得出N8+/4CE=90。，根

据题意可得出AE_LOC,推出NC4E+NACE=90。，即可得出结论；

②设CE=x,则AE=2x,由①知AE_LOC,得出AACE和AAOE都是直角三角形，在Rt..4CE中，根据勾

股定理得出（2xY+r=。石『，求出CE=2,AE=4,在RtAAOE中，根据勾股定理得出

42-I-（OA-2）2=OA2,即可得出答案

【详解】（1）证明：•1AB为：。的直径，

・•・ZAC£?=90°,

；・NC4B+NB=90。，

乙PAC=4B,

:.ACAB+/PAC=90°,即ZPAB=90°,

/-AP±AB,

是。的切线：

（2）①证明：・・・八4为0O的直径，

/.ZACB=NBCO+ZACE=90°,

•：OC=OB,

・•・tB=4BC0,

Z«+ZACE=90°,

•；0C经过"的中点E,

・•・AE1OC,

/.ZC4E+ZACE=90°,

/.ZB=ZC4E；

②解：设CE=》JMAE=2x,

由①知AEA.OC,

・•・AACE和△AOE都是直角三角形,

在Rt&ACE中，AE2+CE2=AC2,

:.（2x）2+x2=（2>/5）2,

解得:x=2（负值舍去），即CE=2,AE=4,

在RtZXAOK中，AEZ+OEZ=AOZ，

・•・42+（OA-2）2=O42,

解得：0A=5,即（O的半径为5.

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键.

【变式3-3］（2023春・江苏无锡・九年级统考期中）如图，已知半径为5的M经过x轴上一点C,与），轴交

于A、B两点,连接AM、AC,AC平分NOAM,AO+CO=6.

⑴判断M与x轴的位置关系，并说明理由;

（2）求84的长.

【答案】（I）相切，理由见解析

⑵6

【分析】（1）连接OM，由4c平分NOAM可得NO4C=NC4A1,又MC=AM,所以NC4M=NACM,

进而可得NQ4C=NACM,所以Q4〃MC,可得MC_Lx轴，进而可得结论；

（2）过点M作MN_Ly轴于点N,则AN=8V,且四边形MNOC是矩形，设八。=科可分别表达MN和ON,

进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；

【详解】（1）解：0M与x轴相切，理由如下：

如图，连接

AC平分NOAM,

:.ZOAC=ZCAM,

又•.MC=AM,

/.ZC4M=ZACM,

:.^OAC=ZACM,

:.ON"MC,

04J_x轴，

.•.MCJ_x轴，

•.CM是半径，

二.M与x轴相切

（2）如图，过点“作MV_Ly轴于点N,

ZMCO=Z4OC=AMNA=90°,

二•四边形MVOC是矩形，

:.NM=OC,MC=ON=5,

设AC=m,则OC=6-m,

.\AN=5-ni,

在即二/VVM中，AM2=AN2+MN2,

52=（5-/n）2+（6-/n）2,

解得〃?=2或〃?=9（舍去），

A7V=3,

二.AB=6.

【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式,

题目比较简单，关键是掌握相关定理.

【题型4证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】

【例4】（2023春•山东日照•九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形4BC。中，/ABC=90o,AD〃8C,

CB=CD,连接BD,以点B为圆心，84长为半径作。交B/）于点£

（I）试判断CO与08的位置关系，并说明理由.

（2）若A8=6,NBDC=60。,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）相切，理由见解析：（2）6G-3乃

【分析】（I）过点B作8P_LC。，证明△r8。，得到8F=8A,即可证明CO与圆B相切；

⑵先证明△4CO是等边三角形，根据三线合得到NA/3/A30。，求出4D再利用阴影部分的面积=SA/W。

S电fMHE求出阴影部分面积.

【详解】解：（1）过点8作8以LCD,垂足为R

VAD//BC,NA5c=90。,

・•・ZABC=90°,

・・・NBAO=90。，

:・/BAD=/BFD,

•：AD//BC,

/.NADB=/CBD,

/.CB=CD,

・••Z.CBD=ZCDB,

・•・NADB=/CDB,

在乙/^^和仆FBD中,

NADB=NCDB

</BAD=4BFD,

BD=BD

△ABDWAFBD(AAS),

・・・BF=BA,则点尸在圆8上，

・・・C。与。8相切；

(2)VZBCD=60°,CB=CD,

•••△8C。是等边三角形，

AZCT/)=60°,

•・,BFLCD,

：.NABD=NDBF=NCBF=30°,

/.NABF=60°,

•IAB=BF=6,

：.AD=。产=26

J阳影部分的面积;SAABD-S糜形ABE

=RM£

二6右一34.

【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函

数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线.

【变式4-1］（2023•江西南昌.九年级期末）如图，。为正方形ABC。对角线上一点，以。为圆心，（M长为

半径的。。与4c相切于点M.

（I）求证：C。与©。相切.

（2）若正方形A8C。的边长为1,求半径的长.

【答案】⑴见解析；（2）OA=2-42

【分析】（1）根据正方形的性质可知，AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可;

（2）根据正方形的边长求出AC的长，再根据等腰直角三角形佗性质得出0C二疯）A

即可求出.

【详解】解：（1）如图，连接。例，过点。作ONJ_CD于点N,

TOO与4c相切，OM1BC

•・•四边形A8CD是正方形，

1•AC平分N8CO,：.OM=ON.

；・CD与0相切.

(2)・・•四边形A8CD为正方形,

JAB=l"=90',/4CQ=45°,

AAC=V2,NMOC=NMCO=45°,

・・・MC=QM=OA,

•**OC=ylOM2+MC2=立OA•

又AC=OA+OC,

：.（）A+OOA=也，解得OA=2-

【点睛】本题主要考查了正方膨的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.

【变式4-2]（2023•武汉模拟）如图，在RSABC中，N8=90。，N8人。的平分线交8C于点，E为AB

上的一点，DE=DC,以。为圆心，。3长为半径作。。，A6=5,EB=3.

0）求证：4c是。。的切线；

12）求线段AC的长.

A

【分析】(1)过点D作L)卜」AC于卜，求出BD=D卜等于半径，得出AC是。D的切线.

(2)先证明△BDE0ZkDCF(HL),根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF,得出AB+EB=

AC.

【解答】证明：(1)过点D作DF_LAC于F；

•••AB为。D的切线，

/.ZB=90°

AAB1BC

TAD平分NBAC,DF1AC

・・・BD=DF

・・・AC与。D相切；

(2)在^BDE^ADCF中；

VBD=DF,DE=DC,

ARtABDE^RtADCF(HL),

/.EB=FC.

VAB=AF,

AAB+EB=AF+FC,

即AB+EB=AC,

【变式4-3](2023•椒江区一模)如图，AABC为等腰三角形，。是底边8C的中点，腰48与。O相切于

点、D.求证：AC是。。的切线.

【分析】过点0作OE_LAC于点E,连接OD,OA,根据切线的性质得出AB_LOD,根据等腰三角形三线

合一的性质得出A0是NBAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD,从而证得结论.

【解答】证明：过点O作OE_LAC于点E,连接OD,0A,

•••AB与。0相切于点D,

AAB10D,

:△ABC为等腰三角形，0是底边BC的中点,

・・・AO是NBAC的平分线，

AOE=OD,即0E是。。的半径，

•・•圆心到直线的距离等于半径，

・・・AC是。O的切线.

【知识点2切线的性质】

(1)切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

(2)切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

【题型5利用切线的性质求线段长度】

【例5】(2023春・河南・九年级校联考期末)如图，48为。。的直径，C,E是。。上不同于4B的两点，过

点C的切线垂直于4E交力£的延长线于点。，连接AC.

D

C

£

⑴求证：品=鼠:;

（2）若AC=4^3,CE=36，则CD的长为.

【答案】（1）见解析

⑵?

【分析】（1）连接CO,可证4DII0C,从而可证，£MC=乙。力8,即可求证.

（2）过C作CF14B交AB于F,可求8c=3K，AB=y/AC2+BC2,^AC-BC=^AB-CF,接可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接CO,

•・•。。为。。的切线，

0C1CD,

ADLCD,

:.AD||OC,

:.Z.DAC=Z.ACO,

vAO=CO,

•••乙CAB=LACO,

•••Z.DAC=LCABJ

：•EC—DC•

(2)解：过。作CFJ,力B交48于F，

由(1)得：/-DAC=Z.CAB,

CE=BC=3遮，

•••CD1AE,

CD=CF,

•••4B是。。的直径，

•••Z.ACB=90°,

AB=y/AC2+BC2

=J(4⑹2+(3⑹,=56，

--AC-BC=-AB-CF,

22

:.4\/3x373=5V3CF,

解得：CF=yV3,

・•・CD=-\[3；

5

故答案:囚百.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅助

线，掌握相关的性质是解题的关键.

【变式5-1](2023春・北京西城•九年级北师大实验中学校考开学考试)如图，48是。。的直径，点C在。。

上，过点C作。。的切线/,过点3作8。J.1于点。.

A

BD

（1）求证：8（；平分

（2）连接0。，若乙48。=60。，CD=y[3,求。。的长.

【答案】（I）证明见解析

⑵歹

【分析】（1）连接0C,求得。CIIB。，得到N0BC=zC8。，即可求得BC平分上A8D.

（2）连接4C,求得乙4cB=90。，在Rt^BDC中，求得BC=2次；在Rtz\4CB中，AB=2AC,OC=2；在

RtAOCO中，利用勾股定理可求得。。二夕.

【详解】（1）证明：如图，连接。C.

•・•直线/与。。相切于点C,

：.0C1I于点C.

：,LOCD=90°.

'：BDI2于点D,

.\ZFDC=9O°.

:•乙OCD+乙BDC=180°.

：.0C||BD.

・"OCB=乙CBD.

'：0C=OB,

:•乙OBC=Z.OCB.

：.LOBC=乙CBD.

・・・8C平分乙4皿

(2)解：连接力C.

•••718是。。的直径，

・・・〃C8=90。.

•：LABD=60°,

:•乙OBC=Z-CBD=\z.ABD=30°.

2

在RtABOC中，

'：LCBD=30°,CD=V3,

：.BC=2CD=2百.

在RtA/CR中，

•"BC=30°,

：.AB=2AC.

,：AC2+BC2=AB2,

：.AB=4.

：.OC=-AB=2.

2

在Rt/kOCO中，

*：0C2+CD2=OD2,

：・0D=V7.

【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线

是解决问题的关键

【变式5-2］（2023春・广东韶关•九年级校考期末）如图，已知△4BC内接于0O,是。O的直径，点/在

。0上，且点。是弧的中点，过点C作。。的切线交48的延长线于。点，交4F的延长线于E点.

⑴求证:AE1DE；

（2）若40=30。，AE=3,求CD的长.

【答案】（I）见解析

（2）273

【分析】（1）连接。。，根据OE切。。于C,故OC_L0E,根据点C是酥的中点，故=根据

等边对等角可得484。=乙0。4,即可推得0CIL4E,即可证明；

（2）连接交0C于G,根据48是。0直径，故48凡4=90。，结合（1）中结论可得四边形CEFG是矩形，

根据含30度角的直角三角形特征可得力。=24£=6,DO=2C0=2BO,即可推得4。=3co=6,求得

CO=2,DO=4,根据勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：连接OC,如图

：.0C1DE

•・•点C是肝的中点,

：.LBAC=Z.EAC

*：QC=0A

：.LBAC=/.OCA

：.LEAC=乙OCA

：.OC\\AE

：.AE1DE

（2）连接B/交OC于G如图,

：.£BFA=90°

由（1）可得。C_LDE,AE1DE

・・.四边形C"G是矩形，

：・CO1BF,CF=GF,4D=乙ABF=30°

:・BG=GF

在RtAADE中，ZD=30°,AE=3

：,AD=2AE=6

在COO中，Z.D=30°

：.DO=2CO=2BO

：.AD=3CO=6

:.CO=2,DO=4

:.DC=VDO2-CO2=2V3

【点睛】本题考查了平行线的判定，直径所对的圆周角是90度，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角

形特征，勾股定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键.

【变式5-3］（2023春•广东汕头・九年级统考期末）如图，力B是0。的直径，点。是O。上一点，4D与过点

C的切线垂直，垂足为点。，直线DC与4B的延长线相交于点P,G是△4的内心，连接CG并延长，交。。

于E,交AB于点F,连接BE.

(I)求证：4C平分4048；

(2)连接8G,判断aEBG的形状，并说明理由;

(3)若8c=2或，AC=4V2,求线段EC的长.

【答案】(1)见解析

(2)等腰三角形，见解析

(3)6

【分析】(1)由切线的性质可得出0clp0,结合题意可证0CII40,即得出N4C。=4D4C.再根据同圆

半径相等和等腰三角形的性质，艮J得出4/IC。=N&4。，从而易证4C平分N/Z4B；

(2)由直径所对圆周角为直角可知〃=90。.再根据三角形内心的性质可知===

45°,乙CBG=乙FBG.由同弧或等弧所对圆周角相等可知/4CE="BE=45°,从而结合三角形外角性质

得：^BCE+LCBG=2LABE+LFBG,即28GE=ZE8G,即证明△E8G为等腰三角形；

(3)连接0E,作BM1CE交CE于点M,由圆周角定理可知/BOE=2ZBCE=90。.根据勾股定理可得出

AB=>/BC2+AC2=2a3,即得出0E=OB=\AB=同，从而由等腰直角三角形的性质结合勾股的定理

求出BE=&。8=2遥.乂易证△BMC为等腰直角三角形，同理可求出BM=MC=¥BC=2,最后再次

利用勾股定理即可求出EM=>/8£2一BM2=4,进而可求出CE=MC+EM=6.

【详解】(1)•・•口)是。。切线

：.0C1PD.

*：AD1PD,

：.0C||AD.

：.^ACO=^DAC.

又•••"=0Af

：.LACO=Z.CAO,

：.LCAO=/.DAC,HfJAC平•乙DH8；

(2)aEBG为等腰三角形，理由如下，

•••WB为。0的直径，

：.LACB=90°.

TG是△ACB的内心，

：乙乙乙

,LACE=BCE=2-ZLACB=45',CBG=FBG.

.Ai=Ai.,

：,LACE=/-ABE=45°,

工乙BCE+乙CBG=乙ABE+4FBG,

:•乙BGE=乙EBG,

•••△EBG为等腰三角形；

(3)连接。巴作BM1CE交CE于点M,如图所示：

由圆周角定理可知"80E=2乙BCE=90°.

'：HC=zV2,AC=4Vz,Z.ACB=9UU,

：.AB=y/BC2+AC2=2屈,

：

,OB=-2AB=VlO.

•：0E=OB,

：.BE=y[2OB=26.

•：BMICE,乙BCE=45。,

•入BMC为等腰直角三角形,

：・BM=MC=—BC=2,

2

:・EM=\/BE2-BM2=V20-4=4,

・・・CE=MC+£M=2+4=6.

【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的性质，圆周角定理及其推论，三角形内心的性质，等腰直角三角形

的判定和性质，勾股定理等知识.熟练掌握圆的相关知识是解题关键.在解（3）时正确作出辅助线也是关

键.

【题型6利用切线的性质求角度大小】

【例6】（2023春・重庆南岸•九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，4?是。。的直径，AB,是O0

的弦，CD是。。的切线，C为切点,。。与。。交于点£若点C为废的中点，40=32。，则41cB的度数为

（）

A.56°B.58°C.61°D,68°

【答案】C

【分析】如图：连接。8,根据切线的性质得到0C1C。，根据直角三角形的性质求出NC0。，曰点C为防的

中点可得Z.80C=4。。。,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答.

【详解】解：如图：连接。8,

是。。的切线,

：.0C1CD,

：.LOCD=90°,

VzZ)=32°,

・••乙COD=90°-32°=58°,

•••点C为座的中点，

：,LBOC=乙DOC=58°,

*：0B=OC,

：,LACB=1（180°-4COB）=61°,

故选：c.

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰二角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成

为解答本题的关键.

【变式6-1］（2023春・河南信阳・九年级校联考期末）如图，A8是0。的直径，点P是。。外一点，P。交。。于

点C,连接BC,PA.若4户=36。，且PA与。。相切，则此时ZJ3等于（）

A.27°B.32°C.36°D.54°

【答案】A

【分析】先利用切线的性质求出4/10P=54。，再利用等腰三角形的性质即可得出结论.

【详解】解：•.・。力是0。的切线，

•••/.PAO=90°,

Z.A0P=90°一乙P=54°,

•••OB=OC,

Z.A0P=2/.B,

:.乙B=+乙A0P=27。，

2

故选：A.

【点睛】此题考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解题的关健是熟悉切线的性质和等腰三角形的性质.

【变式6-2］（2023春・广东梅州•九年级校考开学考试）如图：P是。。的直径的延长线上一点，P4是。0

的切线，A为切点，ZP=40%贝比力CP=.

C

D'0

【答案】25。

【分析】如图，连接。4,由尸人是。。的切线，可得乙。AP=90。，则乙力。尸=50。，由圆周角定理得，LACP=

3乙4OP,计算求解即可.

【详解】解：如图，连接。4

TPA是。。的切线,

：.LOAP=90°,

VzP=40°,

J.^AOP=50°,

由圆周角定理得，〃CP=*4OP=25。,

故答案为:25°.

【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

【变式6-3］（2023春・江西宜春•九年级江西省丰城中学校考期末）如图，点A,B在圆。上，且44OB=30。,

点P是射线。8上一动点（不与点O重合），连接4P,将△/1P。沿/P折叠得至lJ△力PO',当△/1P。'的边所在

的直线与圆。相切时，的度数为.

【答案】105。或60°或15。

【分析】根据折叠的性质和圆的性质，分三种情况讨论：当。勿所在直线与圆。相切于点A时，当4P所在宜

线与圆。相切于点人时，当P。所在直线与圆。相切时，不同情况进行解答即可.

【详解】解：由折叠的性质得4。4P=LO'AP.

①当。工所在直线与圆。相切于点A时，分两种情况讨论：

a、若点O'在OA上方，如图（1）,

O'

图⑴

由折叠性质可得：^OAP=^AO'AO=Ix90°=45°,

：.LOPA=180°-z.0-乙OAP=105°；

图⑵

易得NOZ1P=1（360°-Z-O'AO}=135°,

：.AOPA=180°-zO-/.OAP=15°：

②当AP所在直线与圆。相切于点A时，如图（3）,

图⑶

•••"。8=30。，

：.LOPA=180。一乙。=60°：

③当P0,所在直线与圆。相切时，设切点为C,如图(4),

图⑷

易知此时点〃的位置与图(3)中相同，故4=6。。；

综上，珠PA的度数为105。,60。或15。；

【点睛】本题主要考查了圆的性质，掌握好圆的相关知识是解题的关键.

【题型7利用切线的性质证明】

【例7】(2023春•河北邢台・九年级校联考期末)如图，8D是的直径，是。。的弦，过点A的切线交

BD的延长线于点C,AB=AC.求证：△/C。三△4BD.

【答案】证明见解析

【分析】根据8。是O。的直径，得ZB40=90。，AC是O。的切线，得出々OAC=90°,由力8=AC得48=(C,

根据ASA即可证：△ACO=(ABD.

【详解】证明：・・・8。是。0的直径，

・"DAB=90°.

•・YC是。。的切线，

：,LOAC=90°.

：.£CAO=乙BAD

VAB=AC,

Azfi=z.C.

在AAC。和△AB。中,

Z.C=乙B,

AC=AB,

Z.CAO=乙BAD,

：.^ACO三△48D(ASA).

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，全等三角形II勺判定与性质，熟练掌握直径所对的圆周角

是直角和切线的性质是解题的关键.

【变式7-1】(2023春・河南驻马店•九年级统考期中)如图所示，是。。的直径，点E为线段。8上一点(不

与0,B重合)，作CEJ.OB,交0。于点C,垂足为点E,作宜径CD,过点。的切线交。8的延长线于点P,

力尸_1网;于点尸，连接C8.试证明：

(1)CB是NECP的角平分线;

(2)CF=CE.

【答案】(I)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可；

(2)欲证明C"=CE,只要证明△力C尸丝△力CE即可.

【详解】(1)OC=OB,

•••Z.OCB=Z.OBC,

•••「尸是0。的切线，CE工AB,

:.Z.OCP=Z.CEB=90°,

:.Z.PCB+/.OCB=90%乙BCE+Z.OBC=90°,

:.乙BCE=乙BCP,

•••8c平分乙PCE.

(2)连接4C.

F,

是直径，

Z.ACB=90°,

Z.BCP+Z.ACF=90°,LACE+乙BCE=90°,

vZ.BCP=乙BCE,

：•Z.ACF=Z.ACE»

vZF=Z.AEC=90°,AC=AC,

•••△ACF也△ACE(AAS),

•••CF=CE.

解法二：连接力C.

•••OA=OC

:.Z.BAC=Z.ACO,

•••CO平行AF,

•••/.FAC=AACD,

•••Z.FAC=Z.CAO,

vCF1AF,CELAB,

CF=CE.

【点睛】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

【变式7-2](2023春・广东江门•九年级统考期末)如图，点A、B、C在。。上，直线/与相切于点A.

H

A

（1）试问：乙1与N/1C8有怎样的大小关系？证明你的结论：

⑵如果我们把形如乙1这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论.

【答案】（1）41=乙4。8,理由见详解；

⑵弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角.

【分析】（1）连接4。并延长交。。于点。，连接B。，由圆周角定理利出乙8/10+40=90。，由切线的性质

得出=90。，得出N1=乙0,进而则可得出结论；

（2）由弦切角和对应的圆周角的关系，直=直接写出结论即可.

【详解】（1）解：乙1=乙力。8,理由如下：

连接A。并延长交。。于点。，连接BO,

•.YO是0O的直径，

：,LABD=90°,即：乙BAD+4D=90°

•••直线I与。。相切于点A.

：.AD1I,即：血。+/1=90。，

.*.zl=乙D,

9：LACD=乙D,

AZI=Z-ACD；

（2）解：由题意得：弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角.

【点睛】本题考查了切线的性质，弦切角的定义，圆周角定理，理解弦切角的概念和圆周角定理的推论是解

题的关键.

【变式7・3】（2023・安徽•九年级统考期中）已知：如图，点P是。。外一点，过点P分别作。。的切线24、PB,

切点为点4、B,连接04过点。作0D||PA交PB于点D,过点。作。C1PA于C.

(I)求证：四边形0/1C0是矩形；

(2)若“=45°,。。的半径为r,试证明四边形04CD的周长等于2(&+l)r.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【详解】试题分析：

(1)由PA是。。的切线可得NOAP=90。，结合OD〃AP可得/O=90。，再结合DC_LAP即可得到四边形

OACD矩形了；

(2)如图，连接OB,由四边形AOCD是矩形结合。0的半径为r可得DC=OA=OB=r,由OD〃AP可得

ZBD0-ZP-450,由PB是O。的切线可得/OBD-9(T,由此可得BD-OBT,则OD-&r-AC,这样即可

由OA+AC+DC+OD求得四边形OACD的周长为2(&+l)r.

试题解析：

(1)VPA是。。的切线，切点为4

:.0A1PA,

,:0D||PA,

:.0A10D,

又：DC1PA,

・•・四边形04CD是矩形:

(2)如图，连接0B,

由(1)得，四边形。力。。是矩形,

・•・0A=CD=r,OD=AC,

•・•ODIIPA,

JZ.ODB=ZP=45°,

*/PB是。。的切线,

，乙OBD=90。，

・•・乙BOD=乙ODB=45°,

/.OB=BD=r,

在RS08D中，由勾股定理得：OD=&OB=岳,

:.四边形。力CD的周长=2(04+0D)=2(r+V2r)=2(V2+l)r.

【题型8切线的判定与性质的综合运用】

【例8】(2023春・湖北•九年级期末)A8为。。的直径，力为。。的切线，8QOP交。。于