专题224 相似三角形的性质【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题22.4相似三角形的性质【十大题型】

【沪科版】

【题型1利用相似三角形的性质求角度】...........................................................2

【题型2利用相似三角形的性质求线段长度】.......................................................4

【题型3利用相似三角形的性质求面积1...........................................................6

【题型4利用相似三角形的性质求周长】...........................................................8

【题型5利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】..............................................10

【题型6利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】........................................14

【题型7尺规作图作相似三角形】.................................................................19

【题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形】..................................................23

【题型9新定义中的相似三角形】................................................................28

【题型10相似与函数综合探究】..................................................................37

”片产-笈三

【知识点1相似三角形的性质】

①相似三角形的对应角相等.

如图，△A8CSZ\A&C,如有

ZA=Z/T,NB=NB',ZC=ZC.

②相似三角形的对应边成比例.

如图，△△6cs△4〃c，，则有

ABBCAC

k（k为相似比）.H'

48'B'CA!C

③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成

比例，都等于相似比.

如图，△ABCs/WB'C,AA/、47和AO是△ABC中8c

边上的中线、高线和角平分线，A'M'、ATT和A'。'是

△A'5'C'中8'C边上的中线、高线和角平分线，则有

ABBCAC.AMAHAD

-~：=­：~：=k=­：~-=­：~-=­：~-

A!B'B'CAC'A"4H'AfDf

④相似三角形周长的比等于相似比.

如图，AABCs/^VB'C',则有

ABBCACAB+BC+AC

~B'C~A!C~A!B'+B'C+A'C

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方.

如国，AABC/\A:BrC,则有

c-BCAH

'△ABC_2BC

A,wc—.B'C'"A'H'⑶C'A!H'

2

【题型1利用相似三角形的性质求角度】

【例I】（2022•湖南•永州柳子中学九年级期中）已知凡若财=50。，0E=7O°,则（3/的度数为（）

A.30°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】根据相似三角形的对应角相等求出射=团拉=50。，然后根据三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：^ABC^^DEF,

团财=团。=50°,

团团产=180°一团。一回E=180°-50°-70°=60°,

故选:B.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例.

【变式1・1】（2022•江苏•常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABSZkDAC,鼬=31。，0D=

117%贝幅AC。的度数是（）

A.32°B.48°C.64°D.86°

【答案】C

【分析】根据相似三角形的性质得到回。ACW8=31。，0BAC=0D=117°,^BCA=^ACD,根据三角形内角和定理

计算即可.

【详解】解：而SABCIZEOAC,05=31°,0D=117°,

物OAC=M=31°,团BACM£>=117°,^BCA=^ACD,

团团3CD=（3/CA+EMCD=2（180°-31°-117°）=64°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.

【变式1-2］（2022•全国•九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EOF,则

乙力BC+乙4cB的度数为（）

D

A

A.135uB.90°C.60QD.45u

【答案】D

【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180。，即可得出.

【详解】解：豳AB63EDF,

^BAC=^DEF,

又明。痔=90°+45°=135°,

005AC=135°,

团/ABC+/-ACB=180°-乙BAC=180°-135°=45°.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系.

【变式1-3］（2022•云南楚雄•九年级期末）如图，点4、B、C、D四点共线,4P8C是等边三角形，当zJPHB~/DPC

时，ZAPD的度数为（）

A.120°B.100°C.110°D.125°

【答案】A

【分析】根据4P48〜4OPC得出乙A=4OPC,根据4PBe是等边三角形得出NP8C=N8PC=6O0,根据外

角的性质得出，力+41尸8=4。8。=60。，可推出4108+4DPC=60。，从而即可得到答案.

【详解】vAPAB-ADPC

:.LA=Z.DPC

•••/P8C是等边三角形

LPBC=乙BPC=60°

LA+/.APB=乙PBC=60°

LAPB+Z.DPC=60°

Z.APD=LAPB4-乙PBC+乙DPC=120°

故选A.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解

题的关键.

【题型2利用相似三角形的性质求线段长度】

【例2】（2022•全国•九年级课时练习）如图，在伺4BCD中,18=10,AD=6,E是4。的中点,在CD上取

一点F,使aCBF回AABE,则DF的长是（）

6.4C.5D.1.8

【答案】A

【分析】E是40的中点可求得力工根据三角形相似的性质可得%=篱，可得CF的长即可求解.

【详解】解：团E是4。的中点，AD=6,

四£=*=3,

又便△CBFaAABE,

CFBCCF6

一=一,即nn—=一

ASBA310

解得CF=1.8,

DF=DC-CF=10-1.8=8.2,

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键.

【变式2-1］（2022•全国•九年级专题练习）如图，^ABC^DEF.相似比为1团2,若4C=1,则EF的长是

c

【答案】B

【分析】根据已知条件得到需=；,即可得到所=2BC=2,问题得解.

EF2

【详解】解：豳ABCSEDEF,相似比为峰2,

段一

EF2

^EF=2BC=2.

故选：B

【点睛】本题考查了相似的性质，熟知相似三角形的性质是解题关键.

【变式2-2］（2022•全国•九年级专题练习）已知△48。〜ZiDEF,团人的三边长分别为直，V14,3,田DEF

的其中的两边长分别为1和6，则第三边长为.

【答案】W

【分析】先求得相似比，再列式计算求得

【详解】设国。七厂的第三边长为工,

•••△A8C〜ADEF且团ABC的三边长分别为鱼，V14,3,

0OE尸的其中的两边长分别为1和夜，

团团。E/的第三边长为尊

故答案为：乎

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键.

【变式2・3】（2022•吉林・长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中％=

【答案】2V2

【分析】先根据三角形内角和定理求出NC的度数，由相似三角形的判定定理可判断出AABCsAD",再根

据相似三角形的对应边成比例即可解答.

【详解】解：:418。中，Z.A=45°,Z.B=30°,

ZC=180°-Z.A-Z.B=180°-45°-30°=105°,

•:乙E=LB=30°,乙C=Z.F,

:・LABC~XDEF,

.:吐=”,

EFDF

即2=在，

4x

:.x—2x[2.

故答案为：2V2.

【点睛】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单.

【题型3利用相似三角形的性质求面积】

【例3】（2022•陕西渭南•九年级阶段练习）若△ABCs^DEF,△ABC与△D2F的面积比为25:36,ABC

与AOE尸的对应边的比是（）

A.5:6B.6:5C.25:36D.36:25

【答案】A

【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出0ABC与团O的相似比即可.

【详解】解：^△/18。-2X。£＞尸且448。与40£77的面积比为25:36

回它们的相似比为5：6.

故选:A.

【点睹】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关

键.

【变式3-1]（2022河南新乡•九年级期末）A/IBC与AAB'C'的位似比是1:2,已知△4BC的面积是3,则

△4B'C'的面积是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】D

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可.

【详解】解：豳48。3国40。，相似比为1：2,

加与她宣。的面积比为1：4,

物/由C的面积是3,

配WB'C的面积是12,

故选:D.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.

【变式3・2】（2022•河北石家庄•九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大

为原来的倍.

【答案】9

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出即可.

【详解】解：团把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，

团面积扩大为原来的9倍,

故答案为：9.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能正确运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，

注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比.

【变式3-3］（2022•河南•鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在R/a48c中，I3BAC=900,AB=3,BC=5,

点D是线段8c上一动点，连结4。，以4。为边作0AOE,使（MDfSMBC,则财DE的最小面积等于.

【答案】《

【分析】根据勾股定理得到AC=4,当AD08C时，（MQK的面积最小，根据三角形的面积公式得到AO=

粤£=当=各，根据相似三角形的性质得到4£=尚由此三角形的面积公式即可得到结论.

BC555

【详解】解：（3在R/团48c中，团BAC=90。，/W=3,8c=5,

MC=4,

^ADE^ABC,

萨=丝，即丝=些

ABAC34

4

^AE=-AD

39

回当AD08c时，（MOE的面积最小，

团此时有S—8c.AC=：BC./O

„ABAC3X412

mMO=-------=—=—,

SC55

aazDE的最小面积=1x（y）2=宗

故答案为宗

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，正确的理解题意是

解题的关键.

【题型4利用相似三角形的性质求周长】

【例4】（2022・湖南株洲•九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3,4,5,另一个与它相似的直角

三角形的最小边长为7,则另一个直角三角形的周长是（）

A.—B.—C.21D.28

55

【答案】D

【分析】根据题意求出三角形的周长，根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算即可.

【洋解】解：设另一个直角三角形的周长为X,

13三角形的边长分别为3,4,5,

田周长为：3+4+5=12,

回两个三角形相似，

胫=三，

X7

解得：x=28,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.

【变式4-1]（2022•重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，财6。与

都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且助〃。翌明出。，则财与EA/B/G的周长之比是（）

A.1：2B.1：4C.2：3D.4：9

【答案】C

【分析】根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：00ABO3L4/B/C/,AB=2,4a=3,

的钻C与0A向。的周长之比岩=:

A]B]3

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

【变式4-2]（2022•辽宁•阜新市第四中学九年级阶段练习）已知AABC—DEF,其中48=12,BC=6,

CA=9,DE=3,那么△0EF的周长是.

【答案】？

4

【分析】根据两个三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比，即可解出r的周长.

【详解】因△ABCs&DEF

团相似三角形的周长比等于相似比

/48c=竺='

C^JEFDE3

国12十6+912

PI-----=—

CLDEF3

田=y

故答案为：子.

4

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的周长比等于相似比.

【变式4-3]（2022•辽宁鞍山•二模）已知△ABC，△ABC,且AB=24®.若△ABC的周长是18cm,那

么AA6'C'的周长是cm.

【答案】9

【分析】利用相似三角形的周长的比等于相似比求解即可.

【详解】解：0AABC^^A'B'C.

团遣ABC的周长:△4B'C’的周长=4B:4B'=2：1,

回△4BC的周长是18cm,

团△片夕。'的周长是9cm.

故答案为:9.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，用到的知识点为：相似三角形周长的比等于相似比.

【题型5利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】

【例5】(2022•北京市第一五六中学九年级期中)如图，已知力E平分鲂AC,空=空.

⑴求证：0E=0C；

(2)若A3=9,AO=5,QC=3,求3E的长.

【答案】(1)见解析

⑵BE=Z

【分析】(1)根据角平分线的定义可得=结合已知条件得出根据相似三角

形的性质即可得证；

(2)根据△84E〜AO/IC列出比例式，代入数据计算即可求解.

(1)

证明：西E平分回

=Z.DAC.

T-JABAE

乂而

0ABAEDAC,

0ZF=Z.C；

(2)

0ABAEDAC»

vAB=9,AD=5,DC=3,

9_BE

••.g=T，

解得BE=

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

【变式5-1］（2022•上海•测试•编辑教研五八年级期末）如图，在△48C中，点。、点E分别在AC、ABk,

点P是30上的一点，联结EP并延长交于点八且乙A=^EPB=^ECB.

⑴求证:BEBA=BP-BD；

⑵若4ACB=90。，求证：CP1BD.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】(1)证明ZkPBE和A/IBD相似，即可证明.

(2)先证明A/IBCmACBE,再证明△P8C13ACBD,得到NBPC=N8C0=90。，即可证明.

(1)

证明：vZ71=Z.EPB,乙PBE=UBD,

PFE0AABD,

爬=丝

BDBA

:.BE，BA=BP-BD.

(2)

证明：VZ.A=AECB,乙ABC=MBE,

CBE,

.BC_BA

"BE~'BC"

••.BE，BA=BC2,

Xl?BF-BA=BP•BD,

:.BC2=BP-BD,

.些_竺

•••Z.PBC=乙CBD,

nPBC孤CBD,

•••Z.ACB=90°,

•••Z.BPC=乙BCD=90°,

CP1BD.

【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比

例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式.

【变式5-2](2022•山东•东平县江河国际实验学校二模)如图，点D,E分别在AABC的边BC,AC±,连

接AD,DE.

(1)若13c=0BAD,AB=5.求BDBC的值:

(2)若点E是AC的中点，AD=>/2AE,求证：01=0C.

【答案】(1)25；(2)见解析

【分析】(1)由团C=(3BAD、回ABDWCBA可得出0ABD团团CBA,根据相似三角形的性质可得出翌=当进而

BCAB

即可得到结论；

(2)由点E是AC的中点、AD=4iAE,可得出第=笫结合(3DAE=13CAD可证出团DAE瓯AD,再根据相

似三角形的性质可证出田1WC.

【详解】解：(1)00C=0BAD,0B=0B,

0AABD〜ACBA

胜=N

BCAB

（3AB=5

团BD•BC=AB2=25.

（2）回点E是AC的中点，

0AC=2AE.

0AD=V2AE.

樱=红丝=乌

AC2AE2

AE_/IE__1__V2

AD-y/2AE-V2-2*'

喘畸，

又liDAE=［aCAD（公共角）.，

回［SDAE变CAD,

001=0C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据相似三角形的性质找出等枳式：（2）

由边与边之间的关系找出两边对应成比例，结合夹角相等证明三角形相似

【变式5-3］（2022•湖北恩施•二模）如图，在0A8C中，。、E、产分别是边AC,AB,BC上的点，DE\\BC,

DFWAB.

⑴求证：^B^EDF.

⑵若b=%C,求2&的值.

3SMED

【答案】（1）证明见解析

【分析】(1)证明四边形BEDr为平行四边形，从而得到乙8=4瓦)广；

(2)证明△CFCS^AED,利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解.

(1)

证明：vDE“BC,DE//AB,

二四边形BE8•是平行四边形，

:.LB=Z.EDF.

(2)

解：•・•CF=-BC,

3

ABF=^BC.

•.•四边形8E。『是平行四边形，

:.ED=BF=^BC.

vDE"BC,DF//AB,

:*Z.C=Z.ADE,乙CDF=Z.A,

:.△DFCAEDt

..."=(竺『=亦=工

S&AED〈ED,\2J4

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是将相似三角

形的面积之比转化为相似比的平方.

【题型6利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】

【例6】(2022•全国•九年级课时练习)如图，已知△4DE的顶点七在△ABC的边8c上，OE与4B相交于

点尸，Z.FEA=Z.B,Z.DAF=Z.EAC.

BE

(1)若人F=8r=4,求AE；

仅）求证:冷容

【答案】（1）见详解

⑵见详解

【分析】（1）根据4〃e4=N8,Z,BAE=Z.EAF,证明△从4E〜然后根据相似三角形对应边成比例

得到力F=AF-AB,即可得到结论;

（2）首先由/0AF=4C4E,得至此。力E=4&4尸，然后进一步证明ADAE~AGW,根据相似三角形对应边

成比例和对应角相等得到能=生4=”,然后根据两角对•应相等证明AD/1F〜AME,得到普=与，然

BCACECAC

后根据线段之间的转化即可证明出芸=啜

DECD

(1)

解：闭乙产E4=N8,Z-BAE=/-EAF,

0ABAE^△EAF,

^AE2=AF-AB,

^AF=BF=4,

^AE2=4(4+4)=32,

囹AE=4V2；

(2)

证明：^DAF=ACAE,^LFAE=Z-FAE,

团NDAE=Z.CAF,

^Z-FEA=乙B,

DAE^△CAB,

^DAF=乙EAC,

0ADAF^△CAE»

噬暇

冷=丝.

BCDE

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法.相

似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等.相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两

个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相

似.

【变式6-1]（2022・江苏•九年级专题练习）已知矩形人的一条边人0=8,将矩形4BCO折叠，使得顶

点B落在CO边上的。点处.如图，已知折痕与边8c交于点O,连接AP、OP.OA.

⑴求证:警=笫

（2）若。尸与鬼的比为1：2,求边A8的长.

【答案】（1）见解析；（2）10

【分析】（1）根据折叠的性质得到〃P0=乙8=90。，根据相似三角形的判定定理证明40CP〜/PZM,

进而解答即可；

（2）根据相似三角形的相似比得出PC=再利用勾股定理求解.

【详解】证明：（1）由折叠的性质可知，LAPO=LB=90°,

:.，APD+乙。PC=90°,又（POC+Z-OPC=90°,

/.Z.APD=Z.POC,乂NO=ZC=90。，

AAOCP〜APDA,

CC_OP

••而=而；

（2）•；”与PA的比为1：2,

PC=-AD

2=4,

设?18=%,则=AP=X9DP=x-4,

222

在/?£△/P0中，AP=AD+PDf即/=8?+（%—4）2,

解得，x=10,即AB=10.

【点睛】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠是一

种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等.

【变式6-2］（2022•全国•九年级专题练习）如图，在ZL4BC中，AB=AC,。是边BC的延长线上一点，E是

边AC上一点，且=m

【答案】见解析

【分析】由AB=4C可知4结合乙EEC=ND,判定△BCO〜△084即可得证.

【详解】证明：,.•48=4C,

:./.ABC=Z-ACB,

^LABD=乙ECB,

vZ.EBC=乙D,

•••△BCDDBA,

CEBC

:•—=--•

ZBBD

【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，等相关知识点，牢记知识点是解题关键.

【变式6-3］（2022•湖南益阳•九年级期末）如图，在财BC中，3BAC=90°,AZ）是8C边上的高，E是8。

边上的一个动点（不与8,。重合），EF^AB,EGEL4C,垂足分别为尸，G.

⑴求证：泊禽

（2）FO与。G是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；

【答案】（1）见解析

（2）广。与QG垂直，证明见解析

【分析】（1）由比例线段可知，我们需要证明△力DC〜△EGC,由两个角对应相等即可证得.

（1）由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△/口）〜

△CGD,从而不难得到结论.

⑴

在阴。C和团七GC中，

00ADC=0EGC,0C=0C,

^BADC^IEGC.

串=丝.

ADCD

（2）

FD与OG垂直.

证明如下：

在四边形4~EG中，

酿阴G=0AF£=0AGE=9O0,

回四边形AFEG为矩形.

^AF=EG.

段=纹

ADCD

监=三.

ADCD

乂或ABC为直角三角形，AD^BC,

00M/9=0C=9O°-0DAC,

00AFD00CGD.

团团4。尸=团CQG.

团团CQG+a4QG=90°,

^DF+^ADG=90°.即团尸QG=90°.

0FD0DG.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的两组对应角相等，那么这两个三角形

相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似.

【题型7尺规作图作相似三角形】

【例7】（2022•山东烟台•八年级期末）尺规作图：如图，已知且48＞力C.（只保留作图痕迹，

不要求写出作法）

⑴在48边上求作点D,使。3=DC；

（2）在AC边上求作点E,使^ADEACB.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）根据题意作出8c垂直平分线交AB于点。，即可求解;

（2）作44DE=乙4cB即可求解.

（1）

如图所示，作出8C垂直平分线交A8于点D,0点即为所求：

如图所示，作乙AOE=乙4cB交4C于点£,点E即为所求.

0Z/1=Z.A,Z.ACB=Z.ADE,

0AADEACB.

【点睛:］本题考查了作垂直平分线，作一个角等于已知先，掌握垂直平分线的性质，相似三角形的性质以

及基本作图是解题的关键.

【变式7・1】（2022•山东济宁•二模）如图,在中，48力。=90。,8。平分乙48c.

（1）求作△（：如.使点七在上，且AC“七.〜△。方。；（要求：尺现作图，保留作图痕迹，不写作法）

⑵在（1）的条件下，若8/1=g,乙4BC=60。，求CE长.

【答案】⑴见解析

（2）CE的长为手

【分析】（1）根据作一个角等于已知角进行作图即可；

（2）先求出回求30。,HABD=SCBD=30o,再求出CD与3c的长,再由△CDE-△C8D列出比例式第=刍

CDCB

再求解即可

⑴

作图如下:

Q)

团ZB4C=90°,4ABC=60°,

00C=3O°,

(3BO平分々ABC.

00/ifi£>=(aC^D=3Oo,

团在心A4BC中，BA=V3,团030°,

财C=aAB=3,BC=2AB=2V3,

回在心A4B。中，BA=V3,0ABD=3O%

y/3

团AD=?夕=1,

J

团CD=2,

[HACDECBD,

曜喑

解得：C氏詈.

【点睛】本题考杳了相似三角形的性质及判定及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角

形的性质.

【变式7-2］（2022•陕西宝鸡•一模）如图，在等腰射4c中，A8=4C,点。是AC边上一定点.请用尺规

作图法在3C上求作一点P,使得aABCWJPCQ.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】由0AB函PC。和人8=4C,可以推导出回PC。为等腰三角形，即可知点P在线段C。的中垂线上.

【详解】解：^AB（XPCD,

的=竺，

PCPD'

酿PCD是以P为顶点的等腰三角形，及P在线段CO的中垂线上，

如图，点尸即为所求.

【点睛】本题考查相似三角形的应用、尺规作图，通过相似找到线段关系，准确画出图像是解题的关键.

【变式7・3】（2022•江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形A8CO中，助二四.

⑴请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：

①过点。作4B的平行线交8c于点八

②?为AB边上的一点，且团D4P0（aP8C,请找出所有满足条件的点；

⑵在（1）的条件下，若AO=2,BC=3,AB=6,则AP=.

【答案】⑴见解析；

（2）3+6或3-R

【分析】（1）延KA。，作囹以"-财，则此时OFII/W;先作0c的垂直平分线，过点。作A3的垂线交A3

于点M,以。为顶点，CD为角的一条边，作（3Z）CO=AOM,交CD的垂直平分线于一点0,以。为圆心，以

0C为半径作圆，与的交点即为所求作的点P；

（2）根据相似三角形对应边相等，列出关于AP的关系式，求解即可.

⑴

如图所示：

。产即为所求作的平行线;

如图所示,

符合条件的点。共有两个；

(2)

^DAP^PBC,

造=丝，

PBBC

SAP=x,MBP=6-x,

嗫吗

即x(6—x)=6,

—x2+6x-6=0,

解得：=3+V3,%2=3-V5，

即4P=3+百或3-V3.

【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形相似的性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，线段的垂直

平分线，是解决本题的关键.

【题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形】

【例8】(2022•安徽合肥•二模)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，4、8、C、。四点均在正方形网

格的格点上，线段A8、C。相交于点O.

⑴请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“团〃符号写出这对相似三

角形:

⑵线段八。的长为.

【答案】（1）见解析，&AOC八BOD

⑵苧

【分析】（1）如图，连接8D,AC即可，可得△8。。〜△8。。.

（2）利用相似三角形的性质求解即可.

（1）

如图，连接4C，BD,

由格点图可得8DMC,

0AAOC〜匕BOD,

(2)

0AAOCBOD>

0D5=V12+I2=V2,4C=V32+32=3VL48=V22+22=2企，

）箸=3

加。二3。8,

如。=加="22=逆.

故答案为：斗

【点睹】本题考查作图-应用与设计，三角形的三边关系，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

【变式8-1］（2022河南南阳九年级期末）（1）如图，0A8C的三个顶点都在方格纸的格点上.在方格纸

内画△HB'C',使△AB'C'〜△4?。，相似比为2:1,且顶点都在格点上.

（2）AAB'C'的面积是.

C

【答案】（1）答案见解析；（2）12

【分析】（1）根据相似比为2:1先确定对应点的位置，再连接即可得到答案；

（2）先求出根据aABC的面积，然后根据相似三角形的性质得到△AB'C'的面积.

【详解】（1）如图，△4夕C'为所求作图形；（答案不唯一）

（2）由题意得，ShABC=1x3x2=3

•:RA'B'CJXABC,相似比为2:1

.SATB'C'_f

S&ABC1

^^A'B'C'=12

故答案为：12.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理及性质定理，涉及作图，熟练掌握知识是解题关键.

【变式8-2］（2022•浙江温州•九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图

痕迹）

⑴在图1中画出线段48的中垂线

(2)如图2,在线段48上找出点C,使/C:CB=1:2.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)取格点E,F,作直线£尸即可；

(2)将点4沿网格向下移动2个小格到点M,将点B沿网格向上移动4个小格到点N,连接MN交于点C,

则点C即为所求.

(1)

如图所示，利用网格线确定中点，然后使二者垂直即可；

将点A沿网格向下移动2个小格到点M,将点8沿网格向上移动4个小格到点N,连接MN交力8于点C,

：•AM-.BN=1:2,

•••△ACMfBCN,

«,%-A-M=_AC_1,

BNBC2

・••点C即为所求，如图所示:

N

/

A/

/B

M

【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问

题.

【变式8-3](2022•浙江温州•九年级期中)如图，在8x8的方格中，aABC的三个顶点都在小方格的顶点

上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上.

图2

⑴请在图1中画一个三角形，使它与^ABC相似，旦相似比为2：1

⑵请在图2中画一个三角形，使它与AABC相似，且面积比为2：1

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)已知△A4C的三边长分别为A6=&2+为=2企,AC=V12+22=V5,BC=3,则△力HG

的三边长分别为4/1=4或，A1G=2正,B1G=6,在图中画出"iBiQ即可;

(2)已知“8。的三边长分别为A8=，22+22=2vLAC=V12+22=V5,BC=3,则282c2的三边

长分别为42%=4,力2。2=/同，B2C2=3V2,在图中画出△AZB2c2即可.

(1)

如图2所小：ZiA242c2即为所求.

图2

【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键.

【题型9新定义中的相似三角形】

【例9】（2022•陕西渭南•九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三

角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线

（1）如图1,在四边形力BCD中，乙ABC=70°,AB=AD,ADIIBC,当4力DC=145。时.求证：对角线BD是

四边形的“理想对角线〃：

⑵如图2,四边形ABCD中，平分乙8c0,BC=3,CD=2,对角线AC是四边形/WC0的“理想对角线〃,

求AC的长.

【答案】（1）证明见解析；

（2）V6

【分析】（1）利用两角对应相等证明△48。SADBC,可得结论；

（2）利用“理想对角线〃的定义可得与△D4C相似，先找到对应角（分两种情况）,再利用相似三角

形的性质即可求解.

（1）

证明：如图1中，

团A,=AD,

如=LADB,

^ADIIBC,£.ABC=70°,

^Z-ADB=Z.DBC,

^/.ABD=乙DBC=-^ABC=35°,

2

^AD||BC,/.ADC=145°,

回4C=180°-/.ADC=180°-145°=35°,

团/ABD=乙DBC=Z.ADB=乙。=35°,

0AABDDBC,

回对角线8D是四边形力BCD的〃理想对角线〃.

解：如图2中，

^CA^6^BCD,

□z.PC/4=Z./1CD,

团对角线AC是四边形2188的“理想对角线〃，

团Zk/IBC与△0力。相似，

①若iA5c=2。4C,则AABCb△。力。，

吟=能^AC2=BC-DC,

WC=3,CD=2,

比4（/2=KC-DC=3X2=6,

解得：i4cl=V6,AC2=—V6（不合题意，舍去）

②若"4c=Z.DAC,

^AC=AC,LBCA=£.ACD,

团△力8c三△04C,与四边形的“理想对角线〃的定义矛盾,

团4BAC与4ZMC不相等，即第二种情况不存在.

综上所述，4c的长为n.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的"理想对角线〃的定义，等边对等角，平行线的性质，

角平分线的性质等知识.解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质.

【变式9-1］（2022•福建・厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们

把这样的三角形叫做“和谐三角形在中，点尸在边AC上，。是边8c上的一点，AB=BD,点A,

。关于直线/对称，且直线/经过点F.

（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图2,0A8C是“和谐三角形〃，三边长BC,AC,48分别a,b,c,且满足下列两个条件：/2b,和

〃2+4/=441：+〃-b-1.

①求小〃之间的等量关系：

②若4后是财3。的中线.求证：（MCE是“和谐三角形

AA

【答案】（1）见解析（2）①a斗+1②见解析

【分析】（1）作4。的垂直平分线，交AC于尸点即可；

（2）①根据题意得到〃=2c,联立a2+4c2=4ac+a-b-1即可求解;

②证明国48以兆CZM,得到等=；,故可求解.

CA2

【详解】（1）如图，点尸为所求；

（2）①画48c是"和谐三角形”

0«=2c

又。2+4。2=4。。+。-b-1.

联立化简得到+1:

②以E点是BD中点

=\AB

22

由①得到

又加3£=团。朋

^BABE^CBA

AB_BE_/IE_1

SC~AB~CA~2

故（L4CE是“和谐三角形

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的做法.

【变式9-2］（2022•江苏常州•九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分,

其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段〃.

图1图3

⑴在0ABC中,04=30.

①如图1,若鲂=100。，请过顶点C画出0A8C的“形似线段〃CM,并标注必要度数；

②如图2,若贴=90。，BC=1,则的"形似线段"的长是.

（2）如图3,在QEF中，DE=4,EF=6,DF=8,若EG是OEr的“形似线段〃，求EG的长.

【答案】（1）①见解析：②年或学

(2)3

【分析】（1）①使，BCM=30唧可，②利用一:角形相似求解，分论讨论，当"8。=30。时，"CDB=60°

时，结合勾股定理求解；

（2）进行分类讨论，若ADEGs&DFE,若XFEG—FDE,结合DE=4,EF=6,OF=8进行求解.

（1）

①如图所示，

图1

②分论讨论如下：

当"8。=30。时,如下图:

A

02

DC=-BC=-,

22

•••LA=30°,

zc=60°,

•••BD=yjBC2-DC2=—,

2

当/CDB=60。时，如下图:

图2

设8。=%,则DC=2x,

(2x)2=/+i,

解得：%

二DC=等，

贝IjE/WC的"形似线段"的长是?或容

故答案为：当或竽.

(2)

解：①若△DEGyME,

•••DE=4,EF=6,DF=8,

:.EG=3.

②若△PEGFDE,

DG

则竺=竺.

DEDF

•••DE=4,EF=6,DF=8,

：•EG=3.

综上，EG=3.

【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，勾股定理，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质，

及利用分论讨论的思想进行求解.

【变式9-3]（2022•安徽合肥•二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这

样的三角形为倍角三角形.根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以

通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关

问题.请通过这种方法解答下列问题：

⑴如图1,0ABC中，人。是角平分线，且=求证：财8。是倍角三角形;

（2）如图2,已知是倍角三角形，且乙4=2乙C,AB=8,BC=10,求4c的长；

⑶如图3,己知财3c中，Z.A=AB=8,BC=10,求AC的长.

【答案】（1）见解析

（2）AC=4.5

⑶疣=3

【分析】（1）根据相似三角形的判定可证MB诙C84,进而由相似三角形的性质可得回氏4D=ZC,角平分

线的性质可得同B4C=2I3孙。，等量代换即可求证结论；

（2）作S/WC的角平分线A。，根据角平分线的性质易得鼬AC=2（38AD=2团CAO,进而可证EA加曜1C8A,根

据相似三角形的性质可得4"=3。・弘,进而可得BD、CD,由等角对等边可得AD=CQ=3.6,根据相似

三角形的性质可得*=筹，代入数据即可求解；

ACAB

（3）过点A作团8AC的三等分角,AO,AE,分别交8。于点D,E,根据三等分线的性质可知:484c=3484。=

3ND4E=3NC4E,进而可证△4BD〜,由相似三角形的性质可得：AB2=BD-BC,进而可得3。、

CD,根据外角的性质和等最代换可得/8{£=48必=2”,进而由等角对等边可得BE=/18=8,进而可

得44DE〜△C7M,由相似三角形的性质可得：4。2=。£,。。，代入数据求得：AD=24,由相似三角形

的性质可得第=黑，代入数据即可求解.

(1)

^AB2=BD-BC,

造=丝，

BCAB

00^=0B,

豳6AD=0C,

MD是刻8c的角平分线，

WAC=2^BAD,

005AC=20C,

团财BC是倍角三角形：

(2)

如图2,作0ABe的角平分线人。，则用B4C=2团B4O=2(3C4。,

回[36AC=2[aC,

WfAD=^C,

回回8=0B,

配L4BQ00C8A,

^AB2=BD•BC,

MD=6.4,

0CD=BC-BD=10-6.4=3.6,

圆3CA/)=(2C,

M/)=CQ=3.6,

团AC=4.5

A

图2

⑶

如图3,过点A作团B4c的三等分角，AD,4E分别交8c于点Q,E,

贝lj/84c=3/-BAD=3/.DAE=34G4E,

^z.BAC=3zC,

0ZF/1D=zC,

团4B=乙B,

0AABD—△CBA,

0/41?2=BD-DC,

(3BD=6.4,

(3CD=BC-BD=10-6.4=3.6,

^Z-BAE=乙BEA=2zC>

OFF=AB=8,

团CE=2,DE=1.6,

回乙CAE=Z.C»

团AE=CE=2,

^Z.DAE=