青海省西宁市2023−2024学年高一下册期末调研测试数学试卷附解析

/青海省西宁市2023−2024学年高一下册期末调研测试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若，则（

）A． B．C． D．2．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（

）.A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶3．已知三点共线，则的值为（

）A． B．5 C． D．34．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（

）A． B．1 C． D．5．水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890根据以上数据，下面说法正确的是（

）A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定6．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（

）A．两人都中靶的概率为0.63 B．两人都中靶的概率为0.70C．两人都中靶的概率为0.72 D．两人都中靶的概率为0.747．在中，内角所对的边分别是，若，则的大小为（

）A． B． C． D．8．设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件二、多选题（本大题共3小题）9．在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A． B．C． D．10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（

）

A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱､圆锥､球的体积之比为11．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．若复数为虚数单位为纯虚数，则的值为.13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为．14．在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的余弦值为.四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证：(1)四点共面；(2)平面平面.16．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.根据直方图所提供的信息：(1)用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率；(2)估计这40名同学周末学习时间的分位数.17．如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.

(1)求B点到D点的距离；(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，）18．如图，在直三棱柱中，，，，，点D为棱AB的中点，点E为棱上一点.

(1)证明：；(2)求三棱锥的体积；(3)求直线与平面所成角的余弦值.19．对任意两个非零向量，，定义.(1)若向量，，求的值；(2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值；(3)若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围．

答案1．【正确答案】C【分析】利用复数的除法运算法则计算即可.【详解】因为，所以，即.故选C.2．【正确答案】C【分析】根据对立事件的概念可得结果.【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.故选C.3．【正确答案】D【分析】根据得到方程，求出答案.【详解】，因为三点共线，故，即，解得.故选D.4．【正确答案】A【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边，∴，∴，∴原平面图形的面积是.故选A．5．【正确答案】D【分析】分别计算两种水稻产量的平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误，即可得出正确选项.【详解】对于选项A：甲种水稻产量的平均数：，乙种水稻产量的平均数：，所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故A错误；对于选项B：甲种水稻产量分别为：，中位数为，乙种水稻产量分别为，中位数为，所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，故B错误；对于选项C：甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为：，甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等，故C错误；对于选项D：甲种水稻的产量的方差为：乙种水稻的产量的方差为：，甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，甲种水稻的产量的方差小于乙种水稻的产量的方差，所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，故D正确，故选D.6．【正确答案】C【分析】根据相互独立事件概率计算公式，先求得，然后求得正确答案.【详解】依题意，解得，所以两人都中靶的概率为.故选C.7．【正确答案】B【分析】根据正弦定理边角互化，得到，再根据余弦定理代入化简，即可得角.【详解】已知，则由正弦定理得，由余弦定理可得，代入上式可得，即，则，因为，所以.故选B.8．【正确答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可.【详解】对于A，C，因为，且，所以，解得或，所以“”不是“”的必要条件，故A错误；所以“”是“”的充分条件，故C正确；对于B，D，因为，所以，解得或，所以“”不是“”的必要条件，故B错误；所以“”不是“”的充分条件，故D错误.故选C.9．【正确答案】BC【分析】已知两边及一边对角，由正弦定理解三角形即可.【详解】A项，因为，所以由正弦定理得，则，所以有唯一解，故A错误；B项，法一，因为，则，由，即，如图，有两解.

法二，因为，由正弦定理得，则有两解，或.当时，，，，有解，满足题意；当时，，，，有解，满足题意；所以有两解，故B正确；C项，法一，因为，则，由，即，如图，有两解.

法二，因为，由正弦定理得，即，因为，则有两解，或.当时，，，有解，满足题意；当时，，，有解，满足题意；所以有两解，故C正确；D项，因为，所以由正弦定理得，由于，故，即有唯一解，且，有解，所以只有一解，故D错误；故选BC.10．【正确答案】ACD【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可.【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，A项，圆柱的侧面积为，故A正确；B项，圆锥的母线长为，所以，圆锥的侧面积为，故B错误；C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；D项，圆柱的体积为，圆锥的体积为，球的体积为，因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确.故选ACD.11．【正确答案】AD【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义，根据选项依次运算化简判断即可.【详解】A项，，故A正确；B项，，故B错误；C项，，若，则，不合题意，故C错误；D项，，故D正确；故选AD.12．【正确答案】2【分析】根据纯虚数的定义即可求解.【详解】由是纯虚数，有，解得.故13．【正确答案】【分析】根据投影向量的定义求解.【详解】因为，，所以向量在方向的投影向量为.故14．【正确答案】【分析】构造平行线，将异面直线转化为相交直线，再利用余弦定理解三角形求解所成角的余弦值.【详解】如图，取的中点，连接，则，所以，且，故四边形是平行四边形，则，故即为与所成角（或其补角），设正方体的棱长为，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，故与两条异面直线所成角的余弦值为.故15．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接BH，由中位线可得，即可证明F，G，H，B四点共面；（2）由面面平行的判定定理即可证明.【详解】（1）连接，分别是的中点,为的中位线，，四点共面；（2）由（1）知，平面平面，平面；又分别是的中点，平面平面，平面；平面平面，平面平面.16．【正确答案】(1)；(2)8.75小时.【分析】（1）借助分层抽样的性质得出在和中分别抽取的人数后，借助列举法得出所有的基本事件及符合要求的基本事件后即可得解；（2）借助百分位数定义计算即可得.【详解】（1）由图可知，40名学生中周末的学习时间在的人数为人，周末的学习时间在的人数为人，从中用分层抽样抽取6人，则周末的学习时间在的有4人，记为；周末的学习时间在的有2人，记为；则再从中选派3人接受检测的基本事件有，，共有20个，其中检测的3人来自同一区间的基本事件有，共有4个，所以检测的3人来自同一区间的概率；（2）学习时间在5小时以下的频率为，学习时间在10小时以下的频率为，所以分位数在区间内，则，所以这40名同学周末学习时间的分位数为8.75小时.17．【正确答案】(1)（海里）(2)救援船能够在1小时内到达救援地点，理由见解析【分析】（1）在中，由正弦定理直接解出即可；（2）在中，由余弦定理解出即可.【详解】（1）

如图：由题意知：，，，所以，在中，由正弦定理可得：，即，所以（海里）；（2）在中，，，，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的时间为（分钟）（分钟）答：点到点的距离为海里，且救援船能够在小时内到达救援地点.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)20(3)【分析】（1）先证明出平面，利用线面垂直的性质即可证明；（2）利用等体积法即可求解；（3）先判断出为直线与平面所成的角，在中利用余弦定理的定义直接求解.【详解】（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面平面ABC.∵，，，∴，∴.∵平面平面，平面，∴平面.又平面，∴.（2）∵三棱柱是直三棱柱，∴点E到平