2026版步步高大一轮高考数学复习110练第二章　§2.3　函数的奇偶性含答案

2026版步步高大一轮高考数学复习110练第二章§2.3函数的奇偶性§2.3函数的奇偶性分值：90分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，+∞)上单调递减的是()A.y=|x| B.y=x3C.y=x2 D.y=-3x2.若偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则f(-7)，f(π)，f(-3)的大小关系是()A.f(π)>f(-3)>f(-7)B.f(π)>f(-7)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-7)D.f(π)<f(-7)<f(-3)3.(2025·泰州模拟)已知函数f(x)=eaxsinx1+eA.-1 B.0 C.12 4.已知函数f(x)=x+asinx+2，且f(m)=5，则f(-m)等于()A.-5 B.-3 C.-1 D.35.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(ln3)的值为()A.73 B.3 C.103 6.(2024·阜阳模拟)若函数f(x)=m(ex-e-x)+nln(x+x2+1)+1(m，n为常数)在[1，3]上有最大值7，则函数f(A.有最小值-5 B.有最大值5C.有最大值6 D.有最小值-7二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2025·六安模拟)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递增的是()A.y=ln|x| B.y=|lnx|C.y=x-2 D.y=ex+e-x8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足()A.f(0)=0B.y=f(x)为偶函数C.f(x)在R上单调递增D.f(x-1)+f(x2-1)>0的解集为{x|-2<x<1}三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知函数f(x)=x3+3x，若f(a)+f(a-6)=0，则实数a=10.已知下列五个函数y1=x，y2=1x，y3=x2，y4=lnx，y5=ex，从中选出两个函数分别记为f(x)和g(x)，若F(x)=f(x)+g(x)的图象如图所示，则F(x)=四、解答题(共28分)11.(13分)已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x.(1)求f(x)的解析式；(6分)(2)求不等式xf(x)≥0的解集.(7分)12.(15分)函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数).(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(6分)(2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(9分)每小题5分，共10分13.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于()A.-1 B.12 C.1 14.若函数f(x)=log4(24x+1)+(x+a)2满足f(|x|)+|x|=f(x)+x，则a=.

答案精析1.D2.A3.C[∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴e-axsin(-即e-ax1+e-x=e即x-ax=ax，解得a=124.C[令g(x)=x+asinx，则g(x)为奇函数，故g(m)+g(-m)=0，又g(m)=f(m)-2=3，所以g(-m)=f(-m)-2=-3，所以f(-m)=-1.]5.D[因为函数y=f(x)+ex为偶函数，则f(-x)+e-x=f(x)+ex，即f(x)-f(-x)=e-x-ex，①又因为函数y=f(x)-3ex为奇函数，则f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex，即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x，②联立①②可得f(x)=ex+2e-x，所以f(ln3)=eln3+2e-ln3=1136.A[设g(x)=f(x)-1=m(ex-e-x)+nln(x+x2因为x2+1>x2=|所以x+x2+1>0恒成立，所以g(x)的定义域为又g(-x)=m(e-x-ex)+nln(-x+x2=-m(ex-e-x)+nln1=-[m(ex-e-x)+nln(x+x2=-g(x)，所以g(x)是奇函数，因为f(x)在[1，3]上有最大值7，所以g(x)在[1，3]上有最大值6，所以g(x)在[-3，-1]上有最小值-6，所以f(x)在[-3，-1]上有最小值-5.]7.AD[A选项，设f(x)=ln|x|，其定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，且f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x)，故f(x)=ln|x|为偶函数，且当x∈(0，+∞)时，y=lnx单调递增，故A正确；B选项，y=|lnx|的定义域为(0，+∞)，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误；C选项，当x∈(0，+∞)时，y=x-2单调递减，故C错误；D选项，设g(x)=ex+e-x，其定义域为R，且g(-x)=e-x+ex=g(x)，故g(x)=ex+e-x是偶函数，且当x∈(0，+∞)时，g'(x)=ex-e-x>0，函数单调递增，故D正确.]8.AD[由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，对于A，令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0，故A正确；对于B，令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，所以y=f(x)为奇函数，故B错误；对于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)，因为x1<x2，所以x1-x2<0，所以f(x1-x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误；对于D，由f(x-1)+f(x2-1)>0，可得f(x-1)>-f(x2-1)=f(1-x2)，又函数f(x)在R上单调递减，所以x-1<1-x2，解得-2<x<1，所以f(x-1)+f(x2-1)>0的解集为{x|-2<x<1}，故D正确.]9.3解析因为f(x)=x3+3x，定义域为R所以f(-x)=-x3-3x=-f(x)，即f(x因为f(x)=x3+3x在R若f(a)+f(a-6)=0，则f(a)=-f(a-6)=f(6-a)，所以a=6-a，即a=3.10.1x+x解析由图可知，F(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，可知F(x)一定包含y2=1x这一函数，且一定不包含y4=lnx又函数F(x)不是奇函数，所以F(x)=1x+x不成立，所以只有两种可能：F(x)=1x+x2或F(x)=1x若F(x)=1x+ex当x→-∞时，1x→0，ex→0所以F(x)=1x+ex→0故F(x)=1x+ex若F(x)=1x+x2当x∈(-∞，0)时，1x单调递减，x2单调递减，所以F(x)在(-∞，0当x∈(0，+∞)时，F'(x)=-1x2+2x=令F'(x)=0，得x=34令F'(x)>0，得x>34令F'(x)<0，得0<x<34所以F(x)=1x+x2在0，34故F(x)=1x+x211.解(1)因为函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，-x>0，则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x，又因为f(0)=0满足f(x)=x2-2x，故f(x)=-(2)当x≥0时，xf(x)=x(x2-2x)≥0，可得x2-2x≥0，解得x≤0或x≥2，此时x=0或x≥2；当x<0时，xf(x)=x(-x2-2x)=-x(x2+2x)≥0，可得x2+2x≥0，解得x≤-2或x≥0，此时x≤-2.综上所述，原不等式的解集为(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞).12.解(1)由性质③f(x)+g(x)=ex，则f(-x)+g(-x)=e-x，由性质②知f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，故-f(x)+g(x)=e-x.则f解得f(x)=exg(x)=ex(2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2=ex+=e2x+e故对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2为定值，定值为1.13.D[方法一令f(x)=g(x)，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，令F(x)=ax2+a-1，G(x)=cosx，原题意等价于当x∈(-1，1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F(0)=G(0)，即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F(x)=G(x)，可得2x2+1-cosx=0，因为x∈(-1，1)，则2x2≥0，1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意.方法二令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx，x∈(-1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)=a-2=0，解得a=2，若a=2，则h(x)=2x2+1-cosx，x∈(-1，1)，又因为2x2≥0，1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意.]14.-1解析函数f(x)满足f(|x|)+|x|=f(x)+x，则y=f(x)+x是偶函数，所以f(x)-f(-x)+2x=0，即log424x+12-4x+1+(4a+2)x=2x+(4a+2分值：80分一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2026)等于()A.-1 B.0 C.1 D.22.函数y=-ex与y=e-x的图象()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称3.若函数y=f(x)与函数y=2x+1-1的图象关于直线x=2对称，则f(4)的值为()A.1 B.-1 C.2 D.-24.(2024·茂名模拟)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数，若f(-1)=-2，则f(2025)等于()A.-2 B.-1 C.0 D.2二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x)，且满足f(x)-f(2-x)=0，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(1，1)对称B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称C.函数f'(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称6.(2025·漳州质检)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则()A.f(0)=1B.f(x)是偶函数C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称D.2π是f(x)的一个周期三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2024·龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，且f(x)在(-∞，2]上单调递减，则不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为.

8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-2x，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为2，则△MNQ的面积为四、解答题(共28分)9.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.(1)证明：f(x)是周期函数；(6分)(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(7分)10.(15分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分)(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(6分)每小题5分，共10分11.已知函数f(x)的定义域为R，fx+12为偶函数，f(2-x)+f(x)=0，f13=-1A.12 B.13 C.0 12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x-2)为偶函数，f(x-3)+f(-x+1)=0，当x∈[-1，0]时，f(x)=x+1，则19Σk=1f(A.19 B.0 C.1 D.-1答案精析1.B2.C3.A4.D[因为y=f(x-2)为奇函数，f(x-2)=-f(-x-2)，所以y=f(x)的图象关于点(-2，0)对称，即f(-x)+f(x-4)=0，又y=f(x)的图象关于原点对称，则f(-x)=-f(x)，有f(x)=f(x-4)⇒f(x+4)=f(x)，所以y=f(x)的一个周期为4，故f(2025)=f(1+2024)=f(1)=-f(-1)=2.]5.BD[由f(x)-f(2-x)=0，可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称.对f(x)-f(2-x)=0求导，得f'(x)+f'(2-x)=0，则函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称，所以A，C错误，B，D正确.]6.ABC[对于A，根据题意令x=y，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，又f(x)不恒等于0，则f(0)=1，即A正确；对于B，令y=-x，可得f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(-2x)，即对任意的x∈R满足f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数，所以B正确；对于C，令x+y=π，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0，即f(x)满足f(2π-x)+f(x)=0，因此可得f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，即C正确；对于D，由于f(x)是偶函数，所以满足f(x-2π)+f(x)=0，即f(x)+f(x+2π)=0，可得f(x-2π)=f(x+2π)，即f(x)=f(x+4π)，所以4π是f(x)的一个周期，即D错误.]7.[-1，0]解析因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称，又因为f(x)在(-∞，2]上单调递减，则f(x)在[2，+∞)上单调递增，则由f(2x+3)≤f(1)得|2x+3-2|≤|1-2|，即|2x+1|≤1，解得-1≤x≤0，则不等式的解集为[-1，0].8.22解析因为函数y=x3-2x为奇函数,所以曲线C的图象关于原点对称,又两条直线l1和l2均过坐标原点O,则P,Q关于原点对称,M,N关于原点对称,则四边形PNQM为平行四边形又S△OPM=2,则S△MNQ=22.9.(1)证明因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(2-x)，即有f(-x)=f(x+4)，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，有f(-x)=f(x)，所以f(x+4)=f(-x)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数.(2)解当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，又f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]，所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1，所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6].10.解(1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，则g(x)为奇函数，故g(-x)=-g(x)，故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，即f(-x+a)+f(x+a)=2b，即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b.整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，故3a-3=0，所以函