贵州省贵阳市2023−2024学年度第二学期期末监测试卷高一 数学试题（含解析）

贵州省贵阳市2023−2024学年度第二学期期末监测试卷高一数学试题（含答案）一、单选题（本大题共8小题）1．已知，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．周明同学本学期的8次数学测验成绩为：.则这8次成绩的第80百分位数为（

）A．86 B．88 C．90 D．87.53．已知平面向量，且，已知点坐标为，则点坐标为（

）A． B． C． D．4．关于事件和事件，下列说法错误的是（

）A．若与互为互斥事件，则B．若，则与互斥C．若与互斥，则D．若与相互独立，则5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，且，则B．若，则C．若，则D．若，则6．若样本数据的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据，下列结论正确的是（

）A．平均数是124.6，方差为64 B．平均数是124.6，标准差为32C．平均数是123.6，方差为32 D．平均数是123.6，标准差为87．如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形8．在中，，且是边上一点，且，则的值为（

）A． B．6 C． D．0二、多选题（本大题共2小题）9．中角所对的边分别为，若，则下列结论正确的有（

）A．若，则有一个解B．若有两个解，则有可能等于C．若为等腰三角形，则或4D．若为直角三角形，则一定为210．如图，在正方体中，点在线段上运动时（包括点），下列命题正确的是（

）A．三棱锥的体积不变B．直线一定与平面平行C．直线与夹角余弦值的取值范围为D．当时，二面角的余弦值为三、填空题（本大题共5小题）11．若复数满足，则复数的虚部为.12．已知向量满足，则.13．有一个底面边长分别为的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为.14．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为.15．豌豆是自花传粉､闭花受粉的植物，在自然条件下只能进行自交.豌豆叶子黄色（）相对绿色（）为完全显性，即都表现为黄色，表现为绿色.现有遗传因子组成为和的亲本植株杂交，子一代植株的遗传因子为.令子一代植株自交，获得的子二代植株遗传因子组成有三种类型：.据此回答下列问题：（1）通过子一代植株自交后，获得的子二代植株的叶子颜色是绿色的概率为.（2）若随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的叶子颜色是绿色的概率为.四、解答题（本大题共5小题）16．在中，点在边上，且，设.(1)用表示；(2)若且，求.17．在中，角的对边分别为，已知.(1)求的值；(2)求的面积.18．根据央视网消息显示，贵州省文旅厅网站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情况》，其中显示，假期前三天，根据抽样调查结果，全省接待游客2038.26万人次（用2038万计算），较2022年假日同期增长（用计算），恢复到2019年假日同期水平的（用计算）.某大学旅游管理专业的学生陈枫为了了解“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景的知晓情况，随机抽选了若干名游客进行问卷调查，根据问卷得分，统计如下：得分频率0.100.200.400.200.10(1)求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（单位：万），精确到0.01.(2)根据表格估计“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(3)陈枫为了答谢游客的参与，在问卷得分为的游客中按的比例抽选6人作为景区“幸运游客”，景区在“幸运游客”中随机选取两人评为“五星游客”，求得分为，的游客中各有一人评为“五星游客”的概率.19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点.(1)设平面与直线相交于点，求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的大小.20．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.设实系数一元二次方程,在复数集内的根为，容易得到,设实系数一元三次方程①,在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为,展开得②,比较①②可以得到根与系数之间的关系：.阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：(1)对于方程在复数集内的根为，求的值；(2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，试找到根与系数之间的关系；(3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值.

参考答案1．【答案】D【分析】由复数乘法以及复数的几何意义即可求解.【详解】，它对应的点位于第四象限.故选D.2．【答案】B【分析】数学测验成绩从小到大排列，根据第80百分位的定义计算可得答案.【详解】周明同学本学期的8次数学测验成绩为：，因为，所以这8次成绩的第80百分位数为.故选B.3．【答案】A【分析】直接由向量坐标的线性运算即可求解.【详解】设点坐标为，则，解得.故选A.4．【答案】A【分析】由互斥事件、对立事件定义可判断ABC，由独立事件定义可判断D.【详解】对于A：若与互为互斥事件但不对立，则不成立，故A错误；对于B：若，这意味着若发生则一定不发生，换言之则与互斥，故B正确；对于C：若与互斥，则，，故C正确；对于D：若与相互独立，则，故D正确.故选A.5．【答案】B【分析】由线面、面面位置关系即可逐一判断各个选项.【详解】对于A：若，且，则或相交或或，故A错误；对于B：由线面平行的性质可知，若，则，故B正确；对于C：设，，，又，所以，但不成立，故C错误；对于D：若，则或异面，故D错误.故选B.6．【答案】D【分析】直接由平均数、方差（标准差）的性质即可求解.【详解】若样本数据的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据，平均数是，标准差为.故选D.7．【答案】C【分析】把截面补形，利用共面可得结果．【详解】延长与直线相交于连接与分别交于点连接，则五边形即为截面.故选C.8．【答案】C【分析】根据已知条件两边平方可得，结合三角形面积公式得，从而得到，最后代入计算得出结果.【详解】因为，且，所以,因为，所以为角平分线，两边平方得,化简得，所以由三角形面积公式，有,得到,（其中为角平分线），代入化简得,因此可得,所以.故选C.【关键点拨】属于向量二级结论，说明是角平分线.证明如下：设,，则,且,由平行四边形法则，易知四边形为菱形，为菱形的对角线，故由菱形对角线平分对角的性质可知，是，即的角平分线.9．【答案】AB【分析】对于A，由余弦定理得到，故只有一个解；对于B，由余弦定理得，根据得到有两个解；对于C，当时，，当时，由正弦定理求出；对于D，若为直角时，，若为直角时，.【详解】对于A：由余弦定理得，即，故，解得，故有一个解，故A正确；对于B：当时，由余弦定理得，即，解得，因为，而，故有两个解，故B正确；对于C：当时，，当时，，由正弦定理得，即，其中，故，解得，故C错误；对于D：若为直角，，故，若为直角，，故，则不一定为2，故D错误.故选AB.10．【答案】ABD【分析】对于A，只需证明平面即可判断；对于B，直接由线面平行的判定定理证明平面即可判断；对于C，由定义法可以得知直线与夹角的大小等于，故只需求出的范围即可进一步判断；对于D，设分别为靠近的三等分点，由定义法可知二面角的平面角为，进一步结合解直角三角形知识即可判断.【详解】对于A：连接，设该正方体的棱长为，因为平面，平面，所以平面，因此点到平面的距离相等，故，故A正确；对于B：因为，平面，平面，所以平面，故B正确；对于C：因为，所以直线与夹角的大小等于，设，因为平面，平面，所以，所以，在等腰直角三角形中，点在斜边上，设到的距离为，所以，所以的取值范围是，所以的取值范围是，故C错误；对于D：设分别为靠近的三等分点，连接，显然，因为，所以，又平面，所以平面，所以，而，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面平面，平面，平面，所以二面角的平面角为，而在直角三角形中，，从而，故D正确.故选ABD.11．【答案】【分析】直接由复数除法运算以及虚部的概念即可求解.【详解】，故复数的虚部为.12．【答案】【分析】根据已知模长应用数量积的运算律计算即可.【详解】因为，所以，又因为，所以所以.13．【答案】【分析】由等面积法求得底面内切圆的半径，进一步结合已知可得三棱柱的高，即可求解.【详解】因为，所以底面是斜边为5的直角三角形，设其内切圆半径为，三棱柱的高为，由等面积法得，解得，如果该三棱柱存在内切球，这意味着，所以该三棱柱的体积为.14．【答案】【分析】先由已知条件结合正弦定理得到，然后证明，最后说明当时，即可得到周长的最大值为.【详解】由已知有，结合正弦定理就有，故.从而，故，从而，由知.而当时，满足全部条件，此时.所以周长的最大值为.15．【答案】【分析】（1）第一空直接由独立乘法公式即可求解；（2）第二空直接由独立乘法、互斥加法公式即可求解.【详解】（1）通过子一代植株自交后，子二代植株的叶子颜色是绿色（）的概率为；（2）若随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的叶子颜色是绿色（）的，则子二代遗传因子组成为，而子二代得到的概率为，子二代得到的概率为，子二代得到的概率为，故所求为.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的减法及数乘运算表示即可；（2）应用（1）的结论结合数量积运算律求模长.【详解】（1）在中，，，则，；（2），则，即，由（1）可知，.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平方关系以及正弦定理即可求解；（2）由余弦定理求得，再结合三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为，且角是三角形内的角，所以可得，由正弦定理可得；（2）由余弦定理得，即，即，可得或-3，因为是的一边，所以，由三角形面积公式可得.18．【答案】(1)1435.21万，1940.95万(2)90(3)【分析】（1）根据2022年和2019年和已知数据2023年的数据的比例关系求解；（2）由表中数据计算，平均数等于每一组的平均值乘以频率的和；（3）根据比例，找出得分为分别抽取2人和4人为“幸运游客”.找出总的组合结果为15，各一人的结果有8种，从而得到概率.【详解】（1）由题可知2022年“五一”假期前三天全省接待游客人次为万；2019年同期接待游客人次为万.（2）由表中数据计算，游客的平均水平估计为.（3）由题意可知，在得分为中分别抽选了2人（记为）和4人（记为）为“幸运游客”.所以从中选两人的可能结果有：共15种，其中各占一人的结果有共8种，所以所求概率为.19．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）首先证明平面，然后结合线面平行的性质得，再结合线面平行的判定定理即可得解；（2）首先说明是直线与平面所成的角，结合解三角形知识即可求解.【详解】（1）因为底面为菱形，所以，因为平面，且平面，所以平面，因为平面，且平面平面，所以，因为平面，且平面，所以平面.（2）过作交于，连接，因为平面平面，所以，又因为平面，所以平面，所以是直线与平面所成的角，因为底面为菱形，且，所以为等边三角形，且，所以，所以平面平面，所以，且是的中位线，所以在中，,，所以在中，，所以，即直线与平面所成的角为.2