2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第六章　§6.5　数列求和含答案

2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第六章§6.5数列求和§6.5数列求和课标要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.数列求和的几种常用方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.①等差数列的前n项和公式：Sn==.②等比数列的前n项和公式：Sn=n(2)分组求和法与并项求和法①分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.②并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.常见的裂项技巧①1n(n②1n(n③1(2n-1)(2④1n+n⑤1n(n1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比q不等于1，则其前n项和Sn=a1-an(2)求数列{2n+2n}的前n项和可用分组求和法.()(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.()(4)当n≥2时，1n2-1=1n-1-2.已知数列{an}满足a1=2，an+an+1=(-1)n，则数列{an}前2025项和为()A.-1011 B.-1012C.1013 D.10143.Sn=12+12+38+…A.2n-nC.2n-n4.在数列{an}中，a1=2，an+1=an+1n(n+1)，则通项公式a谨防三个易误点(1)并项求和时注意哪些项进行并项.(2)裂项时注意是否还有系数及是否前后相邻的项相消.(3)错位相减后构造的等比数列的项数是否是n项.题型一分组求和与并项求和例1(1)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足an+2=an+2,n为偶数,2an,n为奇数,且A.1023 B.1124C.2146 D.2145(2)已知数列{an}是等差数列，a1=tan225°，a5=13a1，设Sn为数列{(-1)nan}的前n项和，则S2026等于()A.2026 B.-2026C.3039 D.-3039思维升华(1)分组求和法常见题型①若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.②若数列{cn}的通项公式为cn=a其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(2)并项求和法常见题型①数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n)，求数列{an}的前n项和.②数列{an}是周期数列或ak+ak+1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和.跟踪训练1(2024·毕节模拟)已知数列{an}满足an=2×(-2)n-1+n-2.求数列{an}的前n项和Sn.题型二裂项相消法求和例2(2024·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn=log2a2n-1，cn=1bnbn+1，求证：c1+c2+c3+…+思维升华裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.跟踪训练2(2025·安顺模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，且∀n∈N*，anSn+1-an+1Sn=an(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=n2+n+1anan+1，{bn}的前题型三错位相减法求和例3(2025·贵阳模拟)已知数列{an}满足an+1=13an+13n+1，且a1=-23.设{an}的前n项和为Tn，bn=3(1)证明：{bn}是等差数列；(2)求Tn.思维升华(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.(2)用错位相减法求和时，应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.(3)[万能公式]形如cn=(an+b)·qn-1(q≠1)的数列的前n项和为Sn=(An+B)qn+C(q≠1)，其中A=aq-1，B=b-A跟踪训练3已知数列{an}满足a1=52，且an=4an-1-1an-1+2((1)设bn=1an-1，求证：数列{(2)记cn=(n+1)·3n·an，求数列{cn}的前n项和Sn.答案精析落实主干知识(1)①n(a1+an②a1(1-(4)①1n-1n+1③1212n-1自主诊断1.(1)√(2)√(3)×(4)×2.D3.B4.3-1探究核心题型例1(1)C[根据递推公式可知，数列的奇数项依次为：2，22，23，…，为等比数列；数列的偶数项依次为：1，3，5，…，为等差数列.所以S20=10×1+10×92×2+2(1-210)1-2=100+211(2)C[由已知a1=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1，故a5=13a1=13，设数列{an}的公差为d，可得d=a5-a1所以S2026=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2026-a2025)=1013d=3039.]跟踪训练1解由于an=2×(-2)n-1+n-2，所以Sn=a1+a2+a3+…+an=2×(-2)0+(-1)+2×(-2)1+0+2×(-2)2+1+…+2×(-2)n-1+n-2=2×[(-2)0+(-2)1+(-2)2+…+(-2)n-1]+[(-1)+0+1+…+(n-2)]=2×1-(-2)n=23-2×(-2)n例2(1)解由Sn=2an-2， ①当n=1时，S1=2a1-2=a1，解得a1=2，当n≥2时，Sn-1=2an-1-2， ②①-②，得an=2an-1，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an=a12n-1=2n.(2)证明由(1)知a2n-1=22n-1，∴bn=log2a2n-1=2n-1，bn+1=2n+1.则cn=1bn故c1+c2+c3+…+cn=121∵12n+1>0，∴1-121-故c1+c2+c3+…+cn<12跟踪训练2解(1)∵∀n∈N*，anSn+1-an+1Sn=a∴Sn+1an+1-Snan∵a1=1，∴数列Snan是首项为1则Snan=1+12(n即2Sn=(n+1)an，2Sn-1=nan-1(n≥2)，两式作差得2an=(n+1)an-nan-1，即anan-1=nn∴ana=nn-1即ana1=n，an=n(n∵a1=1符合上式，∴an=n.(2)bn=n2+=1+1=1+1n-∴Tn=n+1-12+12∵Tn+1-Tn=(n+2)-=1+1(n∴数列{Tn}为递增数列，∴(Tn)min=T例3(1)证明因为bn=3n·an，所以bn+1=3n+1·an+1，bn+1-bn=3n+1·an+1-3n·an=3n+113an+13且b1=-2，所以{bn}是以-2为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知，bn=n-3，所以an=bn3n=(n-3)则Tn=(-2)·131+(-1)·132+0·133+…+(n-4)·13所以13Tn=(-2)·132+(-1)·133+0·134+…+(n-4)·1两式相减得23Tn=-23+132+133+134+…+=-23+191-13n-1=-12-n3因此Tn=-34-n2-跟踪训练3(1)证明因为an=4an-1-1则an-1=4an则1an-1==131+3a即bn-bn-1=13，n≥故数列{bn}是首项为1a1-1=23(2)解由(1)可知，bn=13n+即1an解得an=3n+1+1=则cn=(n+1)·3n·an=(n+4)·3n，故Sn=c1+c2+c3+…+cn，即Sn=5·3+6·32+7·33+…+(n+4)·3n，3Sn=5·32+6·33+7·34+…+(n+4)·3n+1，故-2Sn=5·3+32+33+…+3n-(n+4)·3n+1=12+31+32+…+3n-(n+4)·3n+1=12+3(1-3n)1-3-(n+4=212-n+72·故Sn=12n+74·3§6.6子数列问题重点解读子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化.题型一奇数项与偶数项问题例1(2023·新高考全国Ⅱ)已知{an}为等差数列，bn=an-6,n为奇数,2an,n为偶数.记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前(1)求{an}的通项公式；(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.思维升华数列中的奇、偶项问题的常见题型(1)数列中连续两项和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n))；(2)含有(-1)n的类型；(3)含有{a2n}，{a2n-1}的类型.跟踪训练1(2024·西安模拟)已知正项数列{an}中，a3=4，a2a5=32，且lnan，lnan+1，lnan+2成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn=an+(-1)nlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn.题型二数列的公共项例2(2025·嘉兴模拟)已知{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=4，bn+1=3bn-2n+1.(1)证明{bn-n}是等比数列，并求{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{an}与{bn}中有公共项，即存在k，m∈N*，使得ak=bm成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{cn}，求c1+c2+…+cn.思维升华两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.跟踪训练2已知Sn为数列{an}的前n项和，且an>0，an2+2an=4Sn+3，bn=a2n-1，cn(1)求{an}的通项公式；(2)将数列{bn}与{cn}的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列{dn}，求{dn}的前10项和.题型三数列增减项例3(2025·沧州模拟)在数列{an}中，已知a1+a22+a322+(1)求数列{an}的通项公式；(2)在数列{an}中的a1和a2之间插入1个数x11，使a1，x11，a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21，x22，使a2，x21，x22，a3成等差数列；…；在an和an+1之间插入n个数xn1，xn2，…，xnn，使an，xn1，xn2，…，xnn，an+1成等差数列，这样可以得到新数列{bn}：a1，x11，a2，x21，x22，a3，x31，x32，x33，a4，…，an，设数列{bn}的前n项和为Sn，求S55(用数字作答).思维升华对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.跟踪训练3记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=15，a2=2，等比数列{bn}满足b2=a1+a3，b3=2a4.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)将数列{an}中与{bn}的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{cn}，求2nΣi=1ci(n∈答案精析例1(1)解设等差数列{an}的公差为d，而bn=a则b1=a1-6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3-6=a1+2d-6，于是S解得a1=5，d=2，an=a1+(n-1)d=2n+3，所以数列{an}的通项公式是an=2n+3.(2)证明方法一由(1)知，Sn=n(5+2n+3)2=nbn=2当n为偶数时，bn-1+bn=2(n-1)-3+4n+6=6n+1，Tn=13+(6n+1)2·n2=32n当n>5时，Tn-Sn=32n2+72n=12n(n-1)>0因此Tn>Sn.当n为奇数时，Tn=Tn+1-bn+1=32(n+1)2+72(n+1)-[4(n+1)+6]=32n2+5当n>5时，Tn-Sn=32n2+52n=12(n+2)(n-5)>0因此Tn>Sn.综上，当n>5时，Tn>Sn.方法二由(1)知，Sn=n(5+2n+3)2=nbn=2当n为偶数时，Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=-1+2(n-1)-32·n2+14+4n+62·n2当n>5时，Tn-Sn=32n2+72n=12n(n-1)>0因此Tn>Sn，当n为奇数时，若n≥3，则Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=-1+2n-3214+4(n-1)+6=32n2+52n显然T1=b1=-1满足上式，因此当n为奇数时，Tn=32n2+52n当n>5时，Tn-Sn=32n2+52n=12(n+2)(n-5)>0因此Tn>Sn，所以当n>5时，Tn>Sn.跟踪训练1解(1)∵lnan，lnan+1，lnan+2成等差数列，∴2lnan+1=lnan+lnan+2，即an+12=anan+2，而a∴{an}为等比数列，设{an}的公比为q，q>0，则a得a1=1，q=2，∴an=2n-1.(2)bn=2n-1+(-1)nlog22n=2n-1+(-1)nn，当n为偶数时，Tn=(1+2+22+…+2n-1)+[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]=1-2n1-2+n2当n为奇数时，Tn=Tn+1-bn+1=2n+1+n-12-2n-(-1)n+1(n+1)=2n∴Tn=2例2解(1)由题意可得an=2+(n-1)×3=3n-1(n∈N*)，而b1=4，bn+1=3bn-2n+1，变形可得bn+1-(n+1)=3bn-3n=3(bn-n)，b1-1=3，故{bn-n}是首项为3，公比为3的等比数列.从而bn-n=3n，即bn=3n+n(n∈N*).(2)由题意可得3k-1=3m+m，k，m∈N*，令m=3n-1(n∈N*)，则3k-1=33n-1+3n-1=3(33n-2+n)-1，此时满足条件，即m=2，5，8，…，3n-1，…时为公共项，易知数列{bn}为递增数列，所以c1+c2+…+cn=b2+b5+…+b3n-1=32+35+…+33n-1+[2+5+…+(3n-1)]=9(27n-1)26+n(3n+1)跟踪训练2解(1)由an2+2an=4Sn可知an+12+2an+1=4Sn两式相减得an+12-an2+2(an+1-an)即(an+1+an)(an+1-an)=2(an+1+an)，因为an>0，则an+1-an=2，又a12+2a1=4S1+3，a1解得a1=3，即{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以{an}的通项公式为an=3+2(n-1)=2n+1.(2)方法一由(1)知bn=4n-1，因为cn=3n，数列{bn}与{cn}的所有公共项按从小到大的顺序组成数列{dn}，且b1=c1=3，则数列{dn}是以3为首项，12为公差的等差数列，dn=3+12(n-1)=12n-9，令{dn}的前n项和为Tn，则T10=10×3+10×92×12=570所以{dn}的前10项和为570.方法二由(1)知，bn=4n-1，数列{bn}与{cn}的公共项满足bn=ck，即4n-1=3k，k=4n-13=而k，n∈N*，于是得n-13=m-1(m∈N即n=3m-2，此时k=4m-3，m∈N*，因此，b3m-2=c4m-3=12m-9，即dn=12n-9，数列{dn}是以3为首项，12为公差的等差数列，令{dn}的前n项和为Tn，则T10=10×3+10×92×12=570所以{dn}的前10项和