安徽省安庆市2024-2025学年高二下册期中考试数学试卷附解析

/安徽省安庆市2024-2025学年高二下册期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知函数，则（

）A． B． C． D．2．若，则n的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．73．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照,要求甲必须站在中间两个位置之一,且乙、丙2人相邻,则不同的排队方法共有()A．24种 B．48种 C．72种 D．96种4．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（

）A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值5．三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为（

）A． B． C． D．6．的展开式中，项的系数为（

）A．-75 B．-79 C．-39 D．-357．元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（

）A． B． C． D．8．已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列运算错误的是（）A． B．C． D．10．若，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．D．11．已知函数，若有两个极值点，则下面判断正确的是（

）A． B． C．D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数，则曲线在处的切线方程为.13．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有种．14．已知事件满足：，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数．(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值．16．已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为.(1)求该二项展开式的项数；(2)求展开式中含的项.17．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：对且，都有．18．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球.(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；(3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.19．对于函数与定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.(1)若函数，，，求函数和的“分界线”；(2)已知函数满足对任意的，恒成立.①求实数的值；②设函数，试探究函数与是否存在“分界线”?若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】D【详解】设，则，∴，即，∴.故选D.2．【正确答案】C【详解】因为，所以，即故选C3．【正确答案】C热门题型：有条件限制的排列问题分为两类:第一类,乙、丙站在两边,先把乙和丙“捆绑”看成一个元素,有种方法,再与除了甲剩下的元素排列,有2种方法(提示:因为乙、丙站在两边,只需排列丁、戊、己),再把甲插空,有种方法,所以共有2=48(种)方法;第二类,乙、丙站在里面,先把乙和丙“捆绑”看成一个元素,有种方法,再与除了甲剩下的元素排列,有2种方法,再把甲插空,有1种方法,所以共有2=24(种)方法,综上,共有48+24=72(种)排队方法.故选C.【一题多解】甲站在中间两个位置之一,且乙、丙相邻分为两类:第一类,甲站在第3的位置,若乙、丙站在甲的左侧,则有=12(种)方法;若乙、丙站在甲的右侧,则有=24(种)方法,所以共有12+24=36(种)方法;第二类,甲站在第4的位置,与第一类相同,所以共有36×2=72(种)排队方法.故选C.4．【正确答案】C【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；根据函数的导数图象，函数在时，，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，故正确，故选.5．【正确答案】C【详解】三名同学均从四大名山中任选一个旅游的方法数为，其中仅有庐山未被选中的方法数为，所以仅有庐山未被选中的概率.故答案选：C．6．【正确答案】B【详解】因为的展开式的通项公式为，所以当时，当时，所以项的系数为-79，故选B.7．【正确答案】B【详解】由题意可得，，，所以，故选B.8．【正确答案】D【详解】解：由，整理得：因为，所以即对任意，且，不等式恒成立设，则，即函数在区间上单调递减所以在区间上恒成立所以，即实数的取值范围为，故选D.9．【正确答案】AC【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选AC.10．【正确答案】AC【详解】令，则，故A正确，令可得，故，故B错误，令可得，故，故C正确，令可得，，故D错误，故选AC.11．【正确答案】ABD【详解】由题意知：定义域为，；当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点，不合题意；当时，令，则；①当，即时，恒成立，即恒成立，所以在上单调递增，无极值点，不合题意；②当，即且时，令，解得：，.当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点，不合题意；（2）当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值点为，极小值点为，满足题意.对于A，因为是方程的两根，所以，A正确；对于B，当时，，所以当时，单调递减，所以，B正确；对于C，因为，，所以，所以；因为，所以，所以，C错误；对于D，，因为是方程的两根，所以，，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，D正确.故选ABD.12．【正确答案】【详解】解：因为，所以切线斜率，又所以切线方程为，即.13．【正确答案】450【详解】若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人，若每组人数分别为，共有种，若每组人数分别为，共有种，综上所有不同的安排方法共有.14．【正确答案】0.68【详解】解：因为所以所以.15．【正确答案】(1)递减区间为，递增区间为和；(2)最大值为，最小值为.【详解】（1）函数定义域为R，，当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减，所以的递减区间为，递增区间为和.（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减,因此，在区间上的最大值为，而，，即有，所以在区间上的最大值为，最小值为.16．【正确答案】(1)8(2)【详解】（1）因为二项式的展开式中第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，所以，即，解得，所以该二项展开式的项数为8.（2）因为二项式的展开式的第项为，令，得，当时，.17．【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为，定义域为，所以．当时，令，得或，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，恒成立，所以函数在上单调递增．当时，令，得或，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．（2）不妨设，则，要证对，都有，只需证，即需证．构造函数，则要证，需证函数在上为增函数，因为，所以函数在上为增函数成立，所以当时，对且，都有．18．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，则，故（2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则，可得（3）在（2）的条件下.19．【正确答案】(1)；(2)①；②存在，证明见解析，，.【分析】（1）根据“分界线”定义，使不等式成立即可求出“分界线”为；（2）①构造函数，利用导函数求得其单调性再由不等式恒成立，求得其最值及可解得；②利用函数存在唯一公共点，则存在的“分界线”必过该点，可设为，分别证明在上恒成立以及恒成立即可得，.【详解】（1）令，取，则，进而有，即且，解得，故函数和的“分界线”为.（2）①因为对任意的，恒成立，所以对恒成立，令，所以，当时，恒成立，从而在上单调递减，又，所当时，与题意矛盾，舍去；当时，令，解得；令，解图，从而在上单调递增，在上单调递减，所以.由题意可知，即，也即，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，从而.又，所以，此时.②设，则.所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以是函数的极小值点，也是最小值点，故.所以函