甘肃省天水市部分学校2025届高三第三次联考（三模）数学试卷附解析

/甘肃省天水市部分学校2025届高三第三次联考（三模）数学试卷一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．设，其中为虚数单位.则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若，则的值为（

）A． B． C． D．4．已知，若正实数满足，则的取值范围为（

）A． B．或C．或 D．5．已知直线与圆相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则（

）A． B． C．2 D．6．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（

）A．函数的最大值为1B．函数的最小值为1C．函数的最大值为1D．函数的最小值为17．已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（

）A． B． C． D．8．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（

）A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg二、多选题9．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：甲组：，，，，，，，，，，，乙组：，，，，，，，，，则下列说法正确的是（

）A．甲组数据的第60百分位数是252B．乙组数据的中位数是246C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为D．甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高10．在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是（

）A．若，则为等腰或直角三角形.B．若，则为直角三角形C．若，则是锐角三角形D．若，则11．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．最小正周期为 B．C． D．三、填空题12．在数列中，已知，则的前10项和为.13．2025年为我省新高考综合改革实施第二年，为进一步提升高考备考业务能力，考虑派八中、九中、十中、新阳、职中、新梦想六所学校的校长去江苏省、河北省、湖北省、重庆市四个地方培训，每个地方至少有一名校长去培训，但八中校长和九中校长不能在同一个地方培训，则不同的分配方案有种．14．如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是．四、解答题15．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．

(1)证明：平面PBF．(2)若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．16．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：日期1月29日1月30日1月31日2月1日2月2日2月3日2月4日日期代码1234567累计票房（亿元）4.889.6815.8723.1931.3239.7648.43日期2月5日2月6日2月7日日期代码8910累计票房（亿元）54.9260.7866.20（1）请根据这10日数据：（i）计算，的平均值，；（ii）求关于的经验回归方程；（2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；参考数据：，.17．已知函数．（1）求的图象在点处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）证明：对任意的，有；18．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞（1）求椭圆C的方程；（2）过点（﹣1，﹣1）的直线交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1与k2的和为定值．19．已知数列的首项，且满足，的前项和为.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）在数列中，，，求数列的通项公式及.

答案1．【正确答案】D【详解】因为集合为点集，集合为数集，所以.故选D.2．【正确答案】A【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再求出，令求出相应的的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，所以，令，即，解得或，所以推得出，所以充分性成立，由推不出，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.3．【正确答案】A【详解】由，可得，即，解得，所以.故选A.4．【正确答案】C【详解】因为与都是上的增函数，所以是上的增函数，又因为，所以等价于，由，知，当时，在上单调递减，故，从而；当时，在上单调递增，故，从而，综上所述，的取值范围是或.故选C5．【正确答案】D【详解】设，由题意可知:圆心为坐标原点，半径为，则劣弧与弦围成的图形面积，由于故在单调递增，又，所以，则，所以圆心到直线的距离为1，即，解得故选D6．【正确答案】C【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到时，单调递增，当时，单调递减，故C正确，D错误.【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图象都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，故恒成立，故在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，，由图像可知，恒成立，故单调递增，当，，单调递减，所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误.故选C.7．【正确答案】C【详解】依题意，，，又，所以，整理得，所以，所以双曲线E的渐近线方程为，即，故选C.8．【正确答案】D【详解】依题意，设，由，得，则，当时，，所以．故选D9．【正确答案】BCD【详解】对于A，因为，所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错误；对于B，因为，所以乙组数据的中位数是第5个数与第6个数的平均数，即，故B正确；对于C，甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为，故C正确；对于D，甲组的平均成绩为厘米，乙组的平均成绩为厘米，所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高，故D正确.故选BCD.10．【正确答案】AD【详解】对于，因为，所以或，所以或，所以为等腰或直角三角形，故正确；对于，因为，所以，所以或，所以或，所以不一定是直角三角形，故错误；对于，因为，所以，所以，因为，所以为钝角，所以是钝角三角形，故错误；对于，因为，所以，由正弦定理可得，所以，故正确.故选.11．【正确答案】BCD【详解】因为是偶函数，所以，又因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，故A错误；又当时，，所以，选项B正确；，选项C正确；，选项D正确.故选BCD.12．【正确答案】【详解】因为，所以，，，，，则的前10项和为.13．【正确答案】【详解】若八中校长和九中校长都单独1人去某一个地方培训，则剩下4人分为两组去其他的两个地方培训，故有种不同方案．若八中校长和九中校长有一人单独1人去某一个地方培训，若另一个和其余一位校长去另一个地方培训，余下3人分两组去其他两个地方，则有，若八中校长和九中校长各自和其余一位校长去不同的地方培训，余下2人分两组去其他两个地方，则有，若八中校长和九中校长中一位和其余两位校长去某地，另外一位单独一位去某地，则有，故共有种不同方案.14．【正确答案】【详解】由图象知，以直线为轴旋转，弧和线段旋转一周形成的面所围成的几何体是两个半径均为10的半球，可合为一个完整的球，故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积，即．15．【正确答案】(1)证明见详解；(2).【详解】（1）证明：如图，取PB的中点G，连接EG，GF．，G分别是PA，PB的中点，，且．，且，，,四边形EGFD为平行四边形，．又平面PBF，平面PBF，平面PBF；（2）如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．

设平面PBF的法向量为，则，取，则，，则，直线PD与平面PBF所成角的正弦值为．16．【正确答案】（1）（i），；（ii）（2）上映半年后的票房为亿元，预测结果不合理，理由见解析【详解】（1）由题意，，，，则，，所以关于的经验回归方程为.（2）由（1）知，，当时，，则预测该电影上映半年后的票房为亿元，这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快，随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓，而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系，不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势，所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的.17．【正确答案】（1）（2）极小值为，无极大值（3）证明见解析【详解】（1）求导，令，则.且.运用点斜式，化简得到.（2）因为，令，则，又因为，，单调递减；，，单调递增；所以的极小值为，无极大值．（3）令，可得，令，，，单调递增，，，，单调递减；，，单调递增；所以，所以，所以，即得，所以．18．【正确答案】（1）x2（2）证明见详解.【详解】（1）椭圆C：x2a2+y2则上顶点为M（0，1），离心率为22，得b由椭圆C的离心率为22，得a2−所以椭圆C的方程为x2（2）过点（﹣1，﹣1）的直线交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x+1）﹣1，k≠2，A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+k−1x2+2y2=2消去x得（2k2+1）x2+4k（k﹣1）Δ＝16k2（k﹣1）2﹣8（2k2+1）[（k﹣1）2﹣1]＝8（k2+2k）＞0，解得k＜﹣2或k＞0，x1+x因此k1当直线A