甘肃省天水市高考复读学校2025届高三下册2月联考数学试卷附解析

/甘肃省天水市高考复读学校2025届高三下册2月联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若全集U=R，集合A=x|y=A．4,5 B．0,1,2 C．0,1,2,3 D．3,4,52．复数z=1+2i的共轭复数为z，则z2A．22 B．25 C．63．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某段道路机动车最高限速40千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油4．已知平面向量a=1,0，b=1,2，若A．−1 B．−2 C．−125．已知cosα+π12A．3−4310 B．45 C．−2106．在上学期期末考试中，A，B，C，D，E，F六名同学分别获得了语文、数学、英语、政治、历史、地理的单科第一名.在开学的表彰活动中，这6名同学排成一列依次上台领奖，在“A同学不在开头且B同学不在末尾”的条件下，C同学在开头的概率为（）A．121 B．221 C．17 7．函数fx=tanωx+φ0＜A．5π12 B．5π6 C．π2 8．已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，且f′x＜fx，fA．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b二、多选题（本大题共3小题）9．为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（）A．极差为4 B．平均数是8C．75%分位数是9 D．方差为410．如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（

）．A． B．C． D．与夹角的余弦值为11．设函数，则（

）A．有三个零点B．是的极小值点C．的图象关于点中心对称D．当时，三、填空题（本大题共3小题）12．在x+213．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=8,b=9,c=7.则BC边上的中线AM的长为________.14．已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a＞b＞0的左､右焦点，过椭圆C在y轴上的点A与F四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列an满足an+1=2(1)若bn=a(2)求数列an的前n项和S16．2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：年龄周平均锻炼时长合计周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时50岁以下406010050岁以上（含50）2575100合计65135200(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式及数据：，其中.17．如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，∠ABC=∠BAD=π2，(1)求证：BD//平面AEG；(2)求二面角C−SD−E的余弦值；(3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为π6？若存在，求出GH18．已知函数ℎx(1)若x＞0时，恒有ℎx＞a，求(2)证明：当x＞1时，ex19．已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．(1)求拋物线的标准方程；(2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分別为．①证明：点在定直线上；②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围．

答案1．【正确答案】A【详解】由题图，阴影部分为A∩(∁RB)所以A∩(故选A．2．【正确答案】A【详解】由题意，z2=1+4i+4i所以z2+z故选A.3．【正确答案】D【详解】对于A，由图象可知当速度大于40km/ℎ时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/ℎ时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，当速度为80km/ℎ时，甲车的燃油效率为10km/ℎ，即甲车行驶10km时，耗油1升，故甲车行驶1小时，路程为80km，耗油为8升，故C错误；对于D，当速度小于40km/ℎ时，丙车燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确.故选D．4．【正确答案】A【详解】解：由已知a+λ∵a+λb⊥a，∴故选A．5．【正确答案】C【详解】解：因为α∈0,π2，所以α+所以sinα+所以cosα+=cos=3故选C．6．【正确答案】D【详解】事件“A同学不在开头且B同学不在末尾”的基本事件数是A6在事件“A同学不在开头且B同学不在末尾”的空间中，C同学在开头的基本事件数是A4所以所求概率为P=A故选D．7．【正确答案】B【详解】由题意得：2π3−π因为ω＞0，所以πω=π又tan2×π6+φ=0所以fx故sin2x−因为x∈0,π，所以2x−当sin2x−π3所以2x−π3=0或π时，解得：x故x1故选B.8．【正确答案】C【详解】令gx=fxe因为f′x＜f所以gx在0,+∞因为fx所以g−x所以gx所以a=f3e3=g所以c＞b＞a．故选C．9．【正确答案】ABC【详解】将这组数据从小到大排序，得6,6,7,8,9,9,9,10，这组数据的极差为10−6=4，故A正确；平均数为6+6+7+8+9+9+9+108因为8×0.75=6，所以第75%分位数为9+92方差为6−82故选ABC．10．【正确答案】AC【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B，根据三点共线的性质，结合可得，进而得到判断即可；对C，根据余弦定理可得，再根据B中两边平方化简求解即可；对D，在中根据余弦定理求解即可【详解】对A，，故A正确；对B，设，则由A，，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误；对C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正确；对D，在中，，，故，故D错误；故选AC.11．【正确答案】BC【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A选项错误；对于B，由，令，解得或，当或时，f'x>0，即在和1,+∞上单调递增，当时，f'x<0，即在−1,1所以是的极小值点，故B选项正确；对于C，因为，则的图象关于点中心对称，故C选项正确；对于D，当x∈−1,1时，单调递减，则当时，单调递减，又当时，，所以，故D选项错误；故选BC.12．【正确答案】24【详解】因为x+2xn的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以2又x+2x4令4−2r=0，得r=2，所以展开式中的常数项为T313．【正确答案】7【详解】在△ABC中，由余弦定理得cosA=因为AM为BC边上的中线，所以AM=所以AM2所以AM=7，即AM14．【正确答案】55【详解】由已知2AF2=3BF2由椭圆的定义可知BF因为点A在y轴上，F1,F所以AF由∠AF1B=90即3m2则2a−2m=4m，所以a=3m，所以BF因为∠AF所以cos∠AF即AF即9m整理可得，9m2=5所以e=c15．【正确答案】(1)证明见解析(2)Sn【详解】（1）因为an+1所以an+1所以an+1+3n+1又b1所以数列bn（2）由（1）可得bn所以an所以前n项和Sn=216．【正确答案】(1)有关联(2)分布列见解析，【分析】（1）根据二联表中数据，求解卡方，即可与临界值比较作答，（2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，即可利用超几何分布的概率公式求解.【详解】（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.由列联表中的数据，可得，.根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，所以所有可能的取值为，所以，，，所以随机变量的分布列为：123随机变量的数学期望17．【正确答案】(1)证明见详解(2)−6(3)存在，32【详解】（1）证明：连接FG如上图，在△SBD中，F、G分别为SD、SB的中点，所以FG//BD.又因为FG⊂平面AEG，BD⊄平面AEG，∴BD//平面AEG.（2）解：因为SA⊥平面ABCD，AB,AD⊂平面ABCD，所以SA⊥AB，SA⊥AD.又∠BAD=π2，所以以AB,AD,则A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，DE0,2,1，G12,0,1设平面SCD的一个法向量为m=则m⋅CD=0m⋅SC=0，即−x+y=0所以平面SCD的一个法向量为m=又平面ESD的一个法向量为AB=1,0,0，所以由图可知二面角C−SD−E为钝角，所以二面角C−SD−E的余弦值为−6（3）解：假设存在点H，设GH=λBH=由（2）知，平面SCD的一个法向量为m=1,1,2.则即λ−12=0，所以故存在满足题意的点H，此时GH=|GE18．【正确答案】(1)−∞,1(2)证明见解析【详解】（1）由若x＞0时，恒有ℎx所以当x＞0时，ex设fx则令gx则g′x=ex故当x＞0时，g′当a⩽12时，1−2a⩾0，则g′则f′x在从而当x＞0时，f′x＞f′所以当x＞0时，fx当a＞12时，g′所以存在x0∈0,所以当0＜x＜x0时，g′x0则fx单调递减，此时f综上所述，a的取值范围为−∞,1（2）要证当x＞1时，ex1+ln设mx则m′令nx则n′所以当x＞1时，n′x=所以当x＞1时，nx则当x＞1时，m′x＞0所以当x＞1时，mx19．【正确答案】(1)；(2)①证明见解析；②.【分析】（1）根据抛物线的定义，把到的距离与到点的距离之和的最小值转化为到准线的距离为和到点的距离之和的最小值，在根据平面几何即可得出答案；（2）①设，计算出直线