2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高二下学期期中考试数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是(

)A.某商品的销售价格与销售量 B.汽车匀速行驶时的路程与时间

C.气温与冷饮的销售量 D.人的年龄与视力2.C53⋅3!的值为A.10 B.30 C.60 D.1803.设函数fx=sinx的导函数为gx，则A.奇函数 B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数4.袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是(

)A.110 B.310 C.155.下列函数中，在区间−1,0上的平均变化率最大的时(

)A.y=x2 B.y=x3 C.6.小明投篮三次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响．若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X，则(

)A.E(X)=4.8 B.E(X)=3.6 C.E(X)=2.4 D.E(X)=1.27.“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：则第8行的第7个数是(

)A.8 B.21 C.28 D.568.已知函数fx=3x2A.f−3<fe<fπ B.fπ9.已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是(

)A.37 B.23 C.3410.在经济学中，将产品销量为x件时的总收益称为收益函数，记为Rx，相应地把R′x称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数R′(x)=1000−x(注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).①当销量为1000件时，总收益最大；②若销量为800件时，总收益为T，则当销量增加400件时，总收益仍为T；③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．其中正确结论的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知函数fx=e2x，则f′012.已知线性相关的两个变量x和y的取值如下表，且经验回归方程为y=0.95x+a，则a=x0134y2.24.34.86.713.在x−1xn的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则n=_

_____；常数项为

.(用数字作答)14.袋中有编号为1，2，3，4，5的5个球，从中任取3个球，共有

种不同的取法；记X为取出的三个球的最小号码，则PX=2=

.(用数字作答)三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知函数fx=−ln①当a>0时，函数fx②若方程fx=a存在三个根，则③当a<0时，函数fx④当a=−23−12时，存在x1,其中所有正确结论的序号是

．16.A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.8(Ⅰ)试估计C班的学生人数；(Ⅱ)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(Ⅲ)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ117.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1(1)求证：MN/​/平面BCC(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.已知函数f(x)=2x3(1)求f(x)在区间[−2,1]上的最大值；(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(−1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？(只需写出结论)19.已知A、B、C是椭圆W：x24+y(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积．(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．20.已知函数f(x)=ln(ax)(1)当a=1时，求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(−∞,−1]上单调递减，求a的取值范围；(3)当a=2e时，证明：若x1∈(0,1)，x2∈(1,+∞)，则f(21.已知无穷递增数列an各项均为正整数，记数列aan为数列(1)若an=2n−1n∈N∗(2)证明：ak+1(3)若数列aan与aan+1(i)证明：d1(ii)当a1=1，d1=9时，求数列参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.B

6.A

7.C

8.D

9.C

10.D

11.2

12.2.6

13.6；−20

14.10；315.②③④

16.(Ⅰ)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×8(Ⅱ)设事件为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i=1，2，5...，事件为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j=1，2，...8，由题意可知，，；，．P(AiCj)=P(设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，．因此．(Ⅲ)．

17.解：(1)取BC中点D，连接B1D，DN，

在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1/​/AB，A1B1=AB．

因为M，N，D分别为A1B1，AC，BC的中点，

所以B1M//AB，B1M=12AB，DN//AB，DN=12AB，

即B1M//DN且B1M=DN，

所以四边形B1MND为平行四边形，因此B1D//MN．

又MN⊄平面BCC1B1，B1D⊂平面BCC1B1，

所以MN//平面BCC1B1．

(2)选条件 ①:

因为侧面BCC1B1为正方形，所以CB⊥BB1，

又因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，

且平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1，

所以CB⊥平面A

BB1A1，

而AB⊂平面ABB1A1，所以CB⊥AB．

由(1)得B1D//MN，又因为AB⊥MN，所以AB⊥B1D，

而B1D∩CB=D，所以AB⊥平面BCC1B1，

又BB1⊂平面BCC1B1，故AB⊥BB1．

在三棱柱ABC−A1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直，

故分别以BC，BA，BB1为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，

因为AB=BC=BB1=2，则B(0,0,0)，N(1,1,0)，M(0,1,2)，A(0,2,0)，

所以BN=(1,1,0)，BM=(0,1,2)，AB=(0,−2,0)，

设平面BMN的法向量n=(x,y,z)，

由BN⋅n=0，BM⋅n=0，得x+y=0,y+2z=0,令x=2，得n=(2,−2,1)．

设直线AB与平面BMN所成角为θ，

则sinθ=|cosn,AB|=|n⋅AB||n|⋅|AB|=|4|3×2=23，

所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为23．

选条件 ②:

因为侧面BCC1B1为正方形，所以CB⊥BB1，

又因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，

且平面BCC18.由f(x)=2x3−3x得f′(x)=6x2−3，令−2<x<−因为f(−2)=−10，f(−22)=所以f(x)在区间[−2,1]上的最大值为f(−(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(xy0=2x03因此t−y0=(6x设g(x)=4x3−6x2+t+3，则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)与g′x(−∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g+0−0+g(x)t+3t+1所以，t+3是g(x)的极大值，t+1是g(x)的极小值，当t+1<0<t+3即−3<t<−1时，过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时，t的取值范围是(−3,−1)．(3)过点A(−1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切．

19.解：(1)椭圆W：x24+y2因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1,m)，代入椭圆方程得14+m所以菱形OABC的面积是12(2)四边形OABC不可能为菱形．理由如下：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0)．由{消y并整理得(1+4k设A(x1,y1)，所以AC的中点为M−因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为−1因为k·14k≠−1，所以AC所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．20.(1)由题设f(x)=lnxx−1，则x>0(2)由x∈(−∞,−1]，则必有a<0，且f′(x)=1−由f(x)在区间(−∞,−1]上单调递减，则1−1x−令g(x)=1−1x−ln(ax)在(−∞,−1]上g′(x)>0，则g(x)单调递增，故g(x)≤g(−1)=2−ln所以a≤−e(3)当a=2e，则f′(x)=1−设ℎ(x)=1−1x−当0<x<1，则ℎ′(x)>0，当x>1，则ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，当0<x<1，x(0,1(ℎ(x)−0+f′(x)−0+f(x)单调递减极小值单调递增f(x当x>1，ℎ(2)=32−ln4=lnx(1,x(ℎ(x)+0−f′(x)+0−f(x)单调递增极大值单调递减由ℎ(x0)=0⇒ln(综上，f(x21.(1)因为a所以数列an的自身子数列为a所以前4项为：a1即数列an的自身子数列的前4项为1，5，9，13(2)因为数列an是递增数列且各项均为正整数，