学高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题

数列和不等问题(老师版)

一.先求和后放缩(主要是先裂项求和，再放缩处理)

例1.正数数列｛%｝的前〃项的和s“，满意2底=凡+1,试求：

(1)数列｛%｝的通项公式；

(2)设a数列氏｝的前〃项的和为求证：Bn<\

a/z2

解：(1)由已知得4s“已刈十1尸，几之2时,4s+1八作差得:

4a/t=a-+2afl-a\_x-2a,所以(a〃+4-)(4〃---2)=0,又因为｛〃“｝为正数数列，所以

%-j=2,即｛/｝是公差为2的等差数列，由返=q+l,得卬=1,所以凡=2〃-1

(2)",=」=:所以

citlan+i(2〃-1)(2〃+1)22n-12n+1

111111、111

Dn=-(1+-----,-----------)=----------<-

“23352n-\2〃+122(2/?+1)2

真题演练1：(。6全国1卷理科22题)设数列｛叫的前〃项的和,1=3「92向+|,

n=1,2,3,

na

(I)求首项力与通项％；(D)设7；=・，〃=1,2,3,一，证明：工工4.

S〃r=l2

412412

解：⑴由Sn=wan-£X2"i+q,n=l,2,3,…，①得a[=Si=[ai-qx4+司所以ai=2.

412

n

再由①有Sn_1=-an_i--x2+-n=2,3,4,…

41

n+1n

将①和②相减得：an=Sn-Sn_1=-(an-an_1)--X(2-2),n=2,3,…

nn1

整理得:an+2=4(an_1+2-),n=2,3,-,因而数列｛2广2号是首项为al+2=4,公比为4的等

比数列，即：a0+2n=4x4-1=比n=l,2,3,…，因而2产”-2>n=l,2,3,…，

4121

(D)将a『4n—2n代入①得S=-X(4n-2n)--X2n+1+-=-X(2n+1-l)(2n+1-2)

n00O0

2

=-X(2n+1-l)(2n-l)

o

_22_32n________3]]

Tn==2X(2n+1-l)(2n-l)=2X(2n-l―2n+1-?

3“1131-J—)v]

=X1

所以，2(二5E(不二72i+1—1)2^2-1/,+l

1=1/,=1/12-12

二.先放缩再求和

1.放缩后成等比数列，再求和

例2.等比数列｛4｝中，“=-；,前A项的和为S“，且S,aa成等差数列.

2]

设a=A，数列h｝前八项的和为证明：

1一〃”3

解：•「儿一4=《+%,人一人=一/,4+卬=一/,•二公比夕&=」

42

1

a=/(—1”)•b人=------4-"------=---------1--------<」-----1---

〃2“1-(」)“4“-(-2)〃-3.2"

2

(利用等比数列前n项和的模拟公式S.=Aq：A猜想)

11।」.如Ml%

・二纥=A+b2+…b”<----+------+…+)<

3-23"323.I3Fr

1------

2

真题演练2:(06福建卷理科22题)已知数列｛a,,｝满意％=1,凡讨=2%+1(〃eN*).

(D求数列｛q｝的通项公式；

(II)若数列｛2｝满足4小中，43=(4+1卢(〃£川)，证明：数列也,｝是等差数列;

(H)证明：巴一！＜幺+".

23%%%2

⑴解：・.%=2a〃+l(〃eN"),

.《川+1=2(凡+1),.•.{%+1}是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列.

+1=2”.即凡=22—1(〃cN)

(II)证法一：•.,4343二43|=(%+1卢.

4g+e+…+仆"_’的

23+“+…+bfl)-n]=nb“.①

2@+。+...+bn+"+])-(〃+1)]=(〃+1)包+「②

②一①,得2也+]-1)=(〃+1地向-也,

即(〃_1)a+1—〃a+2=0,nbn+2-(n+l)/?n+1+2=0.

③一④,得叫+2-2电।+nbn=0,

即%-2%+a=0,.•吃+2-%="+「"(〃GN，),:.也”｝是等差数列。

(III)证明：&二:*…

矶2-12(2*--)2

...-%---十--%---十.■■十,---%-----<J—.

%%%2

2^_1__^11___!1>1_11,

2k+[-1=22(2*+|-1)=23.2*+2"-2-232'=12

a.a,%、〃1,111n11n1

二.—+---F...+-----N-------(—F-r-----)x=-------Z(1

2

a26—23222”232”23

n1a.a、an.八外

-------<—+^+...+—n12-<—(neN).

23a2a3an+l2

2,放缩后为“差比”数列，再求和

例3.已知数列｛〃”｝满意：«|=1,。向=(1+/■)〃〃(〃=1,2,3…).求证：an+i>an>3

证明：因为。〃+1=(1+9)%,所以%+i与%同号，又因为4=1>0,所以。”>0,

乙

即为…=白”>0,即。用>4.所以数列｛〃“｝为递增数列，所以%N一=1,

4

即。〃+1-。〃=弓■〃〃,累加得：an~a\-^+^+，，，+n-\

17T

A„12,7—1rjilni1o]2

令S“=]+声+.一+k，=—+—+,两式相减得:

2"

"+1+'•+-1n-\，所以S“=2-$匕Jt、l、C〃+1

所以。，々3-尹

2n222232n-l2〃

故得-〉%之3-贵

3.放缩后成等差数列，再求和

例4.已知各项均为正数的数列a｝的前〃项和为且d+%=2S〃.

⑴求证：;

4

⑵求证：-^=-<+\[^2+…+宝।

解：⑴在条件中，令〃=1,得4：+4=2S1=24，•.•《>0.•.4=1,又由条件

另+6=25“有。3+%+产23向,上述两式相减，留意到。2=5；川-臬得

(%+1+%)(/+】一%一1)二°二％>。•.•“|+4>°

所以，=1+1X(«-1)=/?,sr=坐斗

〃(〃+1)<L〃2+5+1)2二%2

所以S”

F22―V

(2)因为〃v+<〃+1,所以七,所以

23〃+1

+4^2+…V^n'=飞+WF

n~4-37?_S^-112nn(n+1)S

n店+向+…向>

2^/2-V27T7T…+7TFr=7T

练习：

1a

1.(。8南京一模22题)设函数/(幻=；/+云—J,已知不论心?为何实数，恒有

44

/(cosa)WO且/(2-sin0AO.对于正数列｛%｝,其前n项和S,=/(*,QZEN').

(I)求实数b的值；(II)求数列｛《,｝的通项公式；

(DI)若后=£,〃£乂，且数列｛c“｝的前n项和为7；,试比较7；和:的大小并证明之.

解：(1)/，=；(利用函数值域夹逼性)；(II)%=2〃+1;

(IH)C=---!——-<-f----------],T=C.4-C9+C,+3.+c<——---!—<—

"(2〃+2)22(2〃+12n+3)n123"2(32n+3j6

2.(04全国)已知数列｛凡｝的前〃项和S”满意：S〃=2%+(-l)〃，n>l

(1)写出数列｛明｝的前三项J,%，%；(2)求数列｛4｝的通项公式;

7

++<

(3)证明：对随意的整数〃空4,8-

分析：⑴由递推公式易求：团=1,念=0,/=2;

⑵由已知得：4=S“—S"T=2〃“+（—1）〃—24L「（-1严（n>l）

化简得:4=2%2(-1严

^-=-2J-2,帚+*1反+6

（一D"（-D

故数列｛三；是以-弓+3为首项，公比为-2的等比数列.

(一1)33

故为+9(-：)(-2尸.•.〃”=沿-2_(_］力

JJJ

7

・•.数列｛4｝的通项公式为：=-[2M-2-(-lf].

⑶视察要证的不等式，左边很困难，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能

够求和。而左边='+'+・・+,=，4+4+…+1/八3,假如我们把上式中的分

%生q”22--12+1T-(-1)

母中的士1去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交织出现，简单想到将

式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：一[+-[>]+!，

22-123\12“23

4+因此，可将工保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。

2+124-12-242--1

这里须要对加进行分类探讨，(1)当〃，为偶数⑺>4)时，

*&C1,„aA&GAa,„_ta,.,

224

137

<—+-

288

(2)当〃2是奇数。〃>4)时，加+1为偶数,

所以对随意整数,”4,有出+"4

本题的关键是并项后进行适当的放缩。

3.(07武汉市模拟)定义数列如下：q=2，矶=/2_/+I”N*

求证：(1)对于〃£N♦恒有J〉/成立；(2)当〃>2且〃wN*,有4+1+1

成立；

乙c«।

分析：(1)用数学归纳法易证。

2

(2)由6f„+I=an-an+1得：an+}-\=an(an-1)/.an-\=an_}(a„_}-1)

.....a2—a](a1—1)

以上各式两边分别相乘得:an+i-1=anan_x•••a2a1(a,-1),又％=2

(3)要证不等式1-』<，+'+•♦•+—匚<1,

2~皿4k喂6

可先设法求和：-+—+再进行适当的放缩。

a1〃)加公

7=i--2—<i又。。…生白>Y006=2^

1———>1-册••・原不等式得证。

lu2"2006

本题的关键是依据题设条件裂项求和。

数列和不等问题（学生版）

一.先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）

例1.正数数列｛4｝的前〃项的和s“，满意2底=%+1,试求:

（1）数列｛%｝的通项公式；

（2）设勿=,，数列阮｝的前〃项的和为乩，求证：乩

凡应力2

真题演练1：（06全国1卷理科22题）设数列｛q｝的前〃项的和,5.=//白2向+：,

JJJ

n=123,i

（I）求首项可与通项4；（n）设〃=1,2,3L,证明：

3“I=I2

二.先放缩再求和

1.放缩后成等比数列，再求和

例2.等比数列｛4｝中，4=彳，前方项的和为s“，且S7S)㈤成等差数列.

设“三，数列也｝前八项的和为小证明：/；4

真题演练2:(06福建卷理科22题)已知数列｛〃〃｝满意叼=1,《川=2q+1(〃wN").

(D求数列｛q｝的通项公式；

(II)若数列h｝满足心一=(%+1卢证明：数列也,｝是等差数列;

(H)证明：巴一,<幺+"+...+4<X(〃GN").