山西省部分学校2025届高三下学期4月巩固提升卷数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省部分学校2025届高三下学期4月巩固提升卷数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，或，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意，.故选：A2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得．故选：A．3.已知向量，，若，则（）A.或 B.C.2 D.4【答案】D【解析】，故，解得.故选：D4.若双曲线的一个焦点为，则实数为（）A. B.4 C.5 D.【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，解得．故选：B．5.若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】同一坐标系内画出函数和的图象，如图，由图可知，即，又因为，所以．故选：D．6.已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，可知，又因为为奇函数，且连续不断，则，则，且，可知，由奇函数对称性可知：时，，且，，所以在定义域的值域为.故选：B.7.一个三位数的百位､十位､个位上的数字依次记为，当中有两个数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从这五个数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（）A.24 B.27 C.30 D.33【答案】C【解析】从这五个数字中任取三个不同的数，其中“有缘数”的个数为24；从这五个数字中任取两个不同的数，其中“有缘数”的个数为，所以全部“有缘数”的个数为．故选：C．8.已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】设这10个样本数据分别为，且．因为，所以这10个数据分位数为．设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为，由题意知，则；，所以，整理得，解得，所以，当且仅当时等号成立，即，时，取到最大值13.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（）A.该圆锥的母线长为 B.该圆锥的体积为C.该圆锥的侧面积为 D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为【答案】ABD【解析】设该圆锥的母线长为，如下图所示：因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角；所以，解得，A正确；设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以，则圆锥的高，所以该圆锥的体积，侧面积为，B正确、C错误；设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，所以，D正确．故选：ABD．10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.的图象关于原点对称C.若，则D.，都有成立【答案】CD【解析】对于A，若，则，所以，或，即，或，故A错误；对于B，又，由于，所以不可能是奇函数，则的图象不可能关于原点对称，故B错误；对于C，当时，，满足是正弦函数的增区间的子集，所以函数在上单调递增，故C正确；对于D，因为，所以，故，所以，又，即，所以，都有成立，故D正确．故选：CD．11.设函数的定义域为，且当时，，则（）A.B.C.D.可能为单调递增函数【答案】AD【解析】因为，又，所以，即，故A正确；取满足题意，故B､C均错误；取函数满足题意，且为上的增函数，故D正确．故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为等差数列的前项和，若，，则______.【答案】16【解析】由，，可得：，解得：，所以，故答案为：1613.已知，则______．【答案】【解析】由，得，解得，所以，又因为，且，所以，，所以，则，故答案为：.14.已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，抛物线在处的切线为，过作与平行的直线，记与的另一交点为，则的面积的最小值为______．【答案】36【解析】由题意知抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在，故设直线的方程为，，，联立消去，得，，所以，，因为，所以，则直线的斜率为，因，故直线的方程为，即，也即，联立，消去，得，所以，即，设直线与交于点，则，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以的面积的最小值为36．故答案为：36.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为．已知．（1）求；（2）若，且的面积为，求．解：（1）由，由正弦定理得．因为，所以，即，得到，又，则，所以．（1）由（1）知，又，所以，又的面积为，所以，得到，在中，由余弦定理，得，所以，又，所以，因为，所以．16.已知函数的两个极值点分别为和3．（1）求的解析式；（2）若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值．解：（1），由题意，得和3是关于的方程的两根，由韦达定理，得解得此时．当时，；当时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意．综上，．（2）直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根，即关于的方程仅有两个实根．设，则．当时，；当时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，且，．根据题意，得或解得或．17.景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名．景德镇瓷器以其精美的工艺、独特的风格和高质量的品质而闻名于世．景德镇瓷器的历史可以追溯到唐代，经过宋、元、明、清等朝代的发展，逐渐形成了独特的风格．景德镇瓷器的制作过程非常复杂，需要经过多道工序，包括制坯、彩绘、烧制等．其中，彩绘是景德镇瓷器的一大特色，采用的是传统的釉下彩和釉上彩技法，色彩鲜绝、图案精美．假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花瓷的成品率依次为0.5，0.8，0.9．（1）若从这10个青花瓷中任取1个，求取出的青花瓷是成品的概率；（2）若每件青花瓷成品的收入为600元，每件青花瓷废品的收入为0元，记随机变量为乙烧制的这3个青花瓷的总收入，求的分布列及数学期望．解：（1）记事件为“取出的青花瓷是甲烧制的”，事件为“取出的青花瓷是乙烧制的”，事件为“取出的青花瓷是丙烧制的”，设事件为“取出的青花瓷是成品”，则，，，，，，所以．（2）的所有可能取值为，则，，，，所以的分布列为：060012001800数学期望．18.如图，在直四棱柱中，，，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若为线段上动点，求到直线距离的最小值．（1）证明：由直四棱柱知底面，因为平面，所以，又，，，平面，所以平面，因为平面，所以．因为，，，所以，，所以∽，所以，因为，所以，所以，又，，平面，所以平面．（2）解：因为底面，平面，所以，因为，所以，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，由（1）知，为平面的一个法向量．设为平面的一个法向量，因为，，所以，即，令，可得．所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．（3）解：设，，则，，设到直线的距离为，则，所以当时，，即到直线距离的最小值为．19.椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为.（1）求的方程；（2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方.（i）求证：；（ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值.解：（1）由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4，椭圆的长轴长为，短轴长为，又与的相似比为，所以，解得，所以的方程为.（2）（i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，得，方程的判别