第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试（含答案） 2024-2025学年高中数学湘教版（2019）必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式单元测试

一、选择题1．若，且，，则的最大值为()A. B.1 C. D.2．已知,,,则的最小值是()A.1 B.2 C.4 D.83．已知A、B两地的距离是.根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在.假设油价是8元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是().A. B.55 C.60 D.804．已知,,,则的最小值为()A.2 B. C.4 D.95．已知实数a,b,c满足,,则a的最大值是()A. B. C. D.6．已知,,且,若恒成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.7．已知x,y为正实数,,则的最小值为()A. B. C.2 D.8．已知正实数m，n满足，则的最小值为()A. B.3 C. D.4二、多项选择题9．已知,,则下列结论正确的是()A.若,的最小值为9B.若,的最小值为1C.若,的最小值为D.若,的最大值为10．若,,,则()A. B.C. D.11．已知正实数a，b，c，且，x，y，z为自然数，则满足恒成立的x，y，z可以是()A.，， B.，，C.，， D.，，三、填空题12．若，，则实数m的取值范围为________.13．函数的最小值为______________.14．若,则的最小值为________________.15．已知圆O的面积为,矩形的四个顶点均在圆O上,则矩形的面积最大值为______________.四、解答题16．(1)已知,,且,求的最小值;(2)解关于x的不等式.17．(1)已知,求的最大值;(2)若正数x,y满足,求的最小值.18．如图,设矩形的周长为,把沿AC向折叠,AB折过去后交DC于点P,设,.(1)当时,求a的值;(2)设的面积为S,求S的最大值.19．已知,,且.(1)求的最大值;(2)求的最小值.20．设函数（且）是定义在R上的奇函数.(1)求t的值；(2)若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；(3)若函数的图像过点，求在上的最小值.

参考答案1．答案：B解析：因为，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.2．答案：C解析：因为,,,所以,当且仅当,即,时取等号.故选:C3．答案：C解析：由题意可知，行车的总费用为，其中，由基本不等式可得（元），当且仅当时，即当时，等号成立，因此，经济的车速是.故选：C.4．答案：C解析：由,得,当且仅当时取等号得出最小值4,故选:C.5．答案：C解析：因为,所以,,因为所以解得所以a的最大值为故选：C.6．答案：B解析：因为,,且,则,所以,当且仅当时,即当,时,所以的最小值为,因为恒成立,所以,解得,所以实数m的取值范围是.故选：B.7．答案：B解析：x,y为正实数,,,又,,当且仅当,即,即,时取等号,故当,时,取得最小值.故选:B8．答案：C解析：根据题意，，可得，则，设，则，原式为，当且仅当时等号成立，故选：C.9．答案：ACD解析：对于A：若,则,所以,当且仅当时,即,时,等号成立,所以的最小值为9,故A正确;对于B：若,则,所以,当且仅当,即当或时,等号成立,而,所以的最小值1不存在,故B错误;对于C：若,则,所以,由,,以及可知,,则当时,即,时,有最小值为,故C正确;对于D：因为,设,则,又,当且仅当时,即时,即时,等号成立,所以,故D正确;故选：ACD.10．答案：BCD解析：,,,,所以,,所以,所以,所以B、C、D正确,A错误.故选：BCD.11．答案：BC解析：要满足，只需满足，其中a，b，c为正实数，且，x，y，z为自然数，，当且仅当，即时，等号成立，故只需，故只需即可.A选项，，，时，，A错误；B选项，，，时，，B正确；C选项，，，时，，C正确；D选项，，，时，，D错误.故选BC.12．答案：解析：由，可得，因为，，故只需，令，则，当且仅当，即时取等号，所以，所以实数m的取值范围为.故答案为：.13．答案：4解析：因为,所以,当且仅当时取等号,此时,即函数的最小值是4.故答案为：4.14．答案：4解析：因为,则,当且仅当时,等号成立,故答案为：4.15．答案：32解析：设圆的半径为r,则,解得,设矩形的长为a,宽为b,因为矩形的四个顶点均在圆O上,所以,所以,因为,当且仅当时取等号,所以,当且仅当时取等号,所以矩形的面积最大值为32.故答案为：32.16．答案：(1);(2)答案见解析解析：(1)因为,所以得,即,所以.因为,所以.当且仅当,即时,即,时,等号成立;此时;(2)当时,,解集为,当时,,①当时,,解集为;②当时,,解集为;③当时,解集为;④当时,,解集为.综上所述：时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为.17．答案：(1)1;(2)4解析：(1)由于,所以,所以,当且仅当,,时等号成立,所以的最大值为1.(2)依题意,正数x,y满足,所以,所以,当且仅当,时等号成立,所以的最小值为4.18．答案：(1)5(2)解析：(1)如图,由矩形的周长为24cm,可知,,,,,.（说明得到也可）在中,由勾股定理得,即,解得.(2)如图,由矩形的周长为24cm,可知,,,,,.在中,由勾股定理得,即,解得,所以.所以的面积为.由基本不等式与不等式的性质,得,当且仅当时,即当时,的面积最大,面积的最大值为.19．答案：(1)3(2)解析：(1)由,得,当且仅当时,等号成立.故的最大值是3.(2)由,得,即.,当且仅当,即,时,等号成立.故的最小值为.20．答案：(1)(2)(3)答案见解析.解析：(1)是定义在R上，，解得.(2)由(1)得，若，则，结合且，解得，时，函数为增函数，函数为减函数，则为单调递增函数，等价于，可得，依题意则有对一切恒成立，则，解