第3章函数的概念与性质 单元测试（含答案） 2024-2025学年高中数学湘教版（2019）必修第一册

第3章函数的概念与性质单元测试

一、选择题1．令定义在R上的非常数奇函数的表达式为，且，则的值为()A. B. C. D.42．若函数是定义在R上的奇函数,,则()A.0 B.1 C. D.e3．函数的值域是()A.R B. C. D.4．1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet，1805—1859）认为“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：自此，人们对函数的本质有了深刻的理解，设则（）A.1 B.0 C. D.5．已知,则()A.e B.2e C. D.6．已知定义在R上的函数满足对任意的,,,则()A. B.0 C.2 D.17．某跳水运动员离开跳板后,他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米,时间单位：秒）,则他在0.5秒时的瞬时速度为()A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒 D.2.75米/秒8．若函数是奇函数,则()A.1 B. C. D.二、多项选择题9．设是R上的奇函数,且对都有,当时,,则下列说法正确的是()A.的最大值是1,最小值是0 B.当时,C.点是函数的对称中心 D.在区间上是增函数10．已知函数,下列结论正确的是()A.是奇函数B.若在定义域上是增函数,则C.若的值域为R.则D.当时,若,则11．设均是定义在R上的函数,下列说法正确的是()A.若,,均是定义域上的增函数,则,,中至少有一个函数是定义域上的增函数B.若,,均在定义域内存在最小值,则,,中至少有一个函数在定义域内存在最小值C.若,,均是定义域上的奇函数,则,,均是定义域上的奇函数D.若,,均是以为周期的周期函数,则,,均是以T为周期的周期函数三、填空题12．已知函数，的最小值是，则实数________.13．已知函数,则不等式的解集是________.14．某个体户计划同时销售A,B两种商品,当投资额为x千元时,在销售A,B商品中所获收益分别为千元与千元,其中,,如果该个体户准备共投入5千元销售A,B两种商品,为使总收益最大,则B商品需投_______________千元.15．已知函数若,则________.四、解答题16．设函数,.(1)解方程：;(2)令,求的值(3)若是实数集R上的奇函数,且对任意实数x恒成立,求实数k的取值范围.17．已知函数（,,）是定义在上的奇函数.（1）求和实数b的值;（2）当时,若满足,求实数t的取值范围;（3）若,问是否存在实数m,使得对定义域内的一切t,都有恒成立?18．已知定义域为R的函数为奇函数,且满足,当时,,求.19．已知指数函数的图象过点,为奇函数.(1)求的解析式;(2)判断的单调性,并用定义法证明;(3)若不等式对任意的恒成立,求k的取值范围.20．已知函数.(1)求不等式的解集;(2)利用定义法证明函数是增函数;(3)已知,当且仅当时,等号成立.设,证明：存在唯一的正实数,使得.

参考答案1．答案：A解析：函数是R上的非常数奇函数，则，解得，，，而不恒为0，因此，即，又x不恒为0，则，解得，经验证，当，时，是奇函数，所以.故选：A.2．答案：B解析：由函数是定义在R上的奇函数,得,解得.故选：B.3．答案：B解析：当时,,即;当时,;当时,.综上可知,的值域为.故选：B.4．答案：B解析：因为为无理数，所以，所以.故选：B.5．答案：D解析：令,则,所以,即,则故选:D.6．答案：C解析：因为对任意的,,,令,,则,即;令,,则,即;可得,令,则,解得.故选：C.7．答案：C解析：函数关系式是,在秒的瞬时速度为故选：C．8．答案：B解析：由于函数是奇函数,故时,,则,故,故选:B9．答案：BD解析：因为是R上的奇函数,所以,又对都有,所以的图象关于对称,因为,即,所以,所以是周期为4的周期函数,又当时,单调递增,所以在上单调递增,则在上单调递增,由的图象关于对称,得在上单调递增,所以在上的最大值是,最小值是,故A错误;当时,,则,故B正确;由对都有,得的图象关于对称,故C错误;由在上单调递增,且周期为4,则在区间上是增函数,故D正确;故选:BD10．答案：AB解析：对于A,由题函数定义域为,关于原点对称,当时,,,;当时,,,,则函数为奇函数,故A正确;对于B,若在定义域上是增函数,则,即,故B正确;对于C,当时,在区间上单调递增,此时值域为,当时,在区间上单调递增,此时值域为.要使的值域为R,则,即,故C不正确;对于D,当时,由于,则函数在定义域上是增函数,又函数是奇函数,故由,得,则,且,且,解得,故D不正确.故选:AB11．答案：CD解析：对于A,设,,,则,,,满足条件,,均是定义域上的增函数,但函数,,在定义域上都不是增函数,A错误;对于B,设,,,则,,,此时若,,均在定义域内存在最小值0,但函数,,在定义域内都没有最小值,B错误;对于C,因为,均是定义域上的奇函数,所以,两式相减可得,又为奇函数,故,所以,即,故,所以函数均是定义域上的奇函数,C正确;对于D,因为,均是以T为周期的周期函数,所以,,两式相减可得,又是以T为周期的周期函数,故,所以,即,故,,所以函数,,均是以T为周期的周期函数,D正确;故选:CD.12．答案：解析：由题意得，当时，，故在的值域为，又因为最小值是，所以，故答案为.13．答案：解析：由,在R上都单调递减,且都是奇函数,所以是单调递减的奇函数,故,则,即,所以不等式的解集为.故答案为:14．答案：解析：设投入经销B商品x千元,则投入经销A商品的资金为千元,所获得的收益千元,则,可得,当时,可得,函数单调递增;当时,可得,函数单调递减;所以当时,函数取得最大值,最大值为.故答案为：.15．答案：8解析：,所以,因为时,,所以,,解得,故答案为:816．答案：(1)(2)9(3)解析：(1)因为,,,所以,即,即,解得,或（舍）,所以.(2)由,则,故.(3)由题知因为是实数集R上的奇函数,所以,所以,解得,所以,又因为,所以,即解得.即,经检验是实数集R上的奇函数,所以,在实数集R上单调递增.由得,又因为是实数集上的奇函数,所以,又因为在实数集上单调递增,所以,即对任意的都成立,即对任意的都成立,因为,当且仅当时取等号,所以.17．答案：（1）,（2）（3）存在解析：（1）依题意,,又是上的奇函数,则,即,亦即,整理得,于是,而,所以.（2）由（1）知,,显然函数在上单调递减,由奇函数性质及,得,当时,函数在上单调递增,则在上单调递减,不等式化为,解得,（3）假定存在实数m,对定义域内的一切t,都有恒成立,即恒成立,当时,由（2）知函数在上单调递增,不等式化为,整理得,于是有对任意恒成立,则,当时,,,因此;有对任意恒成立,设,①当时,函数的图象开口向上,对称轴,（i）当,即时,必有,则;（ii）当,即时,在上恒成立,则;（iii）当,即时,在上恒成立,则;②当时,,不满足在上恒成立,综上得且,所以存在使得对定义域内的一切t,都有恒成立.18．答案：解析：因为,所以,所以的周期为4,所以,因为函数为奇函数,所以,因为,所以,所以.19．答案：(1)(2)函数是增函数,证明见解析(3)解析：(1)设且,由,解得,所以,则,因为为奇函数,所以,即,解得,经检验,符合题意,所以;(2)函数是增函数,证明如下：令,则,因为,所以,所以,即,所以函数是增函数;(3),即为,因为函数是增函数,所以,即,令,