广东省茂名市2023-2024学年高一下学期教学质量监测数学试卷（含答案）

第第页广东省茂名市2023-2024学年高一下学期教学质量监测数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A=xy=x，B=A．xx≥0 B．xx≥1 C．x0≤x<1 D．2．若复数z满足4+3iz=5iA．1 B．5 C．3 D．53．设a∈R，则“a<0”是“2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知函数fx=xxA． B．C． D．5．已知x>−3，则x+9A．6 B．5 C．4 D．36．将函数fx的图象向左平移π5个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的12倍，得到函数gx的图象.已知A．fx=−sinC．fx=sin7．若△ABC是锐角三角形，A=45∘，A．0,2 B．2,2 C．2,22 8．在四棱P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.若tan∠EAF=102A．1 B．2 C．5 D．3二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为BC，AC的中点，则（）A．AB与MN不能构成一组基底B．ANC．ACD．NM在AC上的投影向量为110．某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（）A．诗经组中位数为3，众数为2 B．论语组平均数为3，方差为1C．春秋组平均数为3，众数为2 D．礼记组中位数为2，极差为411．已知fx是定义域为R的偶函数，fx2+1为奇函数，当A．当x∈0,1时，fx=3−xC．fx在3,4上单调递增 D．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知棱长为3的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为.13．若复数1−i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈14．在海面上，乙船以40km/h的速度朝着北偏东30°的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以v km/h的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知▱ABCD的顶点A−1,0，B1,−1，（1）若单位向量n与AD方向相同，求n的坐标；（2）求向量AC与BD的夹角.16．已知函数fx（1）若f1=4，求fx（2）若fx在区间1,217．如图1，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=π3，将△ABC沿着AC翻折到三角形ACE的位置，连接DE，形成的四面体（1）证明：AC⊥DE；（2）若四面体ACDE的体积为66，求二面角E−AC−D18．某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人.（1）求图中a，b的值；（2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；（3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为x，方差为s12；女生分数的平均数为y，方差为s22；200名学生分数的平均数为①s2=120200s12+19．如图所示，在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，且AD=kAC.（1）若DC=2，求BC的长度；（2）求k的取值范围；（3）若S△ABC

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由A=xy=x，可得A=故A∩B=xx≥0且故答案为：D.【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得A、B集合，结合交集定义即可得解.2．【答案】A【解析】【解答】解：由4+3iz=5i，

则z=故答案为：A.【分析】利用复数代数形式的乘除法运算求出复数z，再求出复数z的模即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：由2a<18=2−3，解得a<−3则“a<0”是“2a故答案为：B.【分析】解不等式2a4．【答案】C【解析】【解答】解：函数fx=xx则函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x2>0，且f(x)=故答案为：C.【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，并判断f(x)在(0,+∞5．【答案】D【解析】【解答】解：x>−3，x+3>0，

则x+9当且仅当x=0时等号成立，即x+9x+3的最小值为故答案为：D.【分析】利用基本不等式计算即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，将gx=sin2x+π5的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，得y=sinx+π故答案为：B.【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：若△ABC是锐角三角形，A=45∘，b=22，

由正弦定理b因为A=π4，所以又因为△ABC是锐角三角形，所以π4则c=22sinCsin故答案为：D.【分析】由题意，利用正弦定理可得c=22sinCsinB，再消去C，转化为关于角8．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：

在四棱P−ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB、BC⊂平面ABCD，

所以PA⊥BC，PA⊥AB，又因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又因为AB、PA⊂平面PAB，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，由PA=AB=2，则PB=22，由E为线段PB的中点，则AE=EB=设BF=m，则EF2=E由tan∠EAF=102由余弦定理可得2+m2=2+4+m2−2×2故答案为：C.【分析】利用线面垂直的性质定理与判定定理可得BC⊥PB，即可设BF=m，利用m表示出EF、AF，结合同角三角函数基本关系，利用余弦定理计算即可.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、在△ABC中，因为M，N分别为BC，AC的中点，所以MN//AB，

则AB//MN，即AB与B、由题意可得：AN=NC，MB=CM，则C、AC⋅D、NM=1故答案为：ABD.【分析】由题意可得AB//MN，即可得AB与10．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、由题意：若该组选手的失分情况如下，1，2，2，2，3，3，4，5，6，7，满足中位数为3，众数为2，但有选手失分超过6分，故A错误；B、该组每位选手的失分情况按照从小到大排列，x1,x则方差s2即x1−32+x所以每位选手的得分都不超过6分，故B正确；C、若该组选手的失分情况如下，0，2，2，2，2，2，4，4，5，7，这组数据满足平均数为3，众数为2，但有选手失分超过6分，故C错误；D、因为中位数为2，则最低分小于等于2，又因为极差为4，所以最该分小于等于6，该组选手失分没有超过6分的，故D正确.故答案为：BD.【分析】利用列举法即可判断AC；根据方差公式即可判断B；根据极差的定义即可判断D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、函数fx是定义在R上的偶函数，则f当x∈0,1时，−x∈−1,0，则f−x=3B、函数fx2+1即fx+1=−f−x+1故当x∈1,2时，−x+2∈0,1，则即fxC、由fx=f−x可得fx=−fx+2即fx+4=fx，则fx是周期为4的周期函数，由当x∈−1,0时，fx=3x−1D、f2026故答案为：ACD.【分析】由函数fx为偶函数，结合x∈−1,0时的解析式计算即可判断A；由12．【答案】9【解析】【解答】解：如图所示：设球的半径为R，

由题意可知：正方体的体对角线即为球的直径，则球的直径为2R=332=3则该球的表面积为4π故答案为：9π【分析】根据正方体的体对角线即为球的直径，再利用球的表面积求解即可.13．【答案】2【解析】【解答】解：易知1+i也是方程x由韦达定理可得：−p=1−i+1+iq=1−i1+故答案为：2.【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可.14．【答案】20【解析】【解答】解：A、B分别为乙船与甲船所处位置，如图所示：

则AB=30km，A=60°，设点D为两船相遇位置，相遇时间在t小时后，则BD即v2当1t=23，即t=即甲船航行速度的最小值为203故答案为：203【分析】画出具体图形后，借助余弦定理及二次函数性质计算即可.15．【答案】（1）解：由A−1,0，D3,3，可得AD=4,3，则（2）解：由题意可得：BC⃗=AD⃗=则AC=故cosAC因为0≤AC⃗,【解析】【分析】（1）易知AD的坐标，结合单位向量定义计算即可；（2）根据平行四边形的性质可计算出AC与BD，再结合向量夹角公式计算即可.（1）AD=4,3，则n=（2）由题意可得BC⃗=AD⃗=则AC=故cosAC因为0≤AC⃗,16．【答案】（1）解：函数fx=ax2+2ax+1，

若f则函数fx联立y=x2+2x+1y=4x+4，解得则fx与gx=4x+4交点的横坐标为x=3（2）解：若a=0，则fx=1在区间则a≠0，函数fx=ax要使fx在区间1,2上恰有一个零点，只须f即a+2a+14a+4a+1<0，解得a的取值范围−1【解析】【分析】（1）由f1=4求出（2）a=0时不符合题意，a≠0时只须f1（1）若f1=4，则a+2a+1=4，解得所以fx由y=x2+2x+1y=4x+4解得所以fx与gx=4x+4交点的横坐标为x=3（2）若a=0，则fx=1在区间所以a≠0，所以fx对称轴为x=−2a所以要使fx在区间1,2上恰有一个零点，只须f即a+2a+14a+4a+1<0，解得a的取值范围−117．【答案】（1）证明：取AC中点F，连接EF、DF，由四边形ABCD为菱形，则AE=EC=AD=DC，故EF⊥AC，DF⊥AC，又EF∩DF=F，EF、DF⊂平面EFD，故AC⊥平面EFD，又DE⊂平面EFD，故AC⊥DE；（2）解：由EF⊥AC，DF⊥AC，AC=平面EAC∩平面DAC，则∠EFD为二面角E−AC−D的平面角，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=π则EF=FD=12AB=1又V=3故sin∠EFD=22，即∠EFD=即二面角E−AC−D的大小为π4或3π【解析】【分析】（1）取AC中点F，连接EF、DF，利用菱形的性质可得线线垂直，结合线面垂直的判定定理与性质定理证明即可；（2）找出二面角的平面角后，结合体积公式计算即可.（1）取AC中点F，连接EF、DF，由四边形ABCD为菱形，则AE=EC=AD=DC，故EF⊥AC，DF⊥AC，又EF∩DF=F，EF、DF⊂平面EFD，故AC⊥平面EFD，又DE⊂平面EFD，故AC⊥DE；（2）由EF⊥AC，DF⊥AC，AC=平面EAC∩平面DAC，故∠EFD为二面角E−AC−D的平面角，又菱形ABCD的边长为2，∠BAD=π则EF=FD=12AB=1又V=3故sin∠EFD=22，即∠EFD=即二面角E−AC−D的大小为π4或3π18．【答案】（1）解：由低于80分的人数为108，得0.005+a+0.035×10=108200则0.005+0.014+0.035+b+0.016×10=1，解得b=0.030（2）解：平均数=0.005×10×55+0.014×10×65+0.035×10×75+0.030×10×85+0.016×10×95=78.8，显然上四分位数即75%分位数应该在80,90之间，设上四分位数为x，

则90−x则平均数为78.8，上四分位数为87；（3）解：设ω1=120200，ω2①-②得：ω1x2−z2则①和②相等.【解析】【分析】（1）先根据低于80分的人数为108求出a，在根据频率之和为1求b的值即可；（2）根据平均数的公式直接计算，上分位数根据分位数的含义计算即可；（3）两式作差，根据ω1+ω（1）由低于80分的人数为108，得0.005+a+0.035×10=所以0.005+0.014+0.035+b+0.016×10=1⇒b=0.030（2）平均数=0.005×10×55+0.014×10×65+0.035×10×75+0.030×10×85+0.016×10×95=78.8，显然上四分位数即75%分位数应该在80,90之间，设上四分位数为x，则90−x所以平均数为78.8，上四分位数为87.（3）设ω1=120200，ω2①-②得：ω1x所以①和②相等.19．【答案】（1）解：在△ABD中，由正弦定理ABsin在△ACD中，由正弦定理ACsin因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，因为∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠ADB=sin因为AB=3AC，DC=2，所以BD2=3，得BD=6，所以（2）解：因为S△ABC所以12因为AB=3AC，AD=kAC，所以3AC⋅AC⋅2sin因为sin∠BAC2≠0，所以6因为∠BAC2∈0,π2（