高中数学知识点详细总结+二级结论归纳（全）

高中数学知识点总结目录知识01集合与常用逻辑用语……………………………2知识02函数的概念与基本初等函数……………5知识03导数及其应用…………………………18知识04立体几何与空间向量…………………………22知识05平面解析几何…………………………33知识06三角函数及解三角形……………………………46知识07概率与统计………………………………51知识08数列………………………………65知识09复数……………………………71知识10平面向量……………………73知识11不等式…………………………77

知识01集合与常用逻辑用语一、集合1.集合的相关概念(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN⁺或N⁺zQR(3)集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a∈M，或者a∉M，两者必居其一.(4)集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).2.集合间的基本关系名称记号意义性质示意图名称记号意义性质示意图子集A⊆B(或B⊇A)A中的任一元素都属于B(1)A⊆A(2)∅⊆A(3)若A⊆B且B⊆C,则A⊆C(4)若A⊆B且B⊆A,则A=B或真子集ACB(或B=A)A⊆B,且B中至少有一元素不属于A(1)∅⊆A(A为非空子集)(2)若A⊂B且B⊆C,则A⊂C集合相等A=BA中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)A⊆B(2)B⊆A3.集合的三种基本运算名称记号意义性质示意图交集名称记号意义性质示意图交集A∩B{x|x∈A,且x∈B}(1)A∩A=A(2)A∩∅=∅(3)A∩B⊆AA∩B⊆B并集AUB{x|x∈A,或x∈B}(1)A∪A=A(2)A∪∅=A(3)A∪B⊇AA∪B⊇B补集4.A{x|x∈U,且x∉/}(1)A∩(φ,A)=∅(2)AU(φ,A)=U二、充分条件与必要条件1.命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.充分条件与必要条件的相关概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.若p⇔q，则p是q的充要条件(充分必要条件).三、全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃2.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称量词命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M,p(x)存在量词命题存在M中的一个x₀，使p(x₀)成立∃x₀∈M,p(x₀)3.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称量词命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M,p(x)∃x₀∈M,-p(x₀)存在量词命题存在M中的一个x₀，使p(x₀)成立∃x₀∈M,p(x₀)∀x∈M,-p(x)

知识02函数的概念与基本初等函数一、函数的概念及其表示1.函数设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y=f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fx∣(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法。3.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发.(2)如果函数y=f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域.(3)如果函数y=f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.0值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定.(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函数的定义域不可以相交.③4.常用结论(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R：(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义.如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组).二、函数的单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂当x₁<x₂时,都有f(x₁)<f(x₂),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x₁<x₂时,都有f(x₁)>f(x₂),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f2.函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I,都有f(x)≤M;存在x₀∈I,使得f(x₀)=M对于任意x∈I,都有f(x)≥M;存在x₀∈I,使得f(x₀)=M结论M为最大值M为最小值三、函数的奇偶性、周期性与对称性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.函数的周期性(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

(4)函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).②若fx+③若fx+a(5)对称性的三个常用结论①若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f-x=f2a+③若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.四、二次函数与幂函数1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y=x(2)5个常见幂函数的图象与性质函数y=xy=x²y=x³y=x²y=x⁻¹定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{v|v≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

函数y=xy=x²y=x³函数y=xy=x²y=x³y=x1y=x⁻¹单调性在R上单调递增在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增在R上单调递增在(0,+∞)上单调递增在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减图象过定点(0,0),(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式f(x)=ax²+bx+c(a≠0),图象的对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是|-b₂,4ac-b²)顶点式f(x)=a(x-m)²+n(a≠0),图象的对称轴是x=m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0),其中x₁,x₂是方程(ax²+bx+c=01的两根，图象的对称轴是x=x₁+x₂(2)二次函数的图象与性质函数y=ax²+bx+c(a>0)y=a²+bx+c(a<0)图象(抛物线)定义域函数y=ax²+bx+c(a>0)y=a²+bx+c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域4ac-b²,+∞)(-∞,4ac-4a函数y=ax²+bx+c(a>0)y=ax²+bx+c(a<0)对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,4ac-b²)奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在[-∞,-b/2a]上是减函数：在[-b/2a.+∞)上是增函数在[-∞,-b]上是增函数：在[-b2a,+∞)上是减函数3.常用结论①二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.②若fx=ax2+bx+ca≠0,则当{a五、指数与指数函数1.根式(1)概念：式子na(2)性质:nan=当n为奇数时，n当n为偶数时，n2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是anm=1na的意义是的意义是且n>1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras=a3.指数函数及其性质(1)概念：函数y=a(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义a>10<a<1图象定义域R值域(0,+∞)性质过定点(0,1),即x=0时,y=1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数4.常用结论(1)画指数函数y=axa(2)在第一象限内，指数函数y=六、对数与对数函数1.对数的概念

如果ax=Na0)?且a≠)，那么x叫做以a为底N的对数，记作2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a**,"=N;②logₐa³=b(a>0且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①②③④log(3)换底公式：logbN3.对数函数及其性质(1)概念：函数y=logaxa(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域：Ra>10<a<1图象当x=1时,y=0,即过定点(1,0)a>10<a<1图象当x=1时,y=0,即过定点(1,0)当x>1时,y>0:当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0:当0<x<1时,y>0在(0，+∞)上是增函数在(0，+∞)上是减函数4.反函数指数函数y=axa0)5.常用结论①换底公式的两个重要结论1其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R.②在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.③对数函数y=logx(a>0?且a≠)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),1a-1七、函数的图象1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域：

(2)化简函数解析式：(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线.2.函数图象的变换(1)平移变换①y=f(x)的图象→y=f(x-a)的图象：②y=f(x)的图象一般用外单位→y=f(x)+b的图象.“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在f(x)整体上加减.(2)对称变换①y=f(x)的图象关于x轴对称→y=-f(x)|的图象：②y=f(x)的图象-关于y轴对称→y=f(-x)的图象;③y=f(x)的图象-关于原点对称→y=-f(-x)的图象；④y=a(3)伸缩变换①y=f(x)的图象-→y=f②y=f(x)的图象(4)翻折变换①y=fx的图象x轴下方部分翻折到上方②y=fx的图象———斯·维左侧部分去列，右侧不变?→3.常用结论(1)函数图象自身的轴对称

①f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称:②函数y=f(x)的图象关于x=a对称f③若函数y=f(x)的定义域为R，且有fa+x=fb-(2)函数图象自身的中心对称①f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称:②函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称f③函数y=f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇒(3)两个函数图象之间的对称关系①函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a2②函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称:③函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称:④函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.八、函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数.y=f(2)几个等价关系方程fx=0有实数根⇔函数y=f(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=fx在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa⋅fb<0,那么函数y=fx在区间(a，b)内有零点，即存在(2.二次函数图象与零点的关系Δ=b²-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数Δ=b²-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax²+bx+c(a>0)(的图象与x轴的交点(x₁,0),(x₂,0)(x₁,0)无零点个数210九、函数的模型及其应用1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=bx+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blog。x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂函数模型f(x)=ax°+b(a,b为常数,a≠0)

函数模型函数解析式“对勾”函数模型y=x+ax(a>0)2.三种函数模型的性质函数性质y=aˣ(a>1)y=log。x(a>1)y=x"(n>0)在(0,+∞)上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x₀,当x>x₀时,有klog。x<x"<a"

知识03导数及其应用一、导数的概念及运算1.导数的概念一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim△x→0△y△x=lim△x→0f(x0+△x)−2.导数的几何意义函数f(x)在点x₀处的导数f'x0的几何意义是在曲线y=fx上点P3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=eˣf'(x)=eˣf(x)=lnxf'(x)=1f(x)=x°(α∈Q')f'(x)=αx"')f(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=a'(a>0,a≠1)

基本初等函数导函数f'(x)=aˣlnaf(x)=log。x(a>0,a≠1)f'(x)=_1/xnx4.导数的运算法则125.常用结论1.f'(x₀)代表函数f(x)在x=x₀处的导数值;x=x0(fx023.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,(1)若f'(2)若f'x(3)若恒有f'讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论(1)在某区间内f′(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈ab,三、利用导数解决函数的极值最值1.函数的极值(1)函数的极小值：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'a=0;而且在点x=a附近的左侧f'x<0,(2)函数的极大值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点.x=b附近其他点的函数值都大，f'b=0:而且在点x=b附近的左侧f'x>0,①函数f(x)在x₀处有极值的必要不充分条件是f'x0=0,极值点是f'x=0的根，但②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.3.常用结论(1)对于可导函数f(x),“f'(x₀)=0”是“函数f(x)在x=(2)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.四、利用导数研究生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3.解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问题.

知识04立体几何与空间向量一、空间几何体的结构特征、三视图和直观图1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S圆+2S底V=S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S则+S点V=13台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+SFv=13(s₂+s₂+52球S=4πR²v=43二、空间几何体的表面积与体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积：=S则+2S/底V=S点h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底v=13台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下v=13(SE+Str+51球S=4πR²V=43三、空间两直线的位置关系1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a//ballaα//β相交关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a//ballaα//β相交关系图形语言符号语言anb=Aa∩α=Aα∩β=l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线aca3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线(a′‖a,b′/(2)范围:0四、直线、平面平行的判定与性质1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面aφa,b⊂a,a∥b⇒a∥a性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a1/α,a⊂β,a∩β=b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂a,b⊂a,a∩b=P,a∥β,b∥β⇒a∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β,a⊂a⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b五、直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba○b=0{⇒l⊥aa⊂ab⊂a性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥α}⇒a//b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.六、空间向量、加减运算及数乘运算(1)空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB(2)零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点B重合时，A模为1的向量称为单位向量.(3)相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a长度相等而方向相反的向量，称为ā的相反向量，记为-(4)空间向量的加法和减法运算①OC②空间向量的加法运算满足交换律及结合律a(5)数乘运算实数λ与空间向量a|的乘积λa称为向量的数乘运算.当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，向量λ(6)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律λ(7)共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b,记作a//b.

(8)共线向量定理对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a//b|的充要条件是存在实数λ，使a(9)直线的方向向量如图8-153所示，1为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线.对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP=OA+ta①,其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取①和②都称为空间直线的向量表达式，当t=12,即点P是线段AB的中点时，(10)共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a，作OA=a,(11)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP=xAB+yAC②已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OP=x七、空间向量的数量积运算(1)两向量夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O，作OA=a,OB=b记作(a,b),通常规定(0≤ab≤π,如果ab=π2,(2)数量积定义已知两个非零向量a，b，则abcosab叫做a,b的数量积，记作a⋅b,即(3)空间向量的数量积满足的运算律：λa⋅a⋅b八、空间向量的坐标运算及应用(1)设a=a1a2aλaaa(2)设Ax1y1z这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.(3)两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知a=a1a∣a②已知Ax1y1或者dAB(4)向量a在向量b上的投影为

(4)向量a在向量b上的投影为九、向量法证明平行、垂直(1)平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⟂α,如果n⊥α,注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有m第一步：写出平面内两个不平行的向a第二步：那么平面法向量第二步：那么平面法向量n=x(2)判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为(a,b.若ab,即a=λ若a⊥b,即②直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊥α.若ā∥n,即a=λ若a⊥n,即(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为π₁，平面β的法向量为n₂.若n1∥n2,即n1=λn2,则十、空间角与距离公式

(1)异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线l₁，l₂上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则小，则(2)线面角公式：设l为平面α的斜线，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成角的大小，则l与α所成角的大小，则(3)二面角公式：设n₁，n₂分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则θ=n1n2或π-n(4)异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a，b的公垂线的方向向量为π，这时分别在a，b上任取A，B两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a，b的距离.则d=∣A(5)点到平面的距离A为平面α外一点(如图)，π为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH.故d=知识05平面解析几何一、直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π).2.斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为αα≠(2)坐标式:P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)(在直线l上,且.x1≠x2,3.直线方程的5种形式名称方程适用条件点斜式y-y₀=k(x-x₀)不含垂直于x轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式y=y=x+x=x+x=x不含直线x=x₁(x₁≠x₂)和直线y=y₁(y₁≠y₂)截距式x+y/b=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0,A²+B²≠0平面内所有直线二、两直线的位置关系

1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1,l2②当直线l1,l2两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1,l2的斜率存在，设为k1②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l2.两条直线的交点的求法直线l1:A1x+3.三种距离公式1P1x1(2)点P0x0y0到直线l:Ax+By+C=0的距离:(3)平行线Ax+By+C1=0与常用结论1.过定点Px0y0的直线系方程：Ax-x0+2.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).3.垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.4.过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A5.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).6.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).7.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为.8.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).9.点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k三、圆的方程1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)圆心:(a,b),半径:r两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0,(D²+E²-4F>0)圆心：(-D₂.-E).半径：122.点与圆的位置关系点M(x₀,y₀)与圆x-a2(1)若M(x₀,y₀)在圆外,则(x(2)若M(x₀,y₀)在圆上,则x(3)若M(x₀,y₀)在圆内,则(x常用结论(1)二元二次方程Ax2+Bx(2)以A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)为直径端点的圆的方程为x四、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>rd=rd<r2.圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R,r(R>r),则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210d,R,r的关d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

位置关系外离外切相交内切内含系公切线条数43210判断圆与圆位置关系的注意点对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论.如当Δ<0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ=0时，还需要判断两圆是外切，还是内切.常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点(2)过圆x-a2+y-b(3)过圆x2+y2=r2外一点2.圆系方程(1)同心圆系方程：x-a(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+x(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F五、椭圆的几何性质1.椭圆的定义

平面内到两定点F₁，F₂的距离的和等于常数(大于∣F1F2∣)集合P=M∣∣MF(1)当2a(2)当2a=∣F(3)当2a<∣2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x标准方程x24+y23x2=1(a>b>0)图形性质范围x∈[-a,a],y∈[-b,b]x∈[-b,b],y∈[-a,a]对称性对称轴：坐标轴：对称中心：原点顶点A(-a,0),A₂(a,0)B₁(0,-b),B₂(0,b)A(0,-a),A₂(0,a)B₁(-b,0),B₂(b,0)离心率e=f/a,且e∈(0,1)a,b,c的关系c²=a²-b²离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=a2-c2越小，因此椭圆越扁：当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=a2-常用结论1.焦半径：椭圆上的点Px0y0与左(下)焦点与右(上)焦点F1F212(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).2.焦点三角形：椭圆上的点2.焦点三角形：椭圆上的点Px0y0与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，(1)当P为短轴端点时，θ最大.2当∣y(3)焦点三角形的周长为2(a+c).3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l4.AB为椭圆x2a2+y2b2=1ab(1)弦长l(2)直线AB的斜率kA六、直线与椭圆的位置关系1.点与椭圆的位置关系点P(x₀,y₀)与椭圆x2a点P在椭圆上⇔x点P在椭圆内部⇔x点P在椭圆外部”x点P在椭圆外部”x2.直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆x2a联立{y=位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ≥0相切一解Δ=0相离无解Δ≤0七、双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零0常数(小于集合P=M∣∣∣∣M2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x/a-z/s=1(a>0,b>0)2标准方程x/a-z/s=1(a>0,b>0)2—2=1(a>0,b>0)图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A₁(-a,0),A₂(a,0)顶点坐标：A(0,-a),A₂(0,a)渐近线y=±b/axy=±a/bx离心率e=[a,e∈(1,+∞)a,b,c的关系c²=a²+b²实虚轴线段A₁A₂叫做双曲线的实轴，它的长|A₁A₂|=2a；线段B₁B₂叫做双曲线的虚轴，它的长|B₁B₂|=2b：a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长(1)若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定.(2)设双曲线上的点M到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为2a，则①若2a=∣F1F2②若2a>∣③若2a=0，则点M的轨迹是线段F₁F₂的垂直平分线.常用结论1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.若P是双曲线右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，则∣3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a4.若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，则S△5.若P是双曲线x2a26.等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.(2)性质:①a=b;②e=2③渐近线互相垂直：④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.7.共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线.(2)性质：①它们有共同的渐近线：②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.八、抛物线1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内：(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上.(C)其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y²=2px(p>0)y²=-2px(p>0)x²=2py(p>0)x²=-2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离标准方程y²=2px(p>0)y²=-2px(p>0)x²=2py(p>0)x²=-2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点F(B₂.0)F(-B.0)F(o.½)F(0.-R)离心率e=1准线方程x=-P₂x=P₂y=-P₂y=P₂范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x₀,y₀))|PF|=x₀+R₂|PF|=-x₀+2|PF|=y₀+B₂|PF|=-x。+P₂(1)若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.

(2)四种不同抛物线方程的异同点共同点(1)原点都在抛物线上：(2)焦点都在坐标轴上：(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14即.2不同点(1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y²；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x²；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号：开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.常用结论设AB是过抛物线y2=2pxp012∣AF∣=p13(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切：(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.九、曲线与方程1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程.fxy(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系θ，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(4)化方程fx(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.①如果曲线C的方程是fxy=0,那么点P“曲线C是方程fxy=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程，②坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线.有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程.

知识06三角函数及解三角形一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|=17角度与弧度的换算1°=π/180rad;1rad=180π。弧长公式弧长ll=|a|r扇形面积公式s=12μ=13.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin(2)商数关系：sin2.三角函数的诱导公式公式—二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ/2-απ/2+α正弦sinα-sinα-sinαsinacosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsina-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论(1)同角三角函数关系式的常用变形

s(2)诱导公式的记忆口诀π2“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.三、三角函数的图象及性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正.弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:00,π21,π002.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x∈Rx≠kπ+π}值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ-π/2,2kπ+π/2][2kπ-π,2kπ](kπ-π/2,kπ+π/2)函数y=sinxy=cosxy=tanx递减区间[2kπ+π/2,2kπ+3[2kπ,2kπ+π]无对称中心(kπ,0)kπ+π/2,0(π/2,0)对称轴方程x=kπ+π/2x=kπ无四、正弦定理余弦定理1.正弦定理：asi(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC232.余弦定理：a22.余弦定理：a余弦定理可以变形：c3.S4.在△AA为锐角A为钝角或直角

A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<bA为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解5.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30∘,北偏西(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

知识07概率与统计一、随机抽样1.简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.2.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样。二、用样本估计总体1.频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距=极差数第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间：第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)

横轴表示样本数据，纵轴表示频率组2.样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：把a1+a2+⋯(4)标准差与方差:设一组数据x₁,x₂,x₃,……,xₙ|的平均数为π，则这组数据的标准差和方差分别是s常用结论1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.2.平均数、方差的公式推广(1)若数据x1,x2,⋯,xn的平均数为x，那么(2)数据x1,x2,⋯①数据x1+②数据ax1,ax三、变量间的相关关系与统计案例1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.2.两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.(2)回归方程为(2)回归方程为y=b(3)通过求Q=i=(4)相关系数：当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常||大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.3.独立性检验(1)分类变量和列联表分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.列联表：①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表.②2×2列联表.一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1x2和yy₁y₂总计x₁aba+bx₂Cdc+d总计a+cb+dn=a+b+c+d从2×2列表中，依据aa+b与(2)等高条形图①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征.②观察等高条形图发现aa+b与(3)独立性检验计算随机变量χ2=nad-bα0.100.050.0100.0050.001x。2.7063.8416.6357.87910.828四、两个计数原理1.两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案1，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N=m+n种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤2，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N=mxn种不同的方法(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.

②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.常用结论1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m₁种不同的方法，在第2类方案中有m₂种不同的方法……在第n类方案中有m。种不同的方法，那么，完成这件事共有N=2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法......做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=五、排列、组合问题1.排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N')个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出/m(m≤n,m,n∈N')个元素的所有不同组合的个数公式A..=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=(n-m);G:=x=n(a-1)(a-1).n------)..(n-m-+1)1性质A;=n!,0!=1C0=1,Cn=Cn⁻",Cn⁻+Cn⁻'=Cn⁻",Cn⁻';六、二项式定理1.二项式定理

(1)二项式定理：(1)二项式定理：(2)通项公式：Tk+1=Cn(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为(C2.二项式系数的性质七、随机事件的频率与概率1.频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数σ，称事件A出现的比例fn(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fnA2.事件的关系与运算名称条件结论符号表示

名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B事件A与事件B相等A=B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B互斥A∩B=∅对立事件A∩B为不可能事件.A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B=∅,P(A∪B)=13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率:P(E)=1.(3)不可能事件的概率：P(F)=0.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).常用结论探究概率加法公式的推广(1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即PA2P(八、古典概型1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；，②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式PA=(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值ⁿ/n古典概型的概率计算公式二是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化九、离散型随机变量及其分布列1.随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X,Y,ξ,η,……表示(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.2.离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,⋯,xi,⋯,xxx₁x₂·x₁—xₙPP₁p₂·p₁·pₙ此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时也用等式PX(2)分布列的性质：①3.常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布列x01P1-pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则PX=k=CNkCN-x01mPCCCECLEN:CHCKMCN若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布，十、二项分布及正态分布1.条件概率及其性质

(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(2)条件概率的性质①非负性：0②可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P2.全概率公式1(2)定理1若样本空间Ω中的事件A1①任意两个事件均互斥，即A②③P(A₁)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意事件B，都有B=BAP注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.(2)什么样的问题适用于这个公式?所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.3.贝叶斯公式(1)一般地,当0<P(A)<1且P(B)>0时,有P(2)定理2若样本空间Ω中的事件A₁,A₂,…,A₄满足:①任意两个事件均互斥，即A②③0<P(A)<1,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，都有B且PA且P注意：(1)在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件B发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.(2)贝叶斯公式充分体现了P(A|B),P(A),P(B),P(B|A),P(B|A),P(AB)之间的转关系,即PA|B4.相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件(2)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.(3)若A与B相互独立，则A与B,A与B,A.与B(4)若A与B相互独立，则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).(5)一般地，如果事件A₁,A₂,……,Aₙ(n>2,n∈N⁺)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P5.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生。(2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为PX=k判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：，(1)是否为n次独立重复试验；，(2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.6.正态分布(1)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线.x=μ对称：③曲线在x=μ处达到峰值1④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据①②③十一、离散型随机变量的均值与方差1.均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：xx₁x₂··x₁x。PP₁p₂···P₁p。则称EX=x(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.，(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.

3EX2.方差设离散型随机变量X的分布列为：xx₁x₂x₁xnPp₁P₂P₁p。则xi-EX2描述xii=12⋯n了(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.，(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布E(X)=pD(X)=p(1-p)二项分布E(X)=npD(X)=np(1-p)常用结论若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则1Ek23E4(5)若X1,X2相互独立，则知识08数列一、数列的概念及简单表示1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N⁺(或它的有限子集)为定义域的函数an=(3)数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法.数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列ann₁>an其中n∈N°递减数列ani<aₙ常数列anut=an3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子.an①并不是所有的数列都有通项公式：

②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一：③对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的.(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an二、等差数列及前n项和1、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an-an-2、等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A3、等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a₁，公差为d，那么它的通项公式是(a4、等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和S5、等差数列的常用性质已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和.(1)通项公式的推广：a(2)在等差数列{aₙ}中,当,m+n=p+q时,a特别地，若m+n=2t,则am3ak,a4Sn,S(5)若an,bn是等差数列，则(6)若an是等差数列，则Snn也成等差数列，其首项与{an首项相同，公差是(an(7)若项数为偶数2n，则S(8)若项数为奇数2n-1,(8)若项数为奇数2n-1,则(9)在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则满足{am≥0am+1≤0的项数m使得10Sn=d2n(11)等差数列的前n项和的最值公差d>公差d<公差d=特别地若{a1若{a1(12)若已知等差数列{an},公差为d,前n项和为Sn,则:①等间距抽取ap,②等长度截取Sm,S2m③算术平均值S11,S三、等比数列及前“项和1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数

列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为a2、等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做。与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒3、等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a₁，公比为(q(q≠0)，则它的通项公式a推广形式：a4、等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为注①等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解.②已知.a₁,q(q≠1),n(项数)，则利用Sn=a11-q*1-q求解；已知③Sn=5、等比数列的性质(1)等比中项的推广。若m+n=p+q时,则aman=apaq,(2)①设{an}为等比数列,则{λa,}(λ为非零常数),∣a②设{an}与{bₙ}为等比数列,则{aₙbₙ}也为等比数列.(3)等比数列{aₙ}的单调性(等比数列的单调性由首项a₁与公比q决定).当{a1>0q>当{a1>00<q<1(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列an,①等间距抽取ap,ap+②等长度截取Sm,S2m-Sm,S3四、数列求和(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn=②等比数列的前n项和公式准导方法：乘公比，错位相减法.准导方法：乘公比，错位相减法.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广。(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=-1知识09复数一、复数的概念(1)i叫虚数单位，满足i²=-1,当k∈Z时,i(2)形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,记作a+bi∈C.①复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应,a叫z的实部,b叫z的虚部;b=0⇔z∈R,Z点组成实轴:b≠0,z叫虚数:b≠0且a=0,z|