2024-2025学年上海进才中学高三下学期数学最后一考试卷（2025.05）（含答案）

进才中学2024-2025学年第二学期高三年级数学最后一考2025.5一、填空题（本大题共有12题，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1.函数的定义域为.【答案】2．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为．【答案】33．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是.【答案】24．样本数据24，8，35，23，7，10，11，30的60%分位数为.【答案】5．向量满足，且与夹角的余弦值为，则．【答案】6．有3名男生与2名女生排成一队照相，2名女生互不相邻的概率为__________.【答案】7．数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时.【答案】8．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为．【答案】9.随机变量，，若，则实数的值为__________.【答案】95.510．已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为．【答案】11.（教材）如图，要在和两地之间修一条笔直的隧道，现从地和地测量得到：，，，，为确定隧道的方向，可求得（精确到）【答案】52.5°【解析】设，由题意，在△ADC中，；在△BDC中，；在△BDA中，；将上述三式相乘，得，从而有，得，所以12.已知向量与单位向量所成的角为60°，且满足对任意的，恒有，则（）的最小值为.【答案】二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14每题4分，15～16每题5分）13.下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D14．下列各组向量中，能作为基底的是（）A．， B．C． D．【答案】C15.已知函数在区间[a,b]上的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率B.在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b)，在x=x0处的瞬时变化率总大于在x=D.存在x0∈(a,b)，使得在x=x0处的瞬时变化率小于在【答案】D16.已知曲线，为曲线上任一点，命题P:曲线与直线恰有四个公共点；命题Q:曲线与直线相切；下列说法正确的是（

）.A.命题P和命题Q都为真 B.命题P为真，命题Q为假 C.命题P为假，命题Q为真 D.命题P和命题Q都为真【答案】C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接.∵底面正方形，是中点，∴是中点，又是中点，平面平面平面取中点，连接，设正方体棱长为.∴又是中点，故四边形是平行四边形，∴∴或其补角中的锐角或直角为异面直线和所成角.在∴异面直线和所成角的余弦值为．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知，.（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，，求.【答案】（1）最小值为；最大值为.（2）【解析】（1）由题.，当，即时，函数取最小值为；当，即时，函数取最大值为.（2）由题，即.，.由正弦定理，，由余弦定理，.，.19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络调查问卷，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分为100分），统计结果如下：组别频数2515020025022510050（1）已知此次问卷调查的得分，的近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求.参考数据：若，则，，（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：=1\*GB3①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；=2\*GB3②每次赠送的机制为“赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为”.现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布与期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】（1）易知，所以（2）由题，且，.所以.所以数学期望.20．（本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.(1)求的方程；(2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；(3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由题意知，所以抛物线方程为.（2）由题意可设直线的方程为，，，则，，.所以，得，所以，.所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去，解得，同理.所以.所以.所以直线的斜率为.（3）设，因为.因为，.所以，当时，为定值.所以.21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，求的值；(3)当时，证明：有2个零点．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】（1）当时，，则，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）函数的定义域为，且，①当时，易得，在上单调递减，又，所以当时，，不符合题意；②当时，由，得时，即在上单调递增；由，得时，即在上单调递减，所以，因为，则其等价于，即．令，则，所以当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以，因恒成立，故．（3）．令，得，令，则与有相同的零点，且．令，则，因为