高二数学选修试题及答案

高二数学选修试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(f(x)=x^{3}-3x\)的单调递增区间是（）A.\((-∞,-1)\)B.\((1,+∞)\)C.\((-∞,-1)\)和\((1,+∞)\)D.\((-1,1)\)2.曲线\(y=\sinx\)在点\((\frac{\pi}{2},1)\)处的切线方程是（）A.\(y=0\)B.\(x=\frac{\pi}{2}\)C.\(y=1\)D.\(y=x+1\)3.已知\(a=(2,-3,1)\)，\(b=(2,0,3)\)，\(c=(0,0,2)\)，则\(a+6b-8c\)等于（）A.\((14,-3,3)\)B.\((14,-3,35)\)C.\((14,-3,-12)\)D.\((-14,3,-3)\)4.椭圆\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的离心率是（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{3}\)5.抛物线\(y^{2}=8x\)的焦点坐标是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)6.命题“\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+x+1\gt0\)”的否定是（）A.\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+x+1\leq0\)B.\(\existsx\inR\)，\(x^{2}+x+1\leq0\)C.\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+x+1\lt0\)D.\(\existsx\inR\)，\(x^{2}+x+1\lt0\)7.已知\(p\)：\(x\gt1\)，\(q\)：\(x^{2}\gt1\)，则\(p\)是\(q\)的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数\(f(x)=x^{2}\lnx\)的导数为（）A.\(f^\prime(x)=2x\lnx+x\)B.\(f^\prime(x)=2x\lnx\)C.\(f^\prime(x)=x\lnx+x\)D.\(f^\prime(x)=x\lnx\)9.已知双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，则双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)10.若函数\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)处的导数\(f^\prime(x_{0})=0\)，则\(x=x_{0}\)一定是函数\(f(x)\)的（）A.极大值点B.极小值点C.极值点D.不一定是极值点二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于空间向量的说法正确的是（）A.若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)是两个非零向量，且\(\lambda\overrightarrow{a}=\mu\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线B.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)C.若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)是空间的一个基底，则\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)，\(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\)也可构成空间的一个基底D.向量\(\overrightarrow{a}\)在向量\(\overrightarrow{b}\)上的投影向量为\(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{b}\vert^{2}}\overrightarrow{b}\)2.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的性质正确的有（）A.长轴长为\(2a\)B.短轴长为\(2b\)C.焦距为\(2c\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）D.离心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(0\lte\lt1\)3.下列函数中，在\((0,+∞)\)上单调递增的是（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)4.对于抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，以下说法正确的是（）A.焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)B.准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)C.抛物线上一点\(M(x_{0},y_{0})\)到焦点的距离为\(x_{0}+\frac{p}{2}\)D.过焦点的弦长\(\vertAB\vert=x_{1}+x_{2}+p\)（\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)）5.已知命题\(p\)：\(\existsx\inR\)，\(x^{2}-2x+a\lt0\)，命题\(q\)：\(\forallx\inR\)，\(x^{2}-2x+a\geq0\)，则（）A.若\(p\)为真命题，则\(a\lt1\)B.若\(q\)为真命题，则\(a\geq1\)C.\(p\)与\(q\)的真假性相反D.若\(p\)为假命题，则\(q\)一定为真命题6.函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)在区间\([-1,2]\)上的性质正确的有（）A.最大值为\(2\)B.最小值为\(-2\)C.单调递增区间为\((-∞,0)\)和\((2,+∞)\)D.单调递减区间为\((0,2)\)7.双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线与圆\((x-2)^{2}+y^{2}=1\)相切，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)B.由渐近线与圆相切可得\(\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)C.双曲线的离心率为\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)D.双曲线的离心率为\(2\)8.已知\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,1,1)\)，\(\overrightarrow{c}=(1,0,1)\)，\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)，则（）A.\(\overrightarrow{p}=(1,0,-1)\)B.\(\overrightarrow{q}=(0,3,1)\)C.\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}=-1\)D.\(\vert\overrightarrow{p}\vert=\sqrt{2}\)9.设函数\(f(x)\)在\(R\)上可导，其导函数为\(f^\prime(x)\)，下列说法正确的是（）A.若\(f^\prime(x)\gt0\)在\((a,b)\)上恒成立，则\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递增B.若\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递增，则\(f^\prime(x)\gt0\)在\((a,b)\)上恒成立C.若\(x=x_{0}\)是\(f(x)\)的极值点，则\(f^\prime(x_{0})=0\)D.若\(f^\prime(x_{0})=0\)，则\(x=x_{0}\)一定是\(f(x)\)的极值点10.以下关于圆锥曲线的说法正确的是（）A.平面内到两个定点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离之和等于常数（大于\(\vertF_{1}F_{2}\vert\)）的点的轨迹是椭圆B.平面内到两个定点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离之差的绝对值等于常数（小于\(\vertF_{1}F_{2}\vert\)）的点的轨迹是双曲线C.平面内到一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(F\)不在\(l\)上）的距离相等的点的轨迹是抛物线D.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线三、判断题（每题2分，共20分）1.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}=0\)或\(\overrightarrow{b}=0\)。（）2.函数\(f(x)=x^{3}\)的导数\(f^\prime(x)=3x^{2}\)，\(f^\prime(x)\geq0\)恒成立，所以\(f(x)\)在\(R\)上单调递增。（）3.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a\)一定大于\(b\)。（）4.抛物线\(y^{2}=4x\)的准线方程是\(x=-1\)。（）5.命题“若\(p\)，则\(q\)”的否命题是“若\(\negp\)，则\(\negq\)”。（）6.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的最大值和最小值都在区间端点处取得，则\(f(x)\)在\((a,b)\)内无极值。（）7.双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{a}{b}x\)。（）8.已知\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}\)。（）9.函数\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)处可导，则函数\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)处连续。（）10.椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的离心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+1\)的极值。答案：先求导\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x\lt0\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)；\(x\gt2\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)。所以极大值\(f(0)=1\)，极小值\(f(2)=-3\)。2.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)，求其长轴长、短轴长、焦距和离心率。答案：\(a^{2}=25\)，\(a=5\)，长轴长\(2a=10\)；\(b^{2}=16\)，\(b=4\)，短轴长\(2b=8\)；\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=9\)，\(c=3\)，焦距\(2c=6\)；离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。3.求双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的渐近线方程。答案：对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，其渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。这里\(a=3\)，\(b=4\)，所以渐近线方程为\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。4.已知\(\overrightarrow{a}=(1,-2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,1,-2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot